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1、11.4 1.4 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式1.4.1 1.4.1 全概率公式全概率公式1.4.2 1.4.2 贝叶斯公式贝叶斯公式21.4.1 1.4.1 全概率公式全概率公式全概率公式的基本思想：对于计算全概率公式的基本思想：对于计算较复杂事件较复杂事件的概率，可的概率，可先把它分成一些互不相容较简单事件先把它分成一些互不相容较简单事件的和的和，通过分别计算这些较简单事件的概率，通过分别计算这些较简单事件的概率，再再利用概率的可加性利用概率的可加性，得到较复杂事件的概率。，得到较复杂事件的概率。引例引例 10张抽奖券中有张抽奖券中有两张有奖两张有奖, 甲乙两人先后从中甲乙
2、两人先后从中随机抽取一张。甲先抽随机抽取一张。甲先抽, 问乙中奖的概率是多少问乙中奖的概率是多少?3解：解：设设A=“乙中奖乙中奖”， B= “甲中奖”，甲中奖”，则则,ABAB( )()()P AP AP ABB ()ABAB( ) (|)( ) (|)PP APPBABBB2182180.210910990注意：注意：B与与 构成一个完备事件组。构成一个完备事件组。另解：直接利用古典概型，将此试另解：直接利用古典概型，将此试验看作验看作10张抽奖券在排队，求第二张抽奖券在排队，求第二个位置上是有奖券的概率，则个位置上是有奖券的概率，则129!( )0.210!CP BAA B4全概率公式全
3、概率公式定理定理1.4.1设是一个完备事件组，且12,nB BB ()0,1,2, ,iP Bin则对于任何一个事件则对于任何一个事件A, 有有1( )() (|).iiiP ABBP AP证明：证明：因为因为11(),iiiiAAABAB 所以所以111( )()|.iiiiiiiP APABP ABP B P A B5全概率公式的几点说明全概率公式的几点说明P(A)被分成许多部分之和，因此被分成许多部分之和，因此P(A)可以认为是可以认为是“全部”概率，故称为全概率公式。“全部”概率，故称为全概率公式。在较复杂的情况下直接计算在较复杂的情况下直接计算P(A)不容易，但不容易，但A总是总是伴
4、随着某个伴随着某个Bi出现，适当去构造这一组出现，适当去构造这一组Bi往往可以简往往可以简化计算。化计算。使用全概率公式的使用全概率公式的关键关键：找出与事件：找出与事件A相联系的一相联系的一组完备事件组。组完备事件组。全概公式中的全概公式中的“完备事件组”完备事件组”可以放宽为可以放宽为12,nB BB互不相容，且互不相容，且1.iiBA6例题和解答例题和解答例例1 市场上某种商品由三个厂家同时供货，其供应市场上某种商品由三个厂家同时供货，其供应量，第一个厂家为第二个厂家的量，第一个厂家为第二个厂家的2倍，第二、第三倍，第二、第三两个厂家相等，而且各厂产品的次品率依次为两个厂家相等，而且各厂
5、产品的次品率依次为2%、2%、4%，求市场上供应的该种商品的次品率？，求市场上供应的该种商品的次品率？解：解：设设A=“该商品为次品”该商品为次品”iB1,2,3;i 则则构成一个完备事件组。所以构成一个完备事件组。所以123,B B B12331( )()()iiBBBPAPABAPAA31() (|)iiiBP ABP0.5 0.020.25 0.020.25 0.040.025学会设学会设事件事件=“第第i个厂家产品”个厂家产品”,7例题和解答例题和解答例例2 10个乒乓球中个乒乓球中7个新球，第一次随机地抽取出个新球，第一次随机地抽取出2个，个，用完后放回去，第二次又随机地抽取出用完后
6、放回去，第二次又随机地抽取出2个。问第二个。问第二次取到几个新球的概率最大？次取到几个新球的概率最大？解：解：设设Ai=“第一次取到第一次取到i个新球”个新球”, 0,1,2;i =“第二次取到第二次取到i个新球”，个新球”，iB0,1,2;i 0222(|()iiiP BAPP AB21123737222101022265722210100011CC CCCCCCCCCCC0.29同理可求出同理可求出01()0.17;()0.54P BP B因此，第二次取到因此，第二次取到1个新球的概率最大。个新球的概率最大。8在例在例2中，若发现第二次取到的是两个新球，计算中，若发现第二次取到的是两个新球
7、，计算第一次没有取到新球的概率？第一次没有取到新球的概率？解解:020200222()() (|)(|)0.11()()P A BP A P BAP ABP BP B注：注：本例题中条件概率的计算问题可以概括为本例题中条件概率的计算问题可以概括为一般的模型，得到一般的模型，得到贝叶斯公式贝叶斯公式。1.4.2 1.4.2 贝叶斯公式贝叶斯公式9贝叶斯公式贝叶斯公式则对于任何一个事件则对于任何一个事件A有有1() (|)(|);1,2, ,() (|)kkkiiiP BP A BP BAknP B P A B证明证明:由条件概率的公式由条件概率的公式:()(|)( )kkP B AP BAP A
8、1() (|).() (|)kkiiiP BP A BP B P A B对分子用乘法公式对分子用乘法公式对分母用全概对分母用全概率公式率公式定理定理1.4.2设是一个完备事件组，且12,nB BB10贝叶斯公式的注解贝叶斯公式的注解 P(Bk|A)是在有了新的信息（知道是在有了新的信息（知道 A 发生），人们发生），人们对各事件对各事件Bk 发生可能性大小的认识，发生可能性大小的认识， 称之为称之为后验后验概率概率或或逆概率逆概率； P(Bi)是在没有进一步信息（不知道事件是在没有进一步信息（不知道事件A是否发是否发生）的情况下，人们对各事件生）的情况下，人们对各事件Bi 发生可能性大小发生可
