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1、第六章 动态数列动态数列 第一节 时间序列概述 一、一、时间序列时间序列的概念的概念时间数列又称作动态数列。它是将某种统计指标，时间数列又称作动态数列。它是将某种统计指标，或在不同时间上的不同数值，按时间先后顺序排或在不同时间上的不同数值，按时间先后顺序排列起来，以便于研究其发展变化的水平和速度，列起来，以便于研究其发展变化的水平和速度，并以此来预测未来的一种统计方法。并以此来预测未来的一种统计方法。上海市国内生产总值年份1999200020012002200320042005亿元4034.964551.154950.845408.766250.817450.279143.95例例时间序列由两
2、个基本要素构成：时时间，即现象所属的时间；间，即现象所属的时间；不不同时间上的统计指标数值，即不同时间同时间上的统计指标数值，即不同时间上该现象的发展水平。上该现象的发展水平。二、时间序列的种类 时间序列按照所列入指标数值的不同可分为：时间序列按照所列入指标数值的不同可分为：绝对数动态数列绝对数动态数列相对数动态数列相对数动态数列平均数动态数列平均数动态数列时期数列时期数列时点数列时点数列时期数列特点：数数列中各个指标值是可加的；列中各个指标值是可加的；数数列中每个指标值的大小随着时期的长列中每个指标值的大小随着时期的长短而变动；短而变动；数数列中每个指标值通常是通过连续不断列中每个指标值通常
3、是通过连续不断的登记而取得。的登记而取得。时点数列特点：数数列中各个指标值是不能相加的；列中各个指标值是不能相加的；数数列中每个指标值的大小与时间间隔列中每个指标值的大小与时间间隔的长短没有直接关系；的长短没有直接关系；数数列中每个指标值通常是按期登记一列中每个指标值通常是按期登记一次取得的。次取得的。全国城乡居民储蓄存款年末199920002001200220032004余额2597.122524.053001.894915.546054.606960.99例例单位：亿元我国各年国内生产总值增长率年份19981999200020012002200320042005增速7.87.18.07.3
4、8.09.09.59.9例例单位：%上海职工2001-2005年年平均工资年份20012002200320042005年平均工资1776419473221602439826823例例单位：元三、时间序列的编制原则 基本原则是遵守其可比性。基本原则是遵守其可比性。具体说有以下几点：具体说有以下几点：注注意时间的长短应统一；意时间的长短应统一；总总体范围应该一致；体范围应该一致；指指标的经济内容应该相同；标的经济内容应该相同；指指标的计算方法和计量单位应该一致。标的计算方法和计量单位应该一致。第二节 时间序列的水平分析 属属于现象发展的水平分析指标有：于现象发展的水平分析指标有：发展水平发展水平平
5、均发展水平平均发展水平增长量增长量平均增长量。平均增长量。一、发展水平 在在动态数列中，每个绝对数指标数值叫做发动态数列中，每个绝对数指标数值叫做发展水平或动态数列水平。展水平或动态数列水平。如如果用果用a a0 0，a a1 1，a a2 2，a a3 3，aan n，代表数列中，代表数列中各个发展水平，则其中各个发展水平，则其中a a0 0即最初水平，即最初水平，a an n即即最末水平最末水平。二、平均发展水平 平平均发展水平是对不同时期的发展水平求平均发展水平是对不同时期的发展水平求平均数，统计上又叫序时平均数均数，统计上又叫序时平均数。某车间各月工业增加值月份123456789101
6、112增加值(万元)304038444852546066767082季度一二三四各季每月平均增加值(万元)36486076例例序时平均数与一般平均数的异同点：二者都是将现象的个别数量差异抽象化，二者都是将现象的个别数量差异抽象化，概括地反映现象的一般水平。概括地反映现象的一般水平。-计算方法不同；计算方法不同；-差异抽象化不同；差异抽象化不同；-序时平均数还可解决某些可比性问题。序时平均数还可解决某些可比性问题。不不同点同点 相相同点同点 序时平均数的计算方法：绝绝对数动态数列的序时平均数对数动态数列的序时平均数 1.1.时时期数列的序时平均数期数列的序时平均数月份一二三四五六产量(万件)24
