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1、第六章第六章 多目标决策分析多目标决策分析广西大学数学与信息科学学院广西大学数学与信息科学学院运筹管理系运筹管理系第六章第六章 多目标决策分析多目标决策分析在决策分析中，决策问题要达到的目的称为在决策分析中，决策问题要达到的目的称为决策目标决策目标，用数值表示决策方案实现某个目，用数值表示决策方案实现某个目标程度的标准和法则，称为标程度的标准和法则，称为决策准则决策准则。前面讨论的问题都只有一个决策目标和一个前面讨论的问题都只有一个决策目标和一个评价准则（如收益最大、效用最大），属单评价准则（如收益最大、效用最大），属单目标、单准则决策。目标、单准则决策。单目标决策的关键：合理选择决策准则。单
2、目标决策的关键：合理选择决策准则。实际问题常常有多个决策目标，每个目标的实际问题常常有多个决策目标，每个目标的评价准则往往也不是只有一个，而是多个评价准则往往也不是只有一个，而是多个多目标、多准则决策问题多目标、多准则决策问题。6.1多目标决策的目标准则体系多目标决策的目标准则体系多目标决策问题的目标往往相互联系、相互多目标决策问题的目标往往相互联系、相互制约，有的甚至相互矛盾。制约，有的甚至相互矛盾。在多目标决策问题中，有的目标可以用一个在多目标决策问题中，有的目标可以用一个或几个决策准则直接进行评价和比较，有的或几个决策准则直接进行评价和比较，有的目标则难以进行直接评价和比较。目标则难以进
3、行直接评价和比较。如何解决这一问题？如何解决这一问题？通常将难以进行直接评价和比较的目标分解通常将难以进行直接评价和比较的目标分解为若干子目标，直至这些子目标能用一个或为若干子目标，直至这些子目标能用一个或几个决策准则进行评价和比较。几个决策准则进行评价和比较。例：某经济特区计划兴建一个大型海港例：某经济特区计划兴建一个大型海港港址的选择需要综合考虑港址的选择需要综合考虑经济、技术、环经济、技术、环境以及社会境以及社会四个方面。四个方面。决策目标有四个：决策目标有四个：经济、技术、环境、社会经济、技术、环境、社会这四个目标均不能直接用一个或几个准则这四个目标均不能直接用一个或几个准则进行评价，
4、要根据决策主体和实际情况的进行评价，要根据决策主体和实际情况的要求，逐级分解为若干子目标。要求，逐级分解为若干子目标。如：如：经济目标经济目标可以分解成直接经济效益和间可以分解成直接经济效益和间接经济效益两个一级子目标。直接经济效接经济效益两个一级子目标。直接经济效益又可以继续分解为投资额、投资回收期益又可以继续分解为投资额、投资回收期和利税总额等三个二级子目标和利税总额等三个二级子目标海港港址海港港址经济经济技术技术环境环境社会社会直接效益直接效益间接效益间接效益投资额投资额投资回收期投资回收期利税总额利税总额海运收益海运收益国际贸易收益国际贸易收益国内贸易收益国内贸易收益航道航道海滩海滩建
5、筑建筑运行运行城市关系城市关系交通关系交通关系资源资源环保环保政策政策军事军事 6.1多目标决策的目标准则体系多目标决策的目标准则体系6.1.1目标准则体系的意义目标准则体系的意义目标准则体系目标准则体系指依据决策主体要求和实际情况需要，对目指依据决策主体要求和实际情况需要，对目标经过逐层分解形成的多层次结构的子目标标经过逐层分解形成的多层次结构的子目标系统。目标准则体系的最低一层子目标可以系统。目标准则体系的最低一层子目标可以用单一准则进行评价。用单一准则进行评价。多目标决策问题的关键多目标决策问题的关键就是合理地选择和构就是合理地选择和构造目标准则体系。造目标准则体系。6.1.1目标准则体
6、系的意义目标准则体系的意义构造目标准则体系应注意的原则构造目标准则体系应注意的原则系统性原则系统性原则各子目标要反映所有因素的整体影响，具各子目标要反映所有因素的整体影响，具有层次性和相关性。有层次性和相关性。可比性原则可比性原则不同系统的横向比较；同一系统的纵向动不同系统的横向比较；同一系统的纵向动态比较。态比较。可操作性原则可操作性原则各子目标含义明确，便于数据采集和计算。各子目标含义明确，便于数据采集和计算。6.1.2目标准则体系的结构目标准则体系的结构1、单层次目标准则体系、单层次目标准则体系各个目标都属于同一层次，每个目标无须各个目标都属于同一层次，每个目标无须分解就可以用单准则给出
