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1、因子分析的基本理论因子分析的基本理论v1 1、什么是因子分析？、什么是因子分析？因子分析是主成分分析的推广，也是利用因子分析是主成分分析的推广，也是利用降维降维的思想，由研究原始变量相关矩阵或协方差矩阵的的思想，由研究原始变量相关矩阵或协方差矩阵的内部依赖关系出发，把一些具有错综复杂关系的多内部依赖关系出发，把一些具有错综复杂关系的多个变量归结为少数几个综合因子的一种多元统计分个变量归结为少数几个综合因子的一种多元统计分析方法。析方法。v2 2、因子分析的基本思想：、因子分析的基本思想：把每个研究变量分解为几个影响因素变量，把每个研究变量分解为几个影响因素变量，将每个原始变量分解成两部分因素，
2、一部分是由所将每个原始变量分解成两部分因素，一部分是由所有变量共同具有的少数几个有变量共同具有的少数几个公共因子公共因子组成的，另一组成的，另一部分是每个变量独自具有的因素，即部分是每个变量独自具有的因素，即特殊因子特殊因子。第1页/共78页因子分析的基本理论因子分析的基本理论v3 3、因子分析的目的：、因子分析的目的：l因子分析的目的之一，因子分析的目的之一，简化变量维数。简化变量维数。即要使因素结构简单化，希望即要使因素结构简单化，希望以最少的共同因素（公共因子），能对总变异量作最大的解释，因而抽以最少的共同因素（公共因子），能对总变异量作最大的解释，因而抽取得因子愈少愈好，但抽取因子的累
3、积解释的变异量愈大愈好。取得因子愈少愈好，但抽取因子的累积解释的变异量愈大愈好。l在因子分析的公共因子抽取中，应最先抽取特征值最大的公共因子，在因子分析的公共因子抽取中，应最先抽取特征值最大的公共因子，其次是次大者，最后抽取公共因子的特征值最小，通常会接近其次是次大者，最后抽取公共因子的特征值最小，通常会接近0 0。第2页/共78页因子分析的基本理论因子分析的基本理论v例：在企业形象或品牌形象的研究中，消费者例：在企业形象或品牌形象的研究中，消费者可以通过一个有可以通过一个有2424个指标构成的评价体系，评个指标构成的评价体系，评价百货商场的价百货商场的2424个方面的优劣。个方面的优劣。v但
4、消费者主要关心的是三个方面，即商店的环境、商店的服但消费者主要关心的是三个方面，即商店的环境、商店的服务和商品的价格。因子分析方法可以通过务和商品的价格。因子分析方法可以通过2424个变量，找出反个变量，找出反映商店环境、商店服务水平和商品价格的三个潜在的因子，映商店环境、商店服务水平和商品价格的三个潜在的因子，对商店进行综合评价。而这三个公共因子可以表示为：对商店进行综合评价。而这三个公共因子可以表示为：v称称 是不可观测的潜在因子是不可观测的潜在因子,称称 为公共因子。为公共因子。2424个变量共享这三个因子，但是每个变量又有自己的个性，个变量共享这三个因子，但是每个变量又有自己的个性，不
5、被包含的部分，称为特殊因子。不被包含的部分，称为特殊因子。第3页/共78页因子分析的基本理论因子分析的基本理论v4 4、主成分分析分析与因子分析的联系和差异：、主成分分析分析与因子分析的联系和差异：联系：联系：（1 1）因子分析是主成分分析的推广，是主成分分析的逆问）因子分析是主成分分析的推广，是主成分分析的逆问题。题。（2 2）二者都是以）二者都是以降维降维为目的，都是从协方差矩阵或为目的，都是从协方差矩阵或相关系数矩阵出发。相关系数矩阵出发。区别区别：（1 1）主成分分析模型是原始变量的线性组合，是将原始变主成分分析模型是原始变量的线性组合，是将原始变量加以综合、归纳，仅仅是变量变换；而因
6、子分析是将原始变量加量加以综合、归纳，仅仅是变量变换；而因子分析是将原始变量加以分解，描述原始变量协方差矩阵结构的模型；只有当提取的公因以分解，描述原始变量协方差矩阵结构的模型；只有当提取的公因子个数等于原始变量个数时，因子分析才对应变量变换。子个数等于原始变量个数时，因子分析才对应变量变换。（2 2）主成分分析，中每个主成分对应的系数是唯一确定）主成分分析，中每个主成分对应的系数是唯一确定的；因子分析中每个因子的相应系数即因子载荷不是唯一的。的；因子分析中每个因子的相应系数即因子载荷不是唯一的。（3 3）因子分析中因子载荷的不唯一性有利于对公因子进）因子分析中因子载荷的不唯一性有利于对公因子
