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1、第四次第四次课自自动控制理控制理论第1页，此课件共42页哦系统稳定的充要条件？思 考 对于一个自动控制系统，其开环数学模型易于获取，同时它包含了闭环系统所有环节的动态结构和参数。如果知道了开环特性，要研究闭环系统的稳定性？奈奎斯特（Nyquist）稳定判据。Nyquist稳定判据是奈奎斯特于1932年提出的，是频率法的重要内容，简称奈氏判据。第2页，此课件共42页哦一、辐角原理一、辐角原理对于一个复变函数式中-zi(i=1,2,m)为F(s)的零点，-pj(j=1,2,n)为F(s)的极点。柯西辐角原理：s平面上不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线Cs包围s平面上F(s)的 Z 个零点和 P 个
2、极点。当s以顺时针方向沿封闭曲线Cs 移动一周时，在F(s)平面上映射的封闭曲线CF 将以顺时针方向绕原点旋转 N 圈。N，Z，P的关系为：N=ZP。示意图第3页，此课件共42页哦若N为正，表示CF顺时针运动，包围原点；若N为0，表示CF顺时针运动，不包围原点；若N为负，表示CF逆时针运动，包围原点。函数F(s)是复变量s的单值函数，s可以在整个s平面上变化，对于其上的每一点，除有限(n)个极点外，函数F(s)都有唯一的一个值与之对应。对于一个复变函数例设：第4页，此课件共42页哦 F(s)的值域构成的复平面称为F(s)平面。其中s平面上的全部零点都映射到F(s)平面上的原点；s平面上的极点映
3、射到F(s)平面上时都变成了无限远点。除了s平面上的零、极点之外的普通点，映射到F(s)平面上是除原点之外的有限点。注意，虽然函数F(s)从s平面到F(s)平面的映射是一一对应的，然而逆过程往往并非如此。例如已知 这个函数在有限的s平面上除s=0,1,2以外均解析，除此三点外，s平面上的每一个s值在F(s)平面只有一个对应点，但是F(s)平面上的每一个点在s平面上却有三个映射点。第5页，此课件共42页哦现考虑s平面上一点s1映射到F(s)平面上的点F(s1)可以用一个向量来表示，即当向量的幅值为向量的相角为第6页，此课件共42页哦ReImReIms 平面F(s)平面第7页，此课件共42页哦当s
4、平面上动点s从s1经过某曲线CS到达s2，映射到F(s)平面上也将是一段曲线CF，该曲线完全由F(s)表达式和s平面上的曲线Cs决定。若只考虑动点s从s1到达s2相角的变化量，则有例第8页，此课件共42页哦例设：，当s平面上的动点沿平行于虚轴的直线，从(-1，j1)到(-1，j0)，映射到F(s)平面上的点将沿某曲线从(0，-j1)到(-1，-j0)，相角的变化为：第9页，此课件共42页哦 现考虑s平面上既不经过零点也不经过极点的一条封闭曲线Cs。当变点s沿Cs顺时针方向绕行一周，连续取值时，则在F(s)平面上也映射出一条封闭曲线CF。在s平面上，用阴影线表示的区域，称为Cs的内域。由于我们规
5、定沿顺时针方向绕行，所以内域始终处于行进方向的右侧。在F(s)平面上，由于Cs映射而得到的封闭曲线CF的形状及位置，严格地决定于Cs。示意图第10页，此课件共42页哦 在这种映射关系中，有一点是十分重要的，即：不需知道围线Cs的确切形状和位置，只要知道它的内域所包含的零点和极点的数目，就可以预知围线CF是否包围坐标原点和包围原点多少次；反过来，根据已给的围线CF是否包围原点和包围原点的次数，也可以推测出围线Cs的内域中有关零、极点数的信息。第11页，此课件共42页哦1.围线Cs既不包围零点也不包围极点如图所示，在s平面上当变点s沿围线Cs按顺时针方向运动一周时，我们来考察F(s)中各因子项的辐