7、2028283029例例2.时点数列的序时平均数(1)(1)如果资料是连续时点资料，可分为二种情况：如果资料是连续时点资料，可分为二种情况：2).2).对对非连续变动的连续时点数列非连续变动的连续时点数列(即分组资料即分组资料)1).1).对对连续变动的连续时点数列连续变动的连续时点数列(即未分组资料即未分组资料)某厂7月份的职工人数自7月1日至7月10日为258人，7月11日起至7月底均为279人，则该厂7月份平均职工人数为：例例 如果资料是间断时点资料，也可分为 二种情况：1)1)对对间隔相等的间断时点资料间隔相等的间断时点资料某成品库存量如下：某成品库存量如下：现假定：每天变化是均匀的；
8、本月初与上月末的库存量相等。则各月平均库存量为：3月31日4月30日5月31日6月30日库存量(件)3000330026802800例例2)对间隔不等的间断时点资料某城市2003年各时点的人口数日期1月1日5月1日8月1日12月31日人口数(万人)256.2257.1258.3259.4例例 相对数动态数列的序时平均数1.1.由由两个时期数列对比组成的相对数动态两个时期数列对比组成的相对数动态数列的序时平均数数列的序时平均数某厂7-9月份生产计划完成情况7月份8月份9月份a 实际产量(件)125613671978b 计划产量(件)115012801760c 产量计划完成%109.2 106.8
9、 112.4例例2.由两个时点数列对比组成的相对数动态数列的序时平均数某厂第三季度生产工人与职工人数资料日 期6月30日7月31日8月31日9月30日 a 生产工人数（人）645670695710 b 全体职工数（人）805826830845 c 生产工人占全体职工的%80.1 81.1 83.7 83.1例例若为间隔不等的二个间断时点数列对比组成的相对数动态数列的序时平均数为：若由二个连续时点数列对比组成的相对数动态数列的序时平均数：3.由一个时期数列和一个时点数列对比组成 的相对数动态数列的序时平均数。某商业企业商品销售额与库存额情况1月2月3月a 商品销售额(万元)801502401月1
10、日 2月1日 3月1日 4月1日b 商品库存额(万元)35455565例例 平均数动态数列的序时平均数1.1.由由一般平均数组成的平均数动态数列一般平均数组成的平均数动态数列 的序时平均数。的序时平均数。一般公式：某厂某年1-6月每一工人平均产值月份123456a 工业增加值(万元)33 39.6539.4444.1 46.848.3b 平均工人数(人)60 656870 7270c 每一工人平均产值(万元)0.55 0.61 0.58 0.63 0.65 0.69例例2.由序时平均数组成的平均数动态数列 的序时平均数。某企业某年各季平均月产值情况季 度一二三四平均每月产值(万元)141721
11、29可见，当时期相等时，可直接用简单算术平均法计算。可见，当时期相等时，可直接用简单算术平均法计算。若时期或间隔不等时，应使用加权算术平均法计算若时期或间隔不等时，应使用加权算术平均法计算。例例三、增长量 说明某种现象在一定时期内所增长的绝对数量。说明某种现象在一定时期内所增长的绝对数量。因为基期有两种因为基期有两种前一时期前一时期某一固定时期某一固定时期增长量增长量累计增长量：累计增长量：逐期增长量逐期增长量：四、平均增长量 说明社会现象在一段时期内平均每期增加的说明社会现象在一段时期内平均每期增加的绝对数量。绝对数量。某省2000-2005年某工业产品产量年份200020012002200
12、320042005发展水平:产量1104.31351.1 1707.02215.52872.4 3301.0增长量累计 -246.8 602.7 1111.2 1768.1 2196.7逐期 -246.8 355.9 508.5 656.9 428.6发展速度(%)定基 100 122.3 154.6 200.6 260.1 298.9环比 -122.3 126.3 129.8 129.7 114.9增长速度(%)定基 -22.3 54.6 100.6 160.1 198.9环比 -22.3 26.3 29.8 29.7 14.9增长1%绝对值 -11.0 13.5 17.1 22.2 28.