7、进行有效解释；而主成分分析对提取的主成分的解释能力有限。行有效解释；而主成分分析对提取的主成分的解释能力有限。第4页/共78页因子分析的基本理论因子分析的基本理论v5 5、因子分析模型：、因子分析模型：设设 个变量，如果表示为个变量，如果表示为第5页/共78页（1 1）（2 2）称称为为 公公共共因因子子，是是不不可可观观测测的的变变量量，他他们们的的系系数数称称为为因因子子载载荷荷。是是特特殊殊因因子子，是是不不能能被被前前m m个公共因子包含的部分。其中：个公共因子包含的部分。其中：相互独立即不相关；相互独立即不相关；即即 互不相关，方差为互不相关，方差为1 1。第6页/共78页（3 3）
8、即互不相关，方差不一定相等，即互不相关，方差不一定相等，。满足以上条件的，称为满足以上条件的，称为正交因子模型正交因子模型如如果果（2）不不成成立立，即即，各各公公共共因因子子之之间间不不独独立立，则因子分析模型为则因子分析模型为斜交因子模型斜交因子模型第7页/共78页公因子公因子F1公因子公因子F2共同度共同度hi特殊因子特殊因子ix1=代数代数10.8960.3410.9190.081x2=代数代数20.8020.4960.8890.111x3=几何几何0.5160.8550.9970.003x4=三角三角0.8410.4440.9040.096x5=解析几何解析几何0.8330.4340
9、.8820.118特征值特征值 G3.1131.4794.9590.409方差贡献率方差贡献率（变异量）（变异量）62.26%29.58%91.85%因子分析案例因子分析案例F F1 1 体现逻辑思维和运算能力，体现逻辑思维和运算能力，F F2 2 体现空间思维和推理能力体现空间思维和推理能力第8页/共78页因子分析的基本理论因子分析的基本理论v6 6、因子分析模型中的几个重要统计量的意义：、因子分析模型中的几个重要统计量的意义：（1 1）因子负荷量（或称因子载荷）因子负荷量（或称因子载荷）-是指因子结构中原始变量与是指因子结构中原始变量与因子分析时抽取出的公共因子的相关程度。因子分析时抽取出
10、的公共因子的相关程度。第9页/共78页 在在各各公公共共因因子子不不相相关关的的前前提提下下，（载载荷荷矩矩阵阵中中第第i i行行，第第j j列列的的元元素素）是是随随机机变变量量xi*与与公公共共因因子子F Fj j的的相相关关系系数数，表表示示x xi i*依依赖赖于于F Fj j的的程程度度。反反映映了了第第i i个个原原始始变变量量在在第第j j个个公公共共因因子子上上的的相相对对重重要要性性。因因此此 绝绝对对值值越越大大，则则公公共共因因子子F Fj j与与原原有有变变量量x xi i的的关关系系越越强。强。第10页/共78页（2 2）共同度共同度-又称共性方差或公因子方差又称共性
11、方差或公因子方差（community或或commonvariance）就是变量与每个公共就是变量与每个公共因子之负荷量的平方总和（一行中所有因素负荷量的平因子之负荷量的平方总和（一行中所有因素负荷量的平方和）。方和）。变量变量 的共同度是因子载荷矩阵的第的共同度是因子载荷矩阵的第i i行的元行的元素的平方和。记为素的平方和。记为 从共同性的大小可以判断这个原始实测变量与公从共同性的大小可以判断这个原始实测变量与公共因子间之关系程度。如因子分析案例中共因子间之关系程度。如因子分析案例中 共同度共同度h h1 12 2=0.896=0.8962 2+0.341+0.3412 2=0.919=0.9
12、19l特殊因子方差（剩余方差）特殊因子方差（剩余方差）-各变量的特殊因素影响大小各变量的特殊因素影响大小就是就是1 1减掉该变量共同度的值。如减掉该变量共同度的值。如 =1-0.919=0.081=1-0.919=0.081第11页/共78页（3 3）特征值特征值-是第是第j j个公共因子个公共因子F Fj j对于对于X X*的每一分量的每一分量X Xi i*所所提供的方差的总和。又称第提供的方差的总和。又称第j j个公共因子的方差贡献。即个公共因子的方差贡献。即每每个变量与某一共同因素之因素负荷量的平方总和个变量与某一共同因素之因素负荷量的平方总和（因子载荷（因子载荷矩阵中某一公共因子列所有