7、定量评价。分解就可以用单准则给出定量评价。图图6-2 6-2 单层次目标准则体系单层次目标准则体系总目标总目标目标目标m目标目标m-1目标目标2目标目标16.1.2目标准则体系的结构目标准则体系的结构2、序列型多层次目标准则体系、序列型多层次目标准则体系n目标准则体系的各个目标，均可以按序列分目标准则体系的各个目标，均可以按序列分解为若干个低一层次的子目标；解为若干个低一层次的子目标；n各子目标又可以继续分解；各子目标又可以继续分解；n这样一层层按类别有序地进行分解，直到最这样一层层按类别有序地进行分解，直到最低一层子目标可以按某个准则给出数量评低一层子目标可以按某个准则给出数量评价为止。价为
8、止。特点：特点：各子目标可按序列关系分属各类目标，各子目标可按序列关系分属各类目标，不同类别的目标准则之间不发生直接联系；不同类别的目标准则之间不发生直接联系；每个子目标均由相邻上一层的某个目标分每个子目标均由相邻上一层的某个目标分解而成。解而成。6.1.2目标准则体系的结构目标准则体系的结构3、非序列型多层次目标准则体系、非序列型多层次目标准则体系n某一层次的各子目标，一般某一层次的各子目标，一般不单不单是由相邻上是由相邻上一层次某子目标分解而成，各子目标也不一层次某子目标分解而成，各子目标也不能按序列关系分属各类；能按序列关系分属各类；n相邻两层次子目标之间，仅按自身的属性建相邻两层次子目
9、标之间，仅按自身的属性建立联系，存在联系的子目标之间用实线连立联系，存在联系的子目标之间用实线连结，无实线连结的子目标之间，不存在直结，无实线连结的子目标之间，不存在直接联系。接联系。3、非序列型多层次目标准则体系、非序列型多层次目标准则体系G.c1c2cn-1cng11g12g1n-1g1n最高层最高层中间层中间层准则层准则层g21g22g1k-1g1k6.1.3评价准则和效用函数评价准则和效用函数在多目标决策中，制定了目标准则体系后，在多目标决策中，制定了目标准则体系后，不同的目标通常用不同的评价准则衡量。不同的目标通常用不同的评价准则衡量。问题：问题：如何从总体上给出方案对于目标准则如何
10、从总体上给出方案对于目标准则体系中的全部目标的满意度？体系中的全部目标的满意度？必须将不同度量单位的准则，化为无量纲必须将不同度量单位的准则，化为无量纲统一的数量标度，并按特定的法则和逻辑统一的数量标度，并按特定的法则和逻辑过程进行归纳与综合，才能建立各可行方过程进行归纳与综合，才能建立各可行方案之间具有可比性的数量关系。案之间具有可比性的数量关系。效用函数正是一种统一的数量标度。效用函数正是一种统一的数量标度。6.1.3评价准则和效用函数评价准则和效用函数多目标决策中，任何一个方案的效果均可多目标决策中，任何一个方案的效果均可以由目标准则体系的全部结果值所确定。以由目标准则体系的全部结果值所
11、确定。可行方案在每一个目标准则下，确定可行方案在每一个目标准则下，确定个个结果值，对目标准则体系，就得到一组结结果值，对目标准则体系，就得到一组结果值，并经过各目标准则的效用函数，得果值，并经过各目标准则的效用函数，得出一组效用值。出一组效用值。这样，任何一个可行方案在总体上对决策这样，任何一个可行方案在总体上对决策主体的满意度，可以通过这些效用值按照主体的满意度，可以通过这些效用值按照某种法则并合而得，满意度是综合评价可某种法则并合而得，满意度是综合评价可行方案的依据。行方案的依据。6.1.4目标准则体系风险因素的处理目标准则体系风险因素的处理单目标风险型决策中，各备选方案看成是在单目标风险
12、型决策中，各备选方案看成是在整体上处于同一类状态空间的。整体上处于同一类状态空间的。多目标决策中，风险因素可能只涉及某些目多目标决策中，风险因素可能只涉及某些目标准则，备选方案不宜在整体上视为处于同标准则，备选方案不宜在整体上视为处于同一类状态空间。一类状态空间。多目标决策的风险因素，多目标决策的风险因素，应该在目标准则体应该在目标准则体系中对涉及风险因素的各子目标分别加以处系中对涉及风险因素的各子目标分别加以处理。理。将风险型多目标问题转化为确定型多目将风险型多目标问题转化为确定型多目标问题。标问题。6.2目标规划方法目标规划方法6.2.1目标规划模型目标规划模型多目标线性规划问题多目标线性
