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1、关于函数逼近和曲线拟合第1页，讲稿共64张，创作于星期日 当函数只在当函数只在有限点集有限点集上给定上给定函数值函数值，要在，要在包含该点击的区间上包含该点击的区间上用公式给出用公式给出函数的函数的简单表简单表达式达式，这些都涉及到在区间，这些都涉及到在区间a,ba,b上上用简单函数用简单函数逼近逼近已知复杂函数已知复杂函数的问题，这就是函数逼近问的问题，这就是函数逼近问题。题。插值法就是函数逼插值法就是函数逼近问题的一种近问题的一种第2页，讲稿共64张，创作于星期日拟解决的问题：拟解决的问题：1.计算复杂的函数值计算复杂的函数值2.已知有限点集上的函数值，给出在包含该点集已知有限点集上的函数
2、值，给出在包含该点集的区间上函数的简单表达式的区间上函数的简单表达式函数逼近函数逼近对函数类对函数类A中给定的函数中给定的函数f(x)，记作，记作 要求在另一类简单的便于计算的函数类要求在另一类简单的便于计算的函数类B中求函数中求函数 使使p(x)与与f(x)的误差在的误差在某种度量意义某种度量意义下最小。下最小。逼近问题逼近问题函数逼近函数逼近曲线拟合曲线拟合第3页，讲稿共64张，创作于星期日基本数学概念：定义1：设集合S是数域P上的线性空间，元素如果存在不全为0的数，使得线性相关，否则，若等式(1.1)只对则称成立，则称为线性无关。第4页，讲稿共64张，创作于星期日若线性空间S是由n个线性
3、无关元素生成的，即：为空间S的一组基，记为：则称并称该空间为n维空间。称为x在这组基下的坐标。例：n次多项式第5页，讲稿共64张，创作于星期日连续函数不能用有限个线性无关的函数表示，故连续函数空间是无限维的，但它的任一元素可以用有限维的多项式逼近，使误差为任意小。定理1：设则对任何总存在一个代数多项式p(x),使在a,b上一致成立。第6页，讲稿共64张，创作于星期日范数与赋范线性空间范数与赋范线性空间定义2：设S为线性空间，x是S的元素，若存在唯一实数 ，满足条件：则称 为线性空间S上的范数。称为赋范线性空间。第7页，讲稿共64张，创作于星期日例：n维向量空间上定义的三种范数：称为 -范数称为
4、 1 -范数称为 2 -范数第8页，讲稿共64张，创作于星期日例：连续函数空间上定义的三种范数：称为 -范数称为 1 -范数称为 2 -范数第9页，讲稿共64张，创作于星期日例：求下列向量的1范数、2范数和无穷范数第10页，讲稿共64张，创作于星期日内积与内积空间内积与内积空间定义3：设X为数域K（R或C）上的线性空间，满足条件：称(u,v)为 X上u与v的内积。定义了内积的线性空间为内积空间。若(u,v)=0,则称u和v正交。第11页，讲稿共64张，创作于星期日例例如：第12页，讲稿共64张，创作于星期日例其中 为权函数，满足定义4（page 68)第13页，讲稿共64张，创作于星期日正交函