13、因子负荷量的平方和）。矩阵中某一公共因子列所有因子负荷量的平方和）。如因子分析案例中如因子分析案例中 F1F1的特征值的特征值 G=G=（0.8960.896）平方平方+（0.8020.802）平方）平方+（0.5160.516）平方）平方+（0.8410.841）平方）平方+（0.8330.833）平方）平方=3.113=3.113（4 4）方差贡献率）方差贡献率-指公共因子对实测变量的贡献，又称变指公共因子对实测变量的贡献，又称变异量异量 方差贡献率方差贡献率=特征值特征值G/G/实测变量数实测变量数p p，是衡量是衡量公共因子相对重要性的指标，公共因子相对重要性的指标，G Gi i越大，
14、表明公共因子越大，表明公共因子F Fj j对对X X*的贡献越大，该因子的重要程度越高的贡献越大，该因子的重要程度越高 如因子分析案例中如因子分析案例中 F1F1的贡献率为的贡献率为3.113/5=62.26%3.113/5=62.26%第12页/共78页因子的基本内容因子的基本内容v1 1、因子分析的基本步骤：、因子分析的基本步骤：（1 1）因子分析的前提条件鉴定）因子分析的前提条件鉴定 考察原始变量之间是否存在较强的相关关系，是否适合进行因子分析。考察原始变量之间是否存在较强的相关关系，是否适合进行因子分析。因为：因为：因子分析的主要任务之一就是对原有变量中信息重叠的部分提取和因子分析的主
15、要任务之一就是对原有变量中信息重叠的部分提取和综合成因子，最终实现减少变量个数的目的。所以要求原有变量之间应存综合成因子，最终实现减少变量个数的目的。所以要求原有变量之间应存在较强的相关关系。否则，如果原有变量相互独立，不存在信息重叠，也在较强的相关关系。否则，如果原有变量相互独立，不存在信息重叠，也就无需进行综合和因子分析。就无需进行综合和因子分析。（2 2）因子提取）因子提取 研究如何在样本数据的基础上提取综合因子。研究如何在样本数据的基础上提取综合因子。第13页/共78页（3 3）因子旋转）因子旋转 通过正交旋转或斜交旋转使提取出的因子具有可解释性。通过正交旋转或斜交旋转使提取出的因子具
16、有可解释性。（4 4）计算因子得分）计算因子得分 通过各种方法求解各样本在各因子上的得分，为进一步分析奠定通过各种方法求解各样本在各因子上的得分，为进一步分析奠定基础。基础。第14页/共78页v2 2、因子分析前提条件、因子分析前提条件相关性分析：相关性分析：分析方法主要有：分析方法主要有：（1 1）计算相关系数矩阵）计算相关系数矩阵(correlation coefficients matrix)correlation coefficients matrix)如果相关系数矩阵中的如果相关系数矩阵中的大部分相关系数值均小于大部分相关系数值均小于0.30.3，即各变量间大多为弱相关，原则上这些变
17、量不适合，即各变量间大多为弱相关，原则上这些变量不适合进行因子分析。进行因子分析。（2 2）计算反映象相关矩阵（）计算反映象相关矩阵（Anti-image correlation matrix)Anti-image correlation matrix)第15页/共78页（3 3）巴特利特球度检验（）巴特利特球度检验（Bartlett test of sphericity)Bartlett test of sphericity)该检验以原有变量的相关系数矩阵为出发点，其零假设该检验以原有变量的相关系数矩阵为出发点，其零假设H0H0是：相关是：相关系数矩阵为单位矩阵，即相关系数矩阵主对角元素均为
18、系数矩阵为单位矩阵，即相关系数矩阵主对角元素均为1 1，非主对角元素，非主对角元素均为均为0 0。（即原始变量之间无相关关系）。（即原始变量之间无相关关系）。第16页/共78页（4 4）KMO(Kaiser-Meyer-Olkin)KMO(Kaiser-Meyer-Olkin)检验检验 KMOKMO检验的统计量是用于比较变量间简单相关系数检验的统计量是用于比较变量间简单相关系数矩阵和偏相关系数的指标，数学定义为：矩阵和偏相关系数的指标，数学定义为：KMO KMO值越接近值越接近1 1，意味着变量间的相关性越强，原，意味着变量间的相关性越强，原有变量适合做因子分析；越接近有变量适合做因子分析；越