13、7例例单位：万台第三节 时间序列的速度分析指标 动动态数列的速度指标有态数列的速度指标有：发展速度发展速度增长速度增长速度平均发展速度平均发展速度平均增长速度平均增长速度 一、发展速度 反映社会经济现象发展程度的动态相对指标。反映社会经济现象发展程度的动态相对指标。二、增长速度 反映社会经济现象增长程度的动态相对指标。反映社会经济现象增长程度的动态相对指标。某省2000-2005年某工业产品产量年份200020012002200320042005发展水平:产量1104.31351.11707.02215.52872.43301.0增长量累计 -246.8 602.71111.21768.121
14、96.7逐期 -246.8 355.9 508.5 656.9 428.6发展速度(%)定基 100 122.3 154.6 200.6 260.1 298.9环比 -122.3 126.3 129.8 129.7 114.9增长速度(%)定基 -22.3 54.6 100.6 160.1 198.9环比 -22.3 26.3 29.8 29.7 14.9增长1%绝对值 -11.0 13.5 17.1 22.2 28.7例例单位：万台三、平均发展速度和平均增长速度 平平均发展速度是各个环比发展速度的动态平均均发展速度是各个环比发展速度的动态平均数数(序时平均数序时平均数)，说明某种现象在一个较
15、长时，说明某种现象在一个较长时期中逐年平均发展变化的程度期中逐年平均发展变化的程度；平平均增长速度是各个环比增长速度的动态平均均增长速度是各个环比增长速度的动态平均数，说明某种现象在一个较长时期中逐年平均数，说明某种现象在一个较长时期中逐年平均增长变化的程度增长变化的程度。平均发展速度1.1.几几何平均法，又称水平法何平均法，又称水平法。某企业总产值资料基年第一年第二年第三年第四年第五年总产值(万元)270.1273.80289.20314.40322.30340.70环比发展速度(%)-101.37101.62108.71102.51105.71定基发展速度(%)-101.37107.071
16、16.40119.33126.14例例2.高次方程法，又称累计法。在实践中，如果长期计划按累计法制定，则要求用在实践中，如果长期计划按累计法制定，则要求用 方程法计算平均发展速度方程法计算平均发展速度。解这样的高次方程，用查表法。水平法与累计法之比较：实际资料按水平法计算按累计法计算发展水平(万元)环比发展速度(%)定基发展速度(%)平均发展速度(%)推算定基发展速度(%)推算发展水平平均发展速度(%)推算定基发展速度(%)推算发展水平aXYYaY”a”基 年270.1-100-100-100-第一年273.8101.37101.37104.75104.75282.93104.40104.40
17、281.98第二年289.2105.62107.07104.75109.73296.38104.40108.99294.39第三年314.4108.71116.40104.75114.94310.45104.40113.79307.34第四年322.3102.51119.33104.75120.40325.19104.40118.80320.87第五年340.7105.71126.14104.75126.12340.64104.40124.02334.99合 计1540.4-570.31-575.941555.58-570.001539.57 平均增长速度平均增长速度平均增长速度=平均发展速度
18、平均发展速度-1 (100%)-1 (100%)平平均发展速度大于均发展速度大于“1”“1”，平均增长速度就为正值。，平均增长速度就为正值。则称则称“平均递增速度平均递增速度”或或“平均递增率平均递增率”。平平均发展速度小于均发展速度小于“1”“1”，平均增长速度就为负值。，平均增长速度就为负值。则称则称“平均递减速度平均递减速度”或或“平均递减率平均递减率”。第四节 时间序列的变动和趋势分析 长长期趋势就是指某一现象在一个相当长的时期期趋势就是指某一现象在一个相当长的时期内持续发展变化的趋势。内持续发展变化的趋势。(向上或向下变化向上或向下变化)测定长期趋势的目的主要有三个：把把握现象的趋势
19、变化；握现象的趋势变化；从从数量方面研究现象发展的规律性，探求数量方面研究现象发展的规律性，探求合适趋势线；合适趋势线；为为测定季节变动的需要。测定季节变动的需要。长期趋势的类型基本有二种：直直线趋势；线趋势；非非直线趋势，即趋势曲线。直线趋势，即趋势曲线。测定长期趋势常用的主要方法有：间间隔扩大法；隔扩大法；移移动平均法；动平均法；最最小平方法。小平方法。一、间隔扩大法 月份123456789101112增加值50.5455251.550.455.55358.45759.25860.5某工厂某年各月增加值完成情况 单位：万元例例 通过扩大时间间隔，编制成如下新的动态数列：第一季度第二季度第三