5、数正交函数定义5：既：f(x)与g(x)在a,b上带权 正交。若函数族满足则称该函数族是在a,b上带权 的正交函数族。时为标准正交函数族第14页，讲稿共64张，创作于星期日例如，三角函数族是在区间 上的正交函数族。定义6：正交多项式(page 70)第15页，讲稿共64张，创作于星期日逼近问题逼近问题函数逼近函数逼近曲线拟合曲线拟合第16页，讲稿共64张，创作于星期日实例：考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系,下表是实际测定的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数是记录:第17页，讲稿共64张，创作于星期日纤维强度随拉伸倍数增加而增加并且24个点大致分布在一条直线附近必须找到一种度量标准来衡量什
6、么曲线最接近所有数据点必须找到一种度量标准来衡量什么曲线最接近所有数据点(1)第18页，讲稿共64张，创作于星期日仍然是已知仍然是已知 x1 xm;y1 ym,求一个简求一个简单易算的近似函数单易算的近似函数 P(x)f(x)。但是但是 m 很大；很大；yi 本身是测量值，不准确，即本身是测量值，不准确，即 yi f(xi)这时没必要取这时没必要取 P(xi)=yi,而要使而要使 P(xi)yi 总体上总体上尽可能小。尽可能小。使误差在某种度量意义下最小使误差在某种度量意义下最小第19页，讲稿共64张，创作于星期日常见做法：常见做法：使使 最小最小/*minimax problem*/太复杂太
7、复杂 使使 最小最小不可导，求解困难不可导，求解困难 使使 最小最小 /*Least-Squares method*/第20页，讲稿共64张，创作于星期日最小二乘法的基本概念最小二乘法的基本概念一般使用在回归分析中称为残差称为平方误差第21页，讲稿共64张，创作于星期日在回归分析中称为残差平方和在回归分析中称为残差平方和从而确定从而确定(1)(1)中的待定系数中的待定系数注意注意(1)(1)式是一条直线式是一条直线因此将问题一般化因此将问题一般化一般情况下第22页，讲稿共64张，创作于星期日仍然定义平方误差第23页，讲稿共64张，创作于星期日我们选取的度量标准是-(2)-(3)第24页，讲稿共
8、64张，创作于星期日第25页，讲稿共64张，创作于星期日法方程组法方程组由可知因此可假设因此求最小二乘解转化为二次函数第26页，讲稿共64张，创作于星期日由多元函数取极值的必要条件得即第27页，讲稿共64张，创作于星期日-(4)即第28页，讲稿共64张，创作于星期日引入记号则由内积的概念可知-(5)-(6)显然内积满足交换律第29页，讲稿共64张，创作于星期日方程组(4)便可化为-(7)将其表示成矩阵形式-(8)第30页，讲稿共64张，创作于星期日并且其系数矩阵为对称阵所以法方程组的系数矩阵非奇异,即根据Cramer法则,法方程组有唯一解第31页，讲稿共64张，创作于星期日即是的最小值所以因此
9、第32页，讲稿共64张，创作于星期日作为一种简单的情况,基函数之间的内积为平方误差第33页，讲稿共64张，创作于星期日例1.回到本节开始的实例，从散点图可以看出纤维强度和拉伸倍数之间近似与线性关系故可选取线性函数为拟合函数，其基函数为建立法方程组根据内积公式，可得第34页，讲稿共64张，创作于星期日法方程组为解得平方误差为第35页，讲稿共64张，创作于星期日拟合曲线与散点的关系如右图:第36页，讲稿共64张，创作于星期日例2.求拟合下列数据的最小二乘解x=.24.65.95 1.24 1.73 2.01 2.23 2.52 2.77 2.99y=.23-.26-1.10-.45.27.10-.