13、规划问题问题：问题：能否化为单目标线性规划问题求解？能否化为单目标线性规划问题求解？如何处理各目标的主次、轻重？如何处理各目标的主次、轻重？6.2目标规划方法目标规划方法例例6.1 某厂生产甲、乙两种产品，每件产品的某厂生产甲、乙两种产品，每件产品的单位利润、所消耗的原材料及设备工时、单位利润、所消耗的原材料及设备工时、材料和设备工时的限额如下表所示。材料和设备工时的限额如下表所示。甲甲乙乙限额限额原材料（公斤）原材料（公斤）设备（工时）设备（工时）23322426利润（元利润（元/件）件）42产品产品消耗消耗原料原料例例6.1决策者根据市场需求等一系列因素，提出决策者根据市场需求等一系列因素
14、，提出下列目标（依重要程度排列）：下列目标（依重要程度排列）：首要目标是保证乙产品的产量大于甲产品首要目标是保证乙产品的产量大于甲产品产量；产量；尽可能充分利用工时，但又不希望加班；尽可能充分利用工时，但又不希望加班；确保达到计划利润确保达到计划利润30元。元。试对厂家生产作出决策分析。试对厂家生产作出决策分析。设甲、乙产品的产量分别为设甲、乙产品的产量分别为x1、x2件。件。6.2目标规划方法目标规划方法目标规划是求解多目标线性规划的方法之一。目标规划是求解多目标线性规划的方法之一。目标规划的基本方法目标规划的基本方法对每一个目标函数引进一个期望值；对每一个目标函数引进一个期望值；引入正、负
15、偏差变量，表示实际值与期望值引入正、负偏差变量，表示实际值与期望值的偏差，并将目标函数转化为约束条件，与的偏差，并将目标函数转化为约束条件，与原有约束条件构成新的约束条件组；原有约束条件构成新的约束条件组；引入目标的优先等级和权系数，构造新的单引入目标的优先等级和权系数，构造新的单一的目标函数，将多目标问题转化为单目标一的目标函数，将多目标问题转化为单目标问题求解。问题求解。6.2目标规划方法目标规划方法1、目标函数的、目标函数的期望值期望值ekn对于多目标线性规划的每一个目标函数值对于多目标线性规划的每一个目标函数值Zk(k=1,2,K)，根据实际情况和决策者，根据实际情况和决策者的希望，确
16、定一个期望值的希望，确定一个期望值ek。在在例例6.1中中乙产品与甲产品产量之差的目标值可定为乙产品与甲产品产量之差的目标值可定为0；生产工时的目标值为生产工时的目标值为26（工时）；（工时）；利润的目标值为利润的目标值为30（元）。（元）。6.2目标规划方法目标规划方法2、正负偏差变量、正负偏差变量对每一个目标函数值，分别引入正、负偏差对每一个目标函数值，分别引入正、负偏差变量变量 正正负负偏偏差差变变量量分分别别表表示示实实际际目目标标值值超超过过和和低低于期望值的数值。于期望值的数值。引引入入偏偏差差变变量量之之后后，目目标标就就变变成成了了约约束束条条件件，成为约束条件组的一部分。成为
17、约束条件组的一部分。6.2目标规划方法目标规划方法在在例例6.1中，令：中，令：d1+,d1-分分别别表表示示乙乙产产品品与与甲甲产产品品产产量量之之差差超超过和达不到目标值的偏差变量；过和达不到目标值的偏差变量；d2+,d2-分分别别表表示示生生产产工工时时超超过过和和达达不不到到目目标标值的偏差变量；值的偏差变量；d3+,d3-分分别别利利润润超超过过和和达达不不到到目目标标值值的的偏偏差变量；差变量；则三个目标可化则三个目标可化为含有偏差变量为含有偏差变量的约束条件的约束条件6.2目标规划方法目标规划方法3、优先因子（优先等级）和权系数、优先因子（优先等级）和权系数如何区别不同目标的主次
18、轻重？如何区别不同目标的主次轻重？凡要求第一位达到的目标赋于优先因子凡要求第一位达到的目标赋于优先因子P1，次位的目标赋于优先因子次位的目标赋于优先因子P2，并规定，并规定PkPk+1（表示（表示Pk比比Pk+1有更大的优先权，有更大的优先权，Pk+1级目标是在保证级目标是在保证Pk 级目标实现的基础上才级目标实现的基础上才能考虑的）（能考虑的）（k1,2，K）为区别具有相同优先因子的两个目标的差别，为区别具有相同优先因子的两个目标的差别，可分别赋于它们不同的权系数可分别赋于它们不同的权系数j优先等级及权数的赋值由决策者确定。优先等级及权数的赋值由决策者确定。6.2目标规划方法目标规划方法4、
19、达成函数、达成函数(准则函数准则函数)目标规划模型的目标目标规划模型的目标函数函数准则函数准则函数由各目标约束的正、负偏差变量及由各目标约束的正、负偏差变量及相应的优先因子和权系数构造而成。相应的优先因子和权系数构造而成。注：注：目标规划模型的目标函数是对各目标的偏目标规划模型的目标函数是对各目标的偏差的综合（将多目标化为单目标），在目标差的综合（将多目标化为单目标），在目标函数中函数中不包含原决策变量不包含原决策变量，且一定是，且一定是极小型极小型的（偏差最小）。的（偏差最小）。4、达成函数、达成函数(准则函数准则函数)当每一目标值确定后，决策者的要求是偏差当每一目标值确定后，决策者的要求是