20、季度第四季度增加值(万元)147.5157.4168.4177.7仍用上例资料：月份123456789101112增加值y(万元)50.5455251.550.455.55358.45759.25860.5三项移动平均yc-49.249.551.352.55355.656.158.258.159.2-趋势值项数=原数列项数-移动平均项数+1 =12-3+1=10二、移动平均法 注注1 1：若采用奇数项移动平均若采用奇数项移动平均(如上例如上例“三项三项”)”)，则平均值是对准在奇项的居中时间处。一次，则平均值是对准在奇项的居中时间处。一次可得趋势值；可得趋势值；若采用偶数项移动平均，则平均值也
21、居中，若采用偶数项移动平均，则平均值也居中，因未对准原来的时间，还要再计算一次平均数，因未对准原来的时间，还要再计算一次平均数，故一般都用奇数项移动平均。故一般都用奇数项移动平均。注注2 2：修匀后的数列，较原数列项数少。修匀后的数列，较原数列项数少。(在进在进行统计分析时，若需要两端数据，则此法不宜行统计分析时，若需要两端数据，则此法不宜使用使用)注注3 3：取几项进行移动平均为好，一般若现象有取几项进行移动平均为好，一般若现象有周期变动，则以周期为长度。例，季度资料周期变动，则以周期为长度。例，季度资料可四项移动平均；各年月资料，可十二项移可四项移动平均；各年月资料，可十二项移动平均；五年
22、一周期，可五项移动平均。移动平均；五年一周期，可五项移动平均。移动平均法可消除周期变动。动平均法可消除周期变动。月份123456789101112y50.5455251.550.455.55358.45759.25860.5四项移动平均 49.8 49.7 52.4 52.6 54.3 56.0 56.9 58.2 58.7二项移正yc49.851.152.553.555.256.557.658.5用四项移动平均后的资料作图，趋势更明显，上升得更均匀，可见修匀的项数越多，效果越好。(但丢掉的数据多一些)仍用上例资料：由此可见，该厂的增加值趋势是上升的。图示图示三、最小平方法 即对原有动态数列配
23、合一条适当的趋势线来进行修匀。即对原有动态数列配合一条适当的趋势线来进行修匀。这条趋势线可以是直线，也可以是曲线；这条趋势线这条趋势线可以是直线，也可以是曲线；这条趋势线必须满足最基本的要求。即：必须满足最基本的要求。即：直线方程当当现象的发展，其逐期增长量大体上相等时。现象的发展，其逐期增长量大体上相等时。该方程的一般形式为该方程的一般形式为：用高等数学求偏导数方法，得到以下联立方程组：为使计算方便，可设t:奇数项奇数项：偶数项偶数项：这样使，即上述方程组可简化为：tytyt2yc逐期增长量 -11 50.5 -555.512147.98-9 45 -405 8149.12-5.5 -7 5
24、2 -364 4950.267 -5 51.5 -257.5 2551.40-0.5 -3 50.4 -151.2 952.54-0.9 -1 55.5 -55.5 153.68 5.1 1 53 53 154.82-2.5 3 58.4 175.2 955.96 5.4 5 57 285 2557.10 -1.4 7 59.2 414.4 4958.24 2.2 9 58 522 8159.38-1.2 11 60.5 665.512160.52 2.5合计 651.0 326.4572 651.00-仍用上例资料：若预测明年二月份增加值，则：抛物线方程例例当当现象的发展，其二级增长量大体上
25、相时现象的发展，其二级增长量大体上相时。某地区1997-2005年国内生产总值的动态数列配合抛物线计算过程如下表：年份GDP(万元)ytt2t4tyt2yyc1997 3941-416256-15764 63056 3897.561998 4285-3 9 81-12774 38322 4259.941999 4736-2 4 16-9472 18944 4854.672000 5652-1 1 1-5652 5652 5681.762001 7020 0 0 0 0 0 6741.202002 7859 1 1 1 7859 7859 8032.992003 9313 2 4 16 1862
