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1、会计学1线性代数向量的线性相关性线性代数向量的线性相关性定义定义2设是n维向量组,是一组数,则称是向量组的一个线性组合线性组合若向量 满足则称向量 是的一个线性组合或向量 能由线性表示线性表示第1页/共28页例例1设(1)由所以是,的一个线性组合,或能由,线性表示.(2)易知所以 是,的一个线性组合,或 能由,线性表示.注注:由上不难看到向量组的线性组合形式不止一个有无穷多个),向量组可以线性表示无数多个向量.那么向量组是否能表示所有的同维向量(事实上第2页/共28页一个向量组到底能表示那些向量,或给出一个向量其是否能由向量组表示具有重要意义.例例 对线性方程组若记向量则方程有解当且仅线性表示
2、当向量 能由向量组第3页/共28页二线性相关与线性无关的概念二线性相关与线性无关的概念为了研究一个向量组是否能表示给出的向量，要对向量组自身性质进行研究，引入向量组线性相关与我们有必线性无关的概念。探讨向量组自身的性质探讨向量组自身的性质（一）线性相关与线性无关的概念（一）线性相关与线性无关的概念定义定义3对向量组若存在不全为零不全为零的数使得则称向量组M是线性相关的线性相关的，否则称M是线性无关的线性无关的第4页/共28页注：注：(1)所不同的是：零向量能被向量组用系数向量组线性相关当且仅当(2)对任意向量组肯定存在一组数使得例向量组M是线性相关时不只有不只有使成立向量组M是线性无关时只有只
3、有使成立不全为零线性组合表示。(3)若则线性无关当且仅当第5页/共28页(4)线性相关当且仅当齐次方程组有非零解；有非零解；线性无关当且仅当齐次方程组仅有零解；仅有零解；则有判断向量组是否线性相关一个方法是：构造齐次方程，向量是系数矩阵的列列（不论向量是列向量然后判定齐次方程是否只有零解。还是行向量)第6页/共28页例例2讨论向量组的线性相关性 解：设有数使即方程因为由克莱姆法则知道方程有非零解。故向量组线性相关第7页/共28页例例2*讨论向量组的线性相关性 解：设有数即方程使因为由克莱姆法则知道方程有仅有零解。故向量组线性无关思考思考:证明一个向量的向量组线性相关的充要条件是这个向量是零向量
4、.第8页/共28页（二）线性相关或线性无关的例子（二）线性相关或线性无关的例子例例3设有数证明证明：使即整理得故有方程组的系数行列式故只能为零,所以第9页/共28页例例4 证明向量组线性无关 其中证明证明：使设有数即故向量组线性无关第10页/共28页注注若向量组中的向量作成矩阵的行或列所得矩阵A为阶梯形矩阵,均不为零,则称向量组为阶梯形向量组阶梯形向量组例4结论为“阶梯形向量组线性无关阶梯形向量组线性无关特别地中标准基线性无关因为即是阶梯形向量组例例5 且判断它们相关性第11页/共28页三三 向量组线性相关性的一些命题向量组线性相关性的一些命题定理定理1 向量组M线性相关线性相关M中至少有一个
5、向量能由其余m-1个向量线性表示注注:(1)多余两向量的向量组线性相关能保证向量组有一个能被其余其余向量线性表示.但不能保证每一个向量能被其余向量线性表示.参见例6,则第12页/共28页例例6 判断向量组M是否线性相关注注(2)能被向量组线性表示,则新新向量组线性相关.反之是否成立?第13页/共28页定理定理2且表示式是唯一的.而向量组线性相关,则向量 一定能被向量组M 线性表示，注注:定理1、2充分揭示了向量组能否表示给定向量与向量组线性相关性的关系.第14页/共28页定理定理3 设两向量组M、N满足MN，那么(1)若向量组M线性相关，则向量组N也线性相关(2)若向量组N线性无关，则向量组M
6、也线性无关 可简述为：子向量组相关,则向量组也相关；向量组无关，则子向量组也无关。推论推论1 含有零向量的向量组是线性相关的 定理定理4 两个向量构成的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应坐标成比例第15页/共28页四四 阶梯形矩阵在线性相关性问题中的应用阶梯形矩阵在线性相关性问题中的应用(一一)向量组与矩阵的关系向量组与矩阵的关系1 向量组向量组矩阵矩阵m维列向量组可构造两个矩阵向量作成矩阵的列向量作成矩阵的行(1)(2)显然第16页/共28页例例向量组可构造矩阵第17页/共28页2 矩阵矩阵向量组向量组矩阵(1)矩阵对应两个向量列列组(A)矩阵的列矩阵的列构成一个列向量组称为矩阵
7、列向量组矩阵列向量组,它是一个m维向量组,有个n向量(B)矩阵的行行构成一个列列向量组称为矩阵行向量组矩阵行向量组,它是一个n 维向量组,有m个向量.第18页/共28页例例矩阵矩阵的列向量组为矩阵的行向量组为第19页/共28页2 矩阵矩阵向量组向量组矩阵(2)矩阵对应两个向量行行组(A)矩阵的列矩阵的列构成一个行向量组它是一个m维行向量组,有个n向量(B)矩阵的行行构成一个行行向量组它是一个n 维行向量组,有个m向量第20页/共28页例例矩阵(A)矩阵的列矩阵的列构成一个行向量组(B)矩阵的行行构成一个行行向量组第21页/共28页(二二)矩阵初等变换与向量组的线性组合矩阵初等变换与向量组的线性
8、组合把矩阵的每一行(列)看作一个向量，用向量观点重新认识矩阵初等行(列)变换.矩阵初等行(列)变换就是:对矩阵的行对矩阵的行(列列)向量组不断地进行对调、倍乘和倍加向量组不断地进行对调、倍乘和倍加也就是不断地把矩阵的行也就是不断地把矩阵的行(列列)向量的线性组合加到向量的线性组合加到另一个行另一个行(列列)向量上去的过程向量上去的过程 的过程，的过程，第22页/共28页例例第23页/共28页通过初等行变换把矩阵化阶梯形矩阵后,(1)若矩阵A的阶梯形矩阵中有零行零行，则意味着A的零行所对应向量是其余行向量的线性组合这时矩阵A的行向量组线性相关行向量组线性相关。(2)反之，若矩阵A的行向量组线性相
9、关行向量组线性相关，则A的某个行向量是其余行向量的线性组合。对矩阵A施行相应的初等行变换，从而A的阶梯形矩阵中必有零行的阶梯形矩阵中必有零行基于矩阵初等变换与向量组合的关系有:该行就会变成零行。第24页/共28页定理定理5:设向量组用M中向量作为行向量构造矩阵经过初等行行变换把A化为阶梯形矩阵B,则向量组M线性相关充分必要条件是阶梯形矩阵B有零行行.注注:向量组M线性无关充分必要条件是阶梯形矩阵B无零行第25页/共28页例例8讨论向量组的线性相关性注注:注意比较用定义和用阶梯形矩阵判别两种方法区别.推论推论2n个n维向量的向量组线性相关的充分必要条件是此向量组构成矩阵的行列式为零推论推论3n阶方阵A可逆当且仅当A的n个n维列(行)向量线性无关注注:(2)此方法向量可以作成行也可以作成列(1)该方法的适用范围第26页/共28页例例由知道线性相关由知道线性相关向量作成列的向量作成行的第27页/共28页