20、偏差变量尽可能小，因此其目标函数只能是极小变量尽可能小，因此其目标函数只能是极小形式，具体有以下三种基本形式：形式，具体有以下三种基本形式：v要求恰好达到目标值要求恰好达到目标值(正、负偏差都要尽可正、负偏差都要尽可能小能小)v要要求求不不超超过过目目标标值值(正偏差应尽可能小正偏差应尽可能小)v要要求求不不低低于于目目标标值值(负偏差应尽可能小负偏差应尽可能小)6.2目标规划方法目标规划方法在在例例6.1中，中，首首要要目目标标是是保保证证乙乙产产品品的的产产量量大大于于甲甲产产品品产产量，赋于优先因子量，赋于优先因子P1，目标为，目标为d1-尽可能小；尽可能小；次次级级目目标标是是生生产产
21、工工时时恰恰好好达达到到目目标标值值，赋赋于于优先因子优先因子P2，目标为，目标为d2-和和d2都要小；都要小；最最后后的的目目标标是是利利润润不不低低于于30元元，赋赋于于优优先先因因子子P3，目标为，目标为d3-尽可能小；尽可能小；因此，可构造准则函数如下：因此，可构造准则函数如下：6.2目标规划方法目标规划方法例例6.1的目标规划模型为：的目标规划模型为：6.2目标规划方法目标规划方法目标规划的一般模型目标规划的一般模型6.2目标规划方法目标规划方法目标规划的建模步骤目标规划的建模步骤（1）假设决策变量；）假设决策变量；（2）建立约束条件；）建立约束条件；（3）建立各个目标函数；）建立各
22、个目标函数；（4）确定各目标期望值，引入偏差变量，将）确定各目标期望值，引入偏差变量，将目标函数化为约束方程；目标函数化为约束方程；（5）确定各目标优先级别和权系数，构造准）确定各目标优先级别和权系数，构造准则函数。则函数。6.3化多为少方法化多为少方法对对单层次多目标单层次多目标决策模型决策模型其其中中f1(x),f2(x),fm(x)表表示示m个个目目标标函函数数，X表示满足某些约束条件的表示满足某些约束条件的n维点集。维点集。处理方法：处理方法：（1）化为一个单目标问题）化为一个单目标问题（2）化为多个单目标问题。）化为多个单目标问题。例例6.5某厂在计划期内生产甲、乙两种产品。某厂在计
23、划期内生产甲、乙两种产品。产品产品产品产品资源资源资源资源甲甲乙乙资源限额资源限额原材料原材料A（公斤）（公斤）原材料原材料B（公斤）（公斤）设备设备C（工时）（工时）4594310200240300价格（元价格（元/件）件）400600利润（元利润（元/件）件）70120污染污染32例例6.5设产品能全部销售出去设产品能全部销售出去问：计划期应如何安排生产，才能使利润和问：计划期应如何安排生产，才能使利润和产值都达到最大，而造成的污染最小？产值都达到最大，而造成的污染最小？解：解：设计划期分别生产甲、乙产品设计划期分别生产甲、乙产品x1、x2件，件，则问题则问题的数学的数学模型为：模型为：6
24、.3化多为少方法化多为少方法6.3.1主要目标法主要目标法主要目标主要目标所有决策目标中，重要程度最所有决策目标中，重要程度最高和最为关键的目标。主要目标要求达到高和最为关键的目标。主要目标要求达到最优。最优。其余目标作为非主要目标，满足一定条件其余目标作为非主要目标，满足一定条件即可（满意）。即可（满意）。设设f1(x)为主要目标，为主要目标，则由：则由：可以得到（可以得到（6.3）的一个有效解。）的一个有效解。例例6.5决策者确定以利润最大为主要目标决策者确定以利润最大为主要目标并要求：总产值至少应达到并要求：总产值至少应达到20000元，污染量元，污染量则应控制在则应控制在90个单位以下
25、。个单位以下。由主要目标法可得到单目标规划问题：由主要目标法可得到单目标规划问题：6.3化多为少方法化多为少方法6.3.2线性加权和法线性加权和法给目标给目标fi(x)赋以权系数赋以权系数i（i=1,2,m）然然后作新的目标函数后作新的目标函数构成单目标决策问题：构成单目标决策问题：难难点点：如如何何使使多多个个目目标标用用同同一一尺尺度度统统一一起起来来（多多种种方方法法在在下下一一章章中中介介绍绍，可可以以将将各各目目标标统统一作效用值度量）；如何选择合理的权系数。一作效用值度量）；如何选择合理的权系数。6.3.2线性加权和法线性加权和法1.法法以两个目标的多目标决策问题为例以两个目标的多