26、6 37252 9557.14200411738 3 9 81 3521410564211313.64200513125 416256 52500210000 13302.50合计67642 060708 70537486727 67641.40例例 指数曲线方程例题见教材例题见教材P164-166P164-166当当现象的发展，环比增长速度大体上相等时。现象的发展，环比增长速度大体上相等时。该方程的一般形式为该方程的一般形式为：季度变动的测定与预测 一、季节变动分析的意义一、季节变动分析的意义测测定季节变动的资料时间至少要有三个周期以上，定季节变动的资料时间至少要有三个周期以上，如季节资料，
27、至少要有如季节资料，至少要有1212季，月度资料至季，月度资料至少要有少要有3636个月等，以避免资料太少而产生偶然个月等，以避免资料太少而产生偶然性。性。测定季节变动的方法有二种：按按月平均法，不考虑长期趋势的影响月平均法，不考虑长期趋势的影响(假定不存假定不存在长期趋势在长期趋势)，直接利用原始动态数列来计算；，直接利用原始动态数列来计算；移移动平均趋势剔除法，即考虑长期趋势的存在，动平均趋势剔除法，即考虑长期趋势的存在，剔除其影响后再进行计算，故常用此法。剔除其影响后再进行计算，故常用此法。二、按月平均法测定季节变动 也称按季平均法。若为月度资料就按月平均；若为也称按季平均法。若为月度资
28、料就按月平均；若为季度资料则按季平均。季度资料则按季平均。其其步骤如下：步骤如下：列表，将各年同月列表，将各年同月(季季)的数值列在同一栏内；的数值列在同一栏内；将各年同月将各年同月(季季)数值加总，并求出月数值加总，并求出月(季季)平均平均 数；数；将所有同月将所有同月(季季)数值加总，求出总的月数值加总，求出总的月(季季)平均平均数；数；求季节比率求季节比率(或季节指数或季节指数)。某地区各月毛线销售量季节变动计算表 单位：百千克 月份 年份123456789101112合计第一年150 90 402610 812 20 35 85 340 360 1176第二年230150 604020
29、1032 40 70150 420 480 1702第三年280120 803012 937 48 84140 470 500 1820合计6603601809642278110818937512301350 4698月平均数220120 603214 927 36 63125 410 450 130.5季节比率(%)168.58 91.95 45.9824.5210.73 6.9020.69 27.59 48.28 95.79 314.18 344.83 1200例例预测方法：预测方法：若知，今年若知，今年4 4月份销售量为月份销售量为5050百千克，预测今年百千克，预测今年1010、111
30、1月份销售量月份销售量：三、移动平均趋势剔除法测定季节变动 为方便计算，把上例月资料改为季资料为方便计算，把上例月资料改为季资料：单位：百千克 季度 年份一二三四第一年28044 67 785第二年440701421050第三年480511691120季度销售量y(百千克)四项移动平均二项移正yc趋势值剔除减法y-yc除法y/yc100%第一年 280 -44-67314-247 21.34 785337.25 447.75232.77第二年 440349.875 90.125125.76 70392.375-322.375 17.84 142430.5-288.5 32.98 1050433
31、.125 616.875242.42第三年 480434.125 45.875110.57 51446.25-395.25 11.43 169-1120-294334340.5359.25425.5435.5430.75437.5455对减法分析如下：对减法分析如下：第一季第二季第三季第四季合计第一年-247 447.75第二年 90.125 -322.375 -288.5 616.875第三年 45.875 -395.25-合 计 136 -717.625 -535.51064.625平 均 68 -358.8125 -267.75 532.3125 -26.25校正数 +6.56 +6.56 +6.56 +6.56季节变差S.V.74.56 -352.25 -261.19 538.870对除法分析如下：对除法分析如下：第一季第二季第三季第四季合计第一年-21.34 232.77第二年 125.76 17.84 32.98 242.42第三年 110.57 11.43-合 计 236.33 29.27 54.32 475.19平 均 118.165 14.635 27.16 237.60 397.56校正比例 1.0061 1.0061 1.0061 1.0061季节比率S.I.118.89 14.72 27.33 239.05 400