6、角的变化规律。现以图中未被包围的零点-2为例。当变点s沿Cs绕行一周后，因子(s+2)的辐角a的变化为0。同理，对未被包围的极点也是一样，因子项(s+0)的辐角b在变点s沿Cs绕行一周后的变化也等于0。于是，映射到F(s)平面上，当变点F(s)沿CF绕行一周后的辐角变化也应等于0。这表明，围线CF此时不包围原点。ab第12页，此课件共42页哦2.围线Cs只包围零点不包围极点如图所示围线Cs包围一个零点z=-2，先考察因子(s+2)辐角a，当变点s沿Cs顺时针绕行一周时，a 的变化为-360。映射到F(s)平面上对应变点F(s)沿CF绕行一周后的辐角变化也应等于-360同理，当围线Cs的内域包含
7、Z个零点时(但不包含极点)，CF应顺时针包围原点Z次。a第13页，此课件共42页哦 围线Cs只包围极点不包围零点这种情况如图所示，如果围线Cs包围一个极点，则当变点s沿Cs顺时针绕行一周时，因子(s+0)-1的辐角-b将变化360。映射到 F(s)平面上，围线CF应逆时针包围原点一次。同理，当围线Cs的内域只包含P个极点时，CF应逆时针包围原点P次，或者说，CF顺时针包围原点-P次。b第14页，此课件共42页哦 围线Cs包围Z个零点和P个极点由上述讨论显然可知，当变点s沿Cs顺时针绕行一周时，CF应顺时针包围原点ZP次。亦即CF顺时针包围原点次数N=ZP。这就是所谓辐角原理。第15页，此课件共
8、42页哦柯西辐角原理：s平面上不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线Cs包围s平面上F(s)的 Z 个零点和 P 个极点。当s以顺时针方向沿封闭曲线Cs 移动一周时，在F(s)平面上映射的封闭曲线CF 将以顺时针方向绕原点旋转N圈。N，Z，P的关系为：N=ZP。第16页，此课件共42页哦二、奈奎斯特稳定判据二、奈奎斯特稳定判据奈奎斯特巧妙地应用了辐角原理得到了奈奎斯特稳定判据。设系统结构图如图所示令：则开环传递函数为：(a)闭环传递函数为：(b)第17页，此课件共42页哦显然，令复变函数等于零即是闭环特征方程。复变函数的阶数为n阶，且分子分母同阶。则复变函数可写成以下形式：。式中，为F(s)的零、
9、极点。由上页(a)、(b)及(c)式可以看出：F(s)的极点为F(s)的零点为将闭环特征式与开环特征式之比构成一个复变函数，得：.(c)开环传递函数的极点；闭环传递函数的极点；第18页，此课件共42页哦 奈奎斯特为了应用柯西辐角原理研究闭环系统的稳定性，因此设想：如果有一个s平面的封闭曲线能包围整个s右半平面，则根据柯西辐角原理知：该封闭曲线在F(s)平面上的映射包围原点的次数应为：N=F(s)的右半零点数F(s)的右半极点数 =闭环系统右半极点数开环系统右半极点数当已知开环右半极点数时，便可由 N 判断闭环右极点数。第19页，此课件共42页哦这里需要解决两个问题：1、如何构造一个能够包围整个
10、s右半平面的封闭曲线，并且它是满足柯西辐角条件的？2、如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数N，并将它和开环频率特性Gk(j)相联系？正虚轴：第1个问题：先假设F(s)在虚轴上没有零、极点。按顺时针方向做一条曲线Cs包围整个s右半平面，这条封闭曲线称为奈奎斯特路径。如下图所示。它可分为三部分：右半平面上半径为无穷大的半圆：负虚轴：第20页，此课件共42页哦F(s)平面上的映射是这样得到的：以 s=Rejq 代入F(s)，令R，q:，得第二部分的映射；得到映射曲线后，就可由柯西辐角定理计算 N=ZP，式中Z、P是F(s)在s右半平面的零点数和极点数。若已知P，并能确定N，可求出Z=N+P。当
11、Z=0时，系统稳定；否则不稳定。以 s=j 代入F(s)，令 从0变化，得第一部分的映射；以 s=j 代入F(s)，令从0，得第三部分的映射。第21页，此课件共42页哦F(s)对原点的包围，相当于Gk(s)对(-1,j0)的包围；即映射曲线F(s)对原点的包围次数N与Gk(s)对(-1,j0)点的包围的次数一样。第部分的映射是Gk(j)曲线向右移1；F(s)的极点就是Gk(s)的极点，因此F(s)在右半平面的极点数就是Gk(s)在右半平面的极点数。由Gk(j)可求得F(j)，而Gk(j)是开环频率特性。第2个问题：如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数N，并将它和开环频率特性Gk(j)相联