26、目标决策问题为例记：记：（即即x(1)、x(2)分分别别为为以以f1(x)和和f2(x)目目标标的的单单目标问题的最优解）目标问题的最优解）6.3.2线性加权和法线性加权和法1.法法化作单目标决策问题化作单目标决策问题要求：要求：c1是任意的非零常数。是任意的非零常数。即可确定权系数。即可确定权系数。若进一步要求若进一步要求1+2=1，可得：，可得：例例6.7设有多目标决策问题设有多目标决策问题其中：其中：试用试用法化法化为单为单目目标标决策决策问题问题。解：解：先分别求解先分别求解得：得：x(1)=(0,0)T，x(2)=(1,2)T例例6.7x(1)=(0,0)T，x(2)=(1,2)T则
27、：则：对目标进行线性加权：对目标进行线性加权：化为单目标问题：化为单目标问题：6.3.2线性加权和法线性加权和法2.法法对多目标决策问题对多目标决策问题取：取：化为单目标决策问题：化为单目标决策问题：适用条件：适用条件：fi*06.3化多为少方法化多为少方法6.3.3平方和加权法平方和加权法要求目标要求目标fi(x)与规定值与规定值fi*相差尽量小（相差尽量小（i=1,2,m），），可构造目标函数：可构造目标函数：构成单目标决策问题：构成单目标决策问题：i 权权系数，可按要求的相差程度分系数，可按要求的相差程度分别给别给出。出。6.3化多为少方法化多为少方法6.3.4理想点法理想点法记：记：称
28、称为理想点。为理想点。若若所所有有x(i)都都相相同同，记记为为x(0)，则则x(0)就就是是所所求求的的多多目目标标决决策策问问题题的的最最优优解解；若若不不然然，则则考考虑求解下面的单目标决策问题：虑求解下面的单目标决策问题：例例6.7x(1)=(0,0)T，x(2)=(1,2)T用理想点法化为单目标决策问题用理想点法化为单目标决策问题构造目标函数构造目标函数6.3化多为少方法化多为少方法6.3.5步骤法（步骤法（STEM法）法）是逐步迭代的方法，也称逐步进行法、对话是逐步迭代的方法，也称逐步进行法、对话式方法。式方法。在求解过程中，每进行一步，分析者就把计在求解过程中，每进行一步，分析者
29、就把计算结果告诉决策者，决策者对计算结果作出算结果告诉决策者，决策者对计算结果作出评价。若认为已满意了，则迭代停止；否则评价。若认为已满意了，则迭代停止；否则分析者再根据决策者的意见进行修改和再计分析者再根据决策者的意见进行修改和再计算，如此直到求得决策者认为满意的解为止。算，如此直到求得决策者认为满意的解为止。6.3.5步骤法（步骤法（STEM法）法）设有多目标线性规划问题：设有多目标线性规划问题：其中其中6.3.5步骤法（步骤法（STEM法）法）STEM法的求解步骤：法的求解步骤：分别求解分别求解k个单目个单目标线性规划问题标线性规划问题得到的最优解记为得到的最优解记为x(i)，其相应的目
30、标函数，其相应的目标函数值记为值记为fi*（i=1,2,k），并），并x(i)代入其它代入其它目标函数：目标函数：结果可列表给出（称为支付表）。结果可列表给出（称为支付表）。STEM法法支付表支付表x(i)f1f2fjfkx(1)z11z21zj1zk1x(i)z1iz2izjizkix(k)z1kz2kzjkzkk6.3.5步骤法（步骤法（STEM法）法）STEM法的求解步骤：法的求解步骤：求权系数：从支求权系数：从支付表中得到付表中得到为找出目标值的偏差以及消除不同目标值的为找出目标值的偏差以及消除不同目标值的量纲不同的问题，进行如下处理量纲不同的问题，进行如下处理：归一化后得权系数：归一
31、化后得权系数：6.3.5步骤法（步骤法（STEM法）法）STEM法的求解步骤：法的求解步骤：求解求解（使目标与理想值的最大加权偏差（使目标与理想值的最大加权偏差最小）最小）该线性规划问题的最优解记为该线性规划问题的最优解记为x0。6.3.5步骤法（步骤法（STEM法）法）STEM法的求解步骤：法的求解步骤：将将x0和相应的目标值和相应的目标值交给决策者判断。交给决策者判断。决策者把这些目标值与理想值进行比较后，决策者把这些目标值与理想值进行比较后，若认为满意了，则可停止计算；若认为相差若认为满意了，则可停止计算；若认为相差太远，则考虑适当修正太远，则考虑适当修正。如：考虑对第如：考虑对第r个目
