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1、全概率公式与贝叶斯公式一、全概率公式问题引入引例1.设甲袋有3个白球4个红球，乙袋有1个白球2个红球，现从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，求从乙袋取出2个红球的概率。引例2.设仓库中共有10箱产品，其中甲乙丙三厂各有5、3、2箱，且已知甲乙丙三厂的次品率分别为10%、15%、20%，现从中任取1箱，再从该箱中任取1件产品，求取得次品的概率。小结：诸如此类的概率都是比较难求的。给人的感觉是，问题太复杂，不知该从哪里下手。问题：那么，复杂的问题能否简单化呢？这就是全概率公式的意义所在。下页第1页/共17页 设试验的样本空间为，设事件A1，A2，An为样本空间的一个划分，且(Ai)0,i
2、=1,2,，n 则对任意事件B，有A1A2A3AnB证明：证明：因为按概率的可加性及乘法公式有故二、全概率公式与证明(教科书证明)下页第2页/共17页 设试验由先后相继的两个试验1,2构成,1的样本空间为1，A1,A2,An为1的一个划分，即A1 A2 An=1；2是在发生的条件下的试验,其样本空间为2。那么，对于2的任一事件B，有三、全概率公式及其推导推导：2的P(B),下页由条件概率公式得，从而得，这里的这里的P(B/1),其实是全条件下的概率,这就是全概率的含义实质上是 P(B/1)!关键所在!难点所在!引例1.设甲袋有3个白球4个红球，乙袋有1个白球2个红球，现从甲袋中任取2球放入乙袋
3、，再从乙袋中任取2球，求从乙袋取出2个红球的概率。E1:A1=从甲袋取出2个红球，A=从甲袋取出2个白球,A3=从甲袋取出1个白球1个红球,E2:B=从乙袋取出2个红球.E1完成就意味着完成就意味着A1,A2,A3 之一 发生发生；由于它们互不相容由于它们互不相容，它们它们 之一发生可表示为之一发生可表示为 A1 A2 A3；而实际上而实际上A1 A2 A3=1.第3页/共17页四、全概率公式应用例1.设甲袋有3个白球4个红球，乙袋有1个白球2个红球，现从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，求从乙袋取出2个红球的概率.解：设A1=从甲袋取出2个红球，A2=从甲袋取出2个白球,A3=从甲
4、袋取出1个白球1个红球,B=从乙袋取出2个红球.显然，A1,A2,A3 两两互斥,是对从甲袋中取球试验E1样本空间的一个划分,B是从乙袋中取球试验E2的一个事件,所以由全概率公式得下页解题步骤：指出E1样本空间1的一个划分；指出E2中的事件B；运用全概率公式.第4页/共17页例2.某人去某地，乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4，迟到的概率分别为 0.25,0.3,0.1,0,求他迟到的概率解：设 A1乘火车来，A2乘轮船来，A3乘汽车来，A4乘飞机来，B迟到.易见,A1 A2 A3 A=1，由全概率公式得=0.30.25 0.0.3 0.0.1 0.40=0.1
5、45下页解题要点：一般情况下，给出主要步骤即可.四、全概率公式应用第5页/共17页例3.两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，问是合格品的概率为多少？解：令Ai=零件为第i台机床加工的(i=1,2)，B=取到的零件为合格品.此时，把取哪台机床生产的产品的试验认为是E1，检查质量的试验认为是E2(人为分为先后相继的两个试验来考虑)，显然，A1,A2是E1样本空间的一个划分，由全概率公式得四、全概率公式应用下页第6页/共17页例4.设袋中有1212个乒乓球，9 9个新球，3 3个旧球
6、第一次比赛取3 3球，比赛后放回；第二次比赛再任取3 3球，求第二次比赛取得3 3个新球的概率解：Ai=第一次比赛恰取出i个新球（i=0,1,2,3)B=求第二次比赛取得3个新球 显然A0 A1 A2 A3为样本空间的一个划分，由全概率公式得下页四、全概率公式应用第7页/共17页五、贝叶斯公式及其应用引例.设仓库中共有10箱产品，其中甲乙丙三厂各有5、3、2箱，且已知甲乙丙三厂的次品率分别为10%、15%、20%，现从中任取1箱，再从该箱中任取1件产品，若取得的产品为次品，问该产品是甲厂生产的概率是多少？说明：本例不是求取得的产品为正品、次品问题，而是在明确知道产品品质的情况下，分析“货出谁家
7、”的问题。分析：设A1=甲厂生产的产品，A2=乙厂生产的产品，A3=丙厂生产的产品，B=取得次品。故所求事件的概率为 P(A1/B).1.问题引入下页第8页/共17页由条件概率的定义及全概率公式知五、贝叶斯公式及其应用2.公式推导下页其中，于是，第9页/共17页解：设A1=灯泡是甲厂出产的，A2=灯泡是乙厂出产的，A3=灯泡是丙厂出产的，B=买到一个次品灯泡.由题设知 P(A1)=0.25，P(A2)=0.35，P(A3)=0.4，P(B/A1)=0.05，P(B/A2)=0.04，P(B/A3)=0.02。由全概率公式得由贝叶斯公式得同理可得例5.某商店由三个厂购进一批灯泡，其中甲厂占25%
8、，乙厂占35%,丙厂占40%，且各厂的次品率分别为5%，4%，2%.如果消费者已经买到一个次品灯泡，问是哪个厂出产的可能性大？下页=0.0345显然，乙厂出产的可能性大！3.应用举例第10页/共17页贝叶斯公式的应用小结 (1)如果试验有两个相关的试验1，2复合而成，有若干种可能的结果，2在的基础上也有若干种可能的结果，如果已知和2的结果有关某事件发生了，求和试验的结果有关事件的概率，可以用贝叶斯公式试验的几种可能的结果就构成了完备事件组 (2)如果把样本空间的一个划分A1,A2,An看作是导致事件B B 发生的各种原因，事件B B 是伴随着“原因”A Ai中之一出现的。如果B B 发生了，求
9、P(Aj|B)可以用贝叶斯公式。(3)P(A1),P(A2),通常称为先验概率;P(A1/B),P(A2/B),通常称为后验概率。下页第11页/共17页例例6.6.对以往数据分析的结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为90%，而当机器发生某一故障时，其合格率为30%。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75%，试求某日早上第一件产品是合格品时，机器调整得良好的概率。解解:设A1=机器调整良好,A2=机器调整不好,B=产品合格.由题意知 P(A1)=0.75，P(A2)=0.25；P(B/A1)=0.9，P(B/A2)=0.3 所求概率为P(A1/B).由贝叶斯公式得3.应用举例下页第12页/共17页例例7 某医院对某种疾病有一种看起来很有效的检验方法，97%的患者检验结果为阳性，95%的未患病者检验结果为阴性，设该病的发病率为0.4%现有某人的检验结果为阳性，问他确实患病的概率是多少？得到由贝叶斯公式得 解解 记B为检验结果是阳性，则为检验结果是阴性，A表示患有该病，则 为未患该病由题意 下页第13页/共17页（1）ij=（ij）则称1，2，n为样本空间的一个划分。完备事件组（样本空间的一个划分）（2）如果A1A2A3An定义定义 设事件A1，2，n为样本空间的一组事件返回 第15页/共17页 作业：25页 7、8 结束第16页/共17页感谢您的观赏第17页/共17页