12、系？奈奎斯特所构造的的F(s)1Gk(s)，Gk(s)为开环传递函数。第部分的映射，一般在Gk(s)中，分母阶数比分子阶数高，所以当s=ejq 时，Gk(s)0，即F(s)=1。若分母阶数=分子阶数，则Gk(s)K(零极点形式的开环增益)，即F(s)=1+K。第部分的映射是第部分的映射关于实轴的对称。第22页，此课件共42页哦第23页，此课件共42页哦 根据上面的讨论，如果将柯西辐角定理中的封闭曲线取奈奎斯特路径，则可将柯西辐角定理用于判断闭环控制系统的稳定性。就是下面所述的奈奎斯特稳定判据。奈奎斯特稳定判据：若系统的开环传递函数在右半平面上有P个极点，且开环频率特性曲线对(1，j0)点包围的
13、次数为N，（N 0顺时针，N 1第28页，此课件共42页哦 上面讨论的奈奎斯特判据和例子，都是假设虚轴上没有开环极点，即开环系统都是0型的，这是为了满足柯西辐角定理的条件。但是对于I、II型的开环系统，由于在虚轴上（原点）有极点，因此不能使用柯西辐角定理来判定闭环系统的稳定性。为了解决这一问题，需要重构奈奎斯特路径。第29页，此课件共42页哦设系统的开环传递函数为：可见，在原点有v重0极点。也就是在s=0点，Gk(s)不解析，若取奈氏路径同上时(通过虚轴的包围整个s右半平面的半圆)，不满足柯西辐角定理。为了使奈氏路径不经过原点而仍然能包围整个s右半平面，重构奈氏路径如下：以原点为圆心，半径为无
14、穷小做右半圆。这时的奈氏路径由以下四部分组成：三、开环传递函数在虚轴上有极点三、开环传递函数在虚轴上有极点第30页，此课件共42页哦第31页，此课件共42页哦(b)对于型系统：将奈氏路径中的点 代入 中得：所以这一段的映射为：半径为 ，角度从 变到 的整个圆（顺时针）。所以这一段的映射为：半径为 ，角度从 变到 的右半圆。第C2部分：(a)对于型系统：将奈氏路径中的点 代入 中得：第32页，此课件共42页哦结论用上述形式的奈氏路径，将C2部分在GH平面上的映射曲线与奈氏曲线在 =j0+和 =j0-处相连接，就组成了一条封闭的曲线。这样奈氏判据仍可应用于I、II型系统。例系统的开环传递函数为试判
15、别该系统的稳定性。解：由于该系统为I型系统，它在坐标原点处有一个开环极点。因而在s平面上的所取的奈氏路径如图所示。该图的C2部分在GH平面上的映射曲线为一半径无穷大的半圆，它与奈氏曲线G(j)H(j)相连接后的围线如下图所示。第33页，此课件共42页哦由图可见，N=0，而系统的P=0，因而 Z=0，即闭环系统是稳定的。第34页，此课件共42页哦例：已知系统的开环传递函数为则系统不稳定解：由开环传递函数得所以 Z=2第35页，此课件共42页哦例：已知系统的开环传递函数为分析时间常数T1和T2对系统稳定性的影响。解：由开环传递函数得第36页，此课件共42页哦1）当T1 T2时，G(j)H(j)曲线
16、如图所示。G(j)H(j)曲线以顺时针方向包围(-1,j0)点旋转两周，这意味着有两个闭环极点位于s的右半平面，说明系统是不稳定的。第39页，此课件共42页哦四、奈氏判据在对数坐标图上的应用四、奈氏判据在对数坐标图上的应用与绘制系统奈奎斯特曲线相比，开环对数频率特性曲线的绘制更为简单、方便。博德图是否也适用于奈氏判据？第40页，此课件共42页哦1.奈氏图与博德图之间的对应关系奈氏图与博德图之间的对应关系奈氏图与博德图之间的对应关系奈氏图与博德图之间的对应关系 在G(j)平面上，|G(j)|=1的单位圆的圆周，对应于对数幅频特性的0分贝线；单位圆外部如(-,-1)区段，对应L()0dB，单位圆内部对应L()0dB的频率范围内，相 频 特 性 曲 线 穿 过-180；在L()0dB的频率范围内，相频特性曲线穿过-180不是穿越。正穿越N+：产生正的相位移，相频特性应穿越-180线。负穿越N-：产生负的相位移，相频特性应穿越-180线。2）博德图中的穿越：负穿越：曲线以顺时针方向包围(-1,j0)点一周，则次曲线将由下向上穿越负实轴一次。第42页，此课件共42页哦