32、标让一点步，降低一点个目标让一点步，降低一点目标值目标值fr。6.3.5步骤法（步骤法（STEM法）法）STEM法的求解步骤：法的求解步骤：求解求解求得解后，再与决策者对话，如此重复，直求得解后，再与决策者对话，如此重复，直至决策者认为满意了为止。至决策者认为满意了为止。例例6.9某公司考虑生产甲、乙两种太阳能电池，某公司考虑生产甲、乙两种太阳能电池，生产过程会在空气中引起放射性污染，因生产过程会在空气中引起放射性污染，因此决策者有两个目标：极大化利润与极小此决策者有两个目标：极大化利润与极小化总的放射性污染。已知在一个生产周期化总的放射性污染。已知在一个生产周期内，每单位甲产品的收益是内，每
33、单位甲产品的收益是1元，每单位乙元，每单位乙产品的收益是产品的收益是3元；每单位甲产品的放射性元；每单位甲产品的放射性污染是污染是1.5单位，每单位乙产品的放射性污单位，每单位乙产品的放射性污染是染是1单位，由于机器能力（小时）、装配单位，由于机器能力（小时）、装配能力（人时）和可用的原材料（单位）的能力（人时）和可用的原材料（单位）的限制，约束条件是（限制，约束条件是（x1、x2分别为甲、乙产分别为甲、乙产品的产量）：品的产量）：例例6.9该问题的目标函数为：该问题的目标函数为：例例6.9STEM法求解法求解先分别求解先分别求解得：得：x(1)=(7.25,12.75)T，x(2)=(0,0
34、)T f1*=45.5，f2*=0例例6.9STEM法支付表法支付表f1f2x(1)=(7.25,12.75)T45.523.625x(2)=(0,0)T00例例6.9STEM法求解法求解求权系数：从求权系数：从支付表中得到支付表中得到归一化后得权系数：归一化后得权系数：例例6.9STEM法求解法求解求解求解最优解为最优解为x0=(0,9.57)T,f1(x0)=28.71,f2(x0)=-9.57例例6.9STEM法求解法求解将将x0=(0,9.57)T,f1(x0)=28.71,f2(x0)=-9.57交给决策者判断。交给决策者判断。决策者将其与理想值（决策者将其与理想值（45.5,0）进
35、行比较）进行比较后，认为后，认为f2 是满意的，是满意的，但利润太低但利润太低。且认为。且认为可以接受污染值为可以接受污染值为10个单位。个单位。修改约束集修改约束集求解得求解得x1=(0,10)T,f1(x1)=30,f2(x0)=-10决策者认为满意，停止迭代。决策者认为满意，停止迭代。决策者认为满意，停止迭代。决策者认为满意，停止迭代。6.4多维效用并合方法多维效用并合方法6.4.1多维效用并合模型多维效用并合模型n多目标决策问题其目标属性的特点：多目标决策问题其目标属性的特点：n目标间的不可公度性目标间的不可公度性即：对各目标的评价没有统一的量纲，不能即：对各目标的评价没有统一的量纲，
36、不能用同一标准评价。用同一标准评价。n目标间的矛盾性目标间的矛盾性提高某一目标值，可能会损害另一目标值。提高某一目标值，可能会损害另一目标值。n多维效用并合方法是解决目标间的不可公度多维效用并合方法是解决目标间的不可公度性和矛盾性的一种有效途径。性和矛盾性的一种有效途径。6.4.1多维效用并合模型多维效用并合模型设多目标决策方案有设多目标决策方案有m个可行方案：个可行方案：a1，a2，.，am有有s个评价准则，测定和计算个评价准则，测定和计算s个评价准则的个评价准则的效用函数为：效用函数为：u1，u2，.，us得到这得到这m个可行方案在个可行方案在s个评价准则下的效个评价准则下的效用值分别是：
37、用值分别是：u1(ai)，u2(ai)，.，us(ai)(i=1，2，.，m)6.4.1多维效用并合模型多维效用并合模型多维效用并合方法多维效用并合方法为了从总体上表示可行方案为了从总体上表示可行方案ai 的总效用，需的总效用，需要要通过某种特定的方法和逻辑程序通过某种特定的方法和逻辑程序，将，将s个个分效用合并为总效用，并依据各可行方案的分效用合并为总效用，并依据各可行方案的总效用对其进行排序。这一多目标决策方法总效用对其进行排序。这一多目标决策方法称为多维效用并合方法。称为多维效用并合方法。主要用于主要用于序列型序列型多层次目标准则体系多层次目标准则体系Hv1w2w1v2w4w3vl wk