9、能性大小的认识，称之为的认识，称之为先验概率先验概率。该公式于该公式于1763年由贝叶斯（年由贝叶斯（Bayes）提出，贝叶斯）提出，贝叶斯公式以及由此发展起来的一整套理论与方法公式以及由此发展起来的一整套理论与方法, 称之称之为“贝叶斯统计”为“贝叶斯统计”, 在自然科学及社会经济的许多在自然科学及社会经济的许多领域中有着广泛应用。领域中有着广泛应用。例题和解答例题和解答( ) (|)(|)( ) (|)( ) (|)P A P B AP A BP A P B AP A P B A例例3 某地区甲种疾病的发病率为某地区甲种疾病的发病率为0.0035。现有一种检。现有一种检验方法，其效果是：对
10、甲种疾病的漏查率为验方法，其效果是：对甲种疾病的漏查率为5%；对；对无甲种疾病者用此检验法误诊为甲种疾病患者的概无甲种疾病者用此检验法误诊为甲种疾病患者的概率为率为1%。在一次健康普查中，某人经此检验法查为。在一次健康普查中，某人经此检验法查为患有甲种疾病，求此人确实患甲种疾病的概率。患有甲种疾病，求此人确实患甲种疾病的概率。A=“患有甲种疾病”，患有甲种疾病”， B=“查出有甲种疾病”查出有甲种疾病”解解: 设设 0.0035 0.95250.0035 0.950.9965 0.011112例题和解答例题和解答例例4 甲、乙、丙三人同时向一架飞机射击，它们击甲、乙、丙三人同时向一架飞机射击，
11、它们击中目标的概率分别为中目标的概率分别为0.4，0.5，0.7; 假设飞机只有假设飞机只有1人击中时，坠毁的概率为人击中时，坠毁的概率为0.2；若有；若有2人击中，坠毁人击中，坠毁的概率为的概率为0.6；而飞机被；而飞机被3人击中时，一定坠毁。现人击中时，一定坠毁。现在若发现飞机已被击中坠毁，请计算它是由在若发现飞机已被击中坠毁，请计算它是由3人同时人同时击中的概率。击中的概率。分析：分析：飞机被击中坠毁有飞机被击中坠毁有3种原因（种原因（1人击中坠毁、人击中坠毁、2人击中坠毁、人击中坠毁、3人击中坠毁）人击中坠毁）; 问题问题: 用用全概率公全概率公式式还是还是贝叶斯公式贝叶斯公式？13例
12、题和解答例题和解答解解: 设设 Ai=“3人中有人中有i人击中飞机”人击中飞机”, i=0,1,2,3;B=“飞机被击中坠毁”飞机被击中坠毁”; 0123,A A A A根据题设条件根据题设条件, 得得:0123(|)0,(|)0.2,(|)0.6,(|)1;P B AP B AP B AP B A设设分别表示甲、乙、丙击中飞机分别表示甲、乙、丙击中飞机, 它们是相互它们是相互独立的独立的, 由题设可知由题设可知: 123,C C C0123123123()()() () ()1() 1() 1()0.6 0.5 0.30.09;P AP C C CP C P CP CP CP CP C112
13、3123123()()()()0.40.50.30.60.50.30.60.50.70.36;P AP C C CP C C CP C C C构成完备事件组构成完备事件组, 14例题和解答例题和解答3123()()0.4 0.5 0.70.14;P AP C C C2013()1()()()P AP AP AP A10.090.360.140.41;再由贝叶斯公式再由贝叶斯公式, 得得:33330() (|)(|)() (|)iiiP A P B AP ABP A P B A0.14 10.306;0.0900.360.20.41 0.60.14 1类似地可以计算类似地可以计算21(|)0.5
14、37,(|)0.157;P ABP AB31( )()iiP BP AB注：可直接31.iiAB15课堂练习课堂练习1. 在数字通讯中，发报机分别以在数字通讯中，发报机分别以0.7和和0.3的概率发的概率发出信号“出信号“1”和“和“0”。由于存在随机干扰，当发出。由于存在随机干扰，当发出“1”时，收到“时，收到“1”和“和“0”的概率分别为的概率分别为90%和和10%；发出“发出“0”时，收到“时，收到“0”和“和“1”的概率分别为的概率分别为80%和和20%。现已知收到信号“。现已知收到信号“1”，问发出的确实是信号，问发出的确实是信号“1”的概率的概率。答案：答案：21/23 16课堂练
15、习课堂练习2. 某某超市论箱出售玻璃杯，每箱超市论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1，某顾客选中一，某顾客选中一箱，从中任选箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这只检查，结果都是好的，便买下了这一箱。求一箱。求(1) 这一箱实际上含有一个次品的概率是多少？这一箱实际上含有一个次品的概率是多少？(2) 这一箱确实没有次品的概率？这一箱确实没有次品的概率？解：解：设设A“从一箱中任取“从一箱中任取4只检查，结果都是好的”只检查，结果都是好的”B0, B1, B2分别表示事件每箱含分别表示事件每箱含0，1，2只次品只次品已知：已知：P(B0)=0.8，P(B1)=0.1，P(B2)=0.11)|(0BAP54)|(4204191CCBAP1912)|(4204182CCBAP由贝叶斯公式由贝叶斯公式:20111)|()()|()()|(iiiBAPBPBAPBPABP0848. 019121 . 0541 . 018 . 0541 . 000020() (|)(|)() (|)iiiP B P A BP BAP B P A B0.8 10.8484120.8 1 0.10.1519 17作业作业习题习题1.4P24 (2) (7) (12)18