10、29.24.56 1解:从数据的散点图可以看出因此假设拟合函数与基函数分别为第37页，讲稿共64张，创作于星期日6.7941 -5.3475 63.2589-5.3475 5.1084 -49.008663.2589-49.0086 1002.5 1.6163-2.382726.7728通过计算,得法方程组的系数矩阵及常数项矩阵为第38页，讲稿共64张，创作于星期日用Gauss列主元消去法,得 -1.0410 -1.2613 0.030735拟合的平方误差为图象如图第39页，讲稿共64张，创作于星期日例3.在某化学反应里,测得生成物浓度y%与时间t的数据如下，试建立y关于t的经验公式x=1,2
11、,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16y=4.00,6.40,8.00,8.80,9.22,9.50,9.70,9.86,10.00,10.20,10.32,10.42,10.50,10.55,10.58,10.60解:具有图示的图形的曲线很多，本题特提供两种形式第40页，讲稿共64张，创作于星期日例：例：xy(xi,yi),i=1,2,m方案一：方案一：设设baxxxPy+=)(求求 a 和和 b 使得使得 最小。最小。=+=miiiiybaxxba12)(),(But hey,the system of equations for a and b is no
12、nlinear!Take it easy!We just have to linearize it 线性化线性化/*linearization*/：令：令 ，则，则bXaY+就是个就是个线性问题线性问题将将 化为化为 后易解后易解 a 和和b。),(iiYX),(iiyx第41页，讲稿共64张，创作于星期日方案二：方案二：设设xbeaxPy/)(=(a 0,b 0)线性化：线性化：由由 可做变换可做变换xbay lnlnbBaAxXyY=,ln,1,lnBXAY+就是个就是个线性问题线性问题将将 化为化为 后易解后易解 A 和和B),(iiYX),(iiyx第42页，讲稿共64张，创作于星期日
13、两边取对数,得得即为拟合函数基函数为解法方程组得平方误差为第43页，讲稿共64张，创作于星期日用最小二乘法得即无论从图形还是从平方误差考虑在本例中指数函数拟合比双曲线拟合要好平方误差为第44页，讲稿共64张，创作于星期日权函数：权函数：离散型离散型/*discrete type*/根据一系列离散点根据一系列离散点 拟合时，在每一误差前拟合时，在每一误差前乘一正数乘一正数wi，即，即 误差函数误差函数 ，这个，这个wi 就称就称作作权权/*weight*/，反映该点的重要程度。，反映该点的重要程度。=niiiiyxPw12)(连续型连续型/*continuous type*/在在a,b上用广义多
14、项式上用广义多项式 P(x)拟合连续函数拟合连续函数 f(x)时，定义时，定义权函权函数数 (x)Ca,b，即误差函数，即误差函数 =。权函数权函数(x)必须必须满足：非负、可积，且在满足：非负、可积，且在a,b的任何子区间的任何子区间上上(x)0。加权最小二乘法加权最小二乘法第45页，讲稿共64张，创作于星期日各点的重要性可能是不一样的重度:即权重或者密度，统称为权系数 定义加权平方误差为-(9)第46页，讲稿共64张，创作于星期日使得第47页，讲稿共64张，创作于星期日由多元函数取极值的必要条件得即第48页，讲稿共64张，创作于星期日引入记号定义加权内积-(10)第49页，讲稿共64张，创
15、作于星期日矩阵形式(法方程组)为方程组(10)式化为-(11)-(12)第50页，讲稿共64张，创作于星期日平方误差为作为特殊情形作为特殊情形,用多项式作拟合函数的法方程组为用多项式作拟合函数的法方程组为-(13)第51页，讲稿共64张，创作于星期日例：例：连续型拟合中，取连续型拟合中，取则则 Hilbert阵！阵！改进：改进：若能取函数族若能取函数族=0(x),1(x),n(x),，使得任，使得任意一对意一对 i(x)和和 j(x)两两两两（带权）正交（带权）正交，则，则 B 就化为就化为对对角阵角阵！这时直接可算出这时直接可算出ak=第52页，讲稿共64张，创作于星期日用正交多项式作最小二
16、乘拟合*即正交多项式如何选取呢正交多项式如何选取呢-(14)第53页，讲稿共64张，创作于星期日使得第54页，讲稿共64张，创作于星期日由可知因此第55页，讲稿共64张，创作于星期日而因此第56页，讲稿共64张，创作于星期日可知最后可得正交多项式选取的方法:-(15)由第57页，讲稿共64张，创作于星期日使得由正交多项式的性质,法方程组第58页，讲稿共64张，创作于星期日-(16)-(17)可化为即得即为利用正交多项式的最小二乘解第59页，讲稿共64张，创作于星期日平方误差为第60页，讲稿共64张，创作于星期日例4.是用最小二乘法求拟合这组数据的多项式解:从散点图可知数据和二次多项式拟合较好因此选用二次多项式作这组数据的拟合函数第61页，讲稿共64张，创作于星期日设拟合函数取第62页，讲稿共64张，创作于星期日第63页，讲稿共64张，创作于星期日感感谢谢大大家家观观看看4/9/2023第64页，讲稿共64张，创作于星期日