38、wk-1u2u1ulul-1.usus-1.图图6.6 序列型多层次目标准则体系序列型多层次目标准则体系6.4.1多维效用并合模型多维效用并合模型图图6.6中：中：H表示可行方案的总效用值，即满意度；表示可行方案的总效用值，即满意度；v1，v2，.，vl表示第二层子目标的效用值；表示第二层子目标的效用值；如如此此类类推推，w1，w2，.，wk表表示示倒倒数数第第二二层各子目标的效用值；层各子目标的效用值；u1，u2，.，us 表表示示最最低低一一层层各各准准则则的的效效用值。用值。6.4.1多维效用并合模型多维效用并合模型效用并合过程效用并合过程从下到上，逐层进行从下到上，逐层进行。最低一层各
39、准则的效用，经过并合得到：最低一层各准则的效用，经过并合得到：符符号号“”表表示示按按某某种种规规则则和和逻逻辑辑程程序序进进行行的的效用并合运算。效用并合运算。6.4.1多维效用并合模型多维效用并合模型多维效用并合的最满意方案为多维效用并合的最满意方案为a*，其满意度，其满意度满足：满足：第三层子目标的效用并合得到第二层各目标第三层子目标的效用并合得到第二层各目标的并合效用值：的并合效用值：最后，可得可行方案最后，可得可行方案ai 的满意度为：的满意度为：6.4.2多维效用并合规则多维效用并合规则在多目标决策中，根据决策目标的不同属性，在多目标决策中，根据决策目标的不同属性，效用并合采取不同
40、方式进行。效用并合采取不同方式进行。多维效用合并规则可由二维效用合并规则导多维效用合并规则可由二维效用合并规则导出，故先讨论二维效用合并规则。出，故先讨论二维效用合并规则。二维效用函数与二维效用曲面二维效用函数与二维效用曲面设效用设效用u1，u2分别在区间分别在区间0，1上取值，上取值，二元连续函数二元连续函数W=W(u1，u2)称为称为二维效用函二维效用函数数，其定义域是坐标平面，其定义域是坐标平面u1，u2上的一个正上的一个正方形，称为二维效用平面，其值域是方形，称为二维效用平面，其值域是W轴上轴上的区间的区间0，1，曲面，曲面W=W(u1，u2)称为称为二二维效用曲面维效用曲面。6.4.
41、2多维效用并合规则多维效用并合规则多维效用函数与多维效用曲面多维效用函数与多维效用曲面设效用设效用u1，u2，.，un 分别在区间分别在区间0，1上取值，上取值，n元连续函数元连续函数W=W(u1，u2，.，un)称为称为n维效用函数维效用函数。其定义域是其定义域是n维效用空间维效用空间u1，u2，.，un上有上有2n个顶点的凸多面体。个顶点的凸多面体。其值域是其值域是0，1。曲面曲面W=W(u1，u2，.，un)称为称为n维效用曲维效用曲面面。6.4.2多维效用并合规则多维效用并合规则1.距离规则距离规则称满足以下条件的并合规则为距离规则：称满足以下条件的并合规则为距离规则：当二效用同时达到
42、最大值时，并合效用达到当二效用同时达到最大值时，并合效用达到最大值最大值1，即：，即：W(1，1)=1；当二效用同时取最小值时，并合效用取零效当二效用同时取最小值时，并合效用取零效用值用值(最小值最小值)，即：，即：W(0，0)=0；二效用之一达到最大值，均不能使并合效用二效用之一达到最大值，均不能使并合效用达到最大值，即：达到最大值，即：0W(u1，1)1，0u110W(1，u2)1，0u20 0时，近似于乘法规则形式：时，近似于乘法规则形式：6.4.3多维效用并合方法应用实例多维效用并合方法应用实例多维效用并合方法是多目标决策的一种实多维效用并合方法是多目标决策的一种实用方法，在经济管理、
43、项目评价、能源规用方法，在经济管理、项目评价、能源规划、人口控制等方面有着广泛的应用。划、人口控制等方面有着广泛的应用。例：例：“我国总人口目标我国总人口目标”实例实例经过统计分析测算，我国人口发展周期应经过统计分析测算，我国人口发展周期应是人均寿命是人均寿命70年，制定控制人口目标，宜以年，制定控制人口目标，宜以100年为时间范围。需要确定年为时间范围。需要确定100年内，我国年内，我国人口控制最合理的总目标是多少。人口控制最合理的总目标是多少。例：例：“我国总人口目标我国总人口目标”方案：方案：对我国总人口目标的对我国总人口目标的14个方案进行决策分个方案进行决策分析，即我国总人口分别控制
44、为析，即我国总人口分别控制为2亿、亿、3亿、亿、4亿、亿、5亿、亿、6亿、亿、7亿、亿、8亿、亿、9亿、亿、10亿、亿、11亿、亿、12亿、亿、13亿、亿、14亿、亿、15亿亿14个人口方个人口方案，分别记为案，分别记为ai(i=1,2,14),其满意度分其满意度分别为别为Hi(i=1,2,14)。例：例：“我国总人口目标我国总人口目标”各国各国对比对比u9我国人口总目标我国人口总目标HV1V2吃用吃用v1实力实力v2用用w2吃吃w1粮食粮食u1鱼肉鱼肉u2空气空气u4水水u5能源能源u6土地土地u3最低总和最低总和生育率生育率u8GNPu7目标准则体系目标准则体系例：例：“我国总人口目标我国
45、总人口目标”效用并合效用并合1、u1（粮食粮食）、u2（鱼肉鱼肉）并合为并合为w1宜用乘宜用乘法规则：法规则：w1 u1u22、u3（土地）、（土地）、u4（空气）、（空气）、u5（水）（水）并并合为合为w2宜宜用乘法规则用乘法规则w2 u3u4u53、u6（能源）、（能源）、u7（GNP）并合为并合为v2宜用宜用乘法规则乘法规则v2 u7u84、u8（minmin）、）、u9（各国对比）（各国对比）并合为并合为V2宜宜用乘法规则用乘法规则V2 u8u9 例：例：“我国总人口目标我国总人口目标”效用并合效用并合5、w1（吃吃）、w2（用用）并合为并合为v1宜用加法规宜用加法规则：则：v1w1+
46、(1-)w26、v1（吃用）、（吃用）、v2（实力）（实力）并合为并合为V1宜宜用用加法规则：加法规则：V1v1+(1-)v27、V1、V2并合为并合为H宜用乘法规则：宜用乘法规则：H V1V2得：得：6.5层次分析方法层次分析方法AHP方法方法是美国运筹学家是美国运筹学家T.L.Saaty于于20世纪世纪70年代提出的，年代提出的，AHP决策分析法是决策分析法是Analytic Hierarchy Process的简称。的简称。是一种定性与定量相结合的多目标决策分析是一种定性与定量相结合的多目标决策分析方法。方法。AHP决策分析法，能有效地分析决策分析法，能有效地分析非序列型非序列型多多层次
47、目标准则体系，是解决复杂的非结构化层次目标准则体系，是解决复杂的非结构化的经济决策问题的重要方法，是计量经济学的经济决策问题的重要方法，是计量经济学的主要方法之一。的主要方法之一。例例6.10科研课题的综合评价科研课题的综合评价综合评价科研课题综合评价科研课题成果贡献成果贡献人才培养人才培养可行性可行性发展前景发展前景实实用用价价值值科科技技水水平平优优势势发发挥挥难难易易程程度度研研究究周周期期财财政政支支持持经经济济效效益益社社会会效效益益6.5.1AHP方法的基本原理方法的基本原理首先要将问题条理化、层次化，构造出能够首先要将问题条理化、层次化，构造出能够反映系统本质属性和内在联系的递阶
48、层次模反映系统本质属性和内在联系的递阶层次模型。型。1.递阶层次模型递阶层次模型根据系统分析的结果，弄清系统与环境的关根据系统分析的结果，弄清系统与环境的关系，系统所包含的因素，因素之间的相互联系，系统所包含的因素，因素之间的相互联系和隶属关系等。系和隶属关系等。将具有共同属性的元素归并为一组，作为结将具有共同属性的元素归并为一组，作为结构模型的一个层次，同一层次的元素既对下构模型的一个层次，同一层次的元素既对下一层次元素起着制约作用，同时又受到上一一层次元素起着制约作用，同时又受到上一层次元素的制约。层次元素的制约。1.递阶层次模型递阶层次模型AHP的层次结构既可以是序列型的，也可的层次结构
49、既可以是序列型的，也可以以是非序列型是非序列型的。一般将层次分为三种类的。一般将层次分为三种类型：型：最高层：最高层：只包含一个元素，表示决策分析只包含一个元素，表示决策分析的总目标，也称为总目标层。的总目标，也称为总目标层。中间层：中间层：包含若干层元素，表示实现总目包含若干层元素，表示实现总目标所涉及到的各子目标，也称为目标层。标所涉及到的各子目标，也称为目标层。最低层：最低层：表示实现各决策目标的可行方案、表示实现各决策目标的可行方案、措施等，也称为方案层。措施等，也称为方案层。1.递阶层次模型递阶层次模型H.A1A2An-1AnG11G12G1n-1G1n最高层最高层中间层中间层最低层
50、最低层G21G22G1k-1G1k层次结构图层次结构图1.递阶层次模型递阶层次模型相邻两层元素之间的关系用直线标明，称之相邻两层元素之间的关系用直线标明，称之为作用线，元素之间不存在关系就没有作用为作用线，元素之间不存在关系就没有作用线。线。若某元素与相邻下一层次的所有元素均有关若某元素与相邻下一层次的所有元素均有关系，则称此元素与下一层次存在系，则称此元素与下一层次存在完全层次关完全层次关系系；如果某元素仅与相邻下一层次的部分元；如果某元素仅与相邻下一层次的部分元素有关系，则称为素有关系，则称为不完全层次关系不完全层次关系。实际中，模型的层次不宜过多，每层元素一实际中，模型的层次不宜过多，每