19、接近0 0，意味变量间的相，意味变量间的相关性越弱，越不适合作因子分析。关性越弱，越不适合作因子分析。KaiserKaiser给出的给出的KMOKMO度量标准：度量标准：0.90.9以上非常适合；以上非常适合；0.80.8表示适合；表示适合；0.70.7表示一般；表示一般；0.60.6表示不太适合；表示不太适合；0.50.5以下表示极不适合。以下表示极不适合。第17页/共78页v3 3、因子提取和因子载荷矩阵的求解：、因子提取和因子载荷矩阵的求解：因子载荷矩阵求解的方法：因子载荷矩阵求解的方法：（1 1）基于主成分模型的主成分分析法）基于主成分模型的主成分分析法 （2 2）基于因子分析模型的主
20、轴因子法）基于因子分析模型的主轴因子法 （3 3）极大似然法极大似然法 （4 4）最小二乘法）最小二乘法 （5 5）a a因子提取法因子提取法 （6 6）映象分析法）映象分析法第18页/共78页（1 1）基于主成分模型的主成分分析法）基于主成分模型的主成分分析法Principal componentsPrincipal components 设随机向量 的均值为，协方差为,为的特征根，为对应的标准化特征向量，则第19页/共78页上式给出的上式给出的 表达式是精确的，然而，它实际上是毫无价值的，因为我们表达式是精确的，然而，它实际上是毫无价值的，因为我们的目的是寻求用少数几个公共因子解释，故略去
21、后面的的目的是寻求用少数几个公共因子解释，故略去后面的p-mp-m项的贡献，有：项的贡献，有：第20页/共78页上式有一个假定，模型中的特殊因子是不重要的，因而从上式有一个假定，模型中的特殊因子是不重要的，因而从 的分解中忽略的分解中忽略了特殊因子的方差。了特殊因子的方差。第21页/共78页（2 2）基于因子分析模型的主轴因子法）基于因子分析模型的主轴因子法Principal axis factoringPrincipal axis factoring 是对主成分方法的修正，假定我们首先对变量进行标准化变换。则是对主成分方法的修正，假定我们首先对变量进行标准化变换。则 R=AAR=AA+D+D
22、 R R*=AA=AA=R-D=R-D称称R R*为约相关矩阵，为约相关矩阵，R R*对角线上的元素是对角线上的元素是 ,而不是而不是1 1。第22页/共78页 直接求直接求R R*的前的前p p个特征根和对应的正交特征向量。得如下的个特征根和对应的正交特征向量。得如下的矩阵：矩阵：第23页/共78页当特殊因子当特殊因子 的方差的方差已知：已知：第24页/共78页v4 4、因子旋转：、因子旋转：为什么要旋转因子？为什么要旋转因子？建立了因子分析数学目的不仅仅要找出公共因子以及对变量进行分组，建立了因子分析数学目的不仅仅要找出公共因子以及对变量进行分组，更重要的要知道每个公共因子的意义，以便进行
23、进一步的分析，如果每个更重要的要知道每个公共因子的意义，以便进行进一步的分析，如果每个公共因子的含义不清，则不便于进行实际背景的解释。公共因子的含义不清，则不便于进行实际背景的解释。由于因子载荷阵是由于因子载荷阵是不惟一的，所以应该对因子载荷阵进行旋转。不惟一的，所以应该对因子载荷阵进行旋转。目的是目的是使每个变量在尽可能使每个变量在尽可能少的因子上有比较高的载荷，让某个变量在某个因子上的载荷趋于少的因子上有比较高的载荷，让某个变量在某个因子上的载荷趋于1 1，而，而在其他因子上的载荷趋于在其他因子上的载荷趋于0 0。即：。即：使载荷矩阵每列或行的元素平方值向使载荷矩阵每列或行的元素平方值向0
24、 0和和1 1两极分化。两极分化。第25页/共78页奥运会十项全能运动项目奥运会十项全能运动项目得分数据的因子分析得分数据的因子分析 百米跑成绩百米跑成绩 跳远成绩跳远成绩 铅球成绩铅球成绩 跳高成绩跳高成绩 400 400米跑成绩米跑成绩 百米跨栏百米跨栏 铁饼成绩铁饼成绩 撑杆跳远成绩撑杆跳远成绩 标枪成绩标枪成绩 1500 1500米跑成绩米跑成绩 第26页/共78页相关矩阵相关矩阵第27页/共78页因因子子载载荷荷矩矩阵阵 因子载荷矩阵可以看出，除第一因子在所有的变量在公共因因子载荷矩阵可以看出，除第一因子在所有的变量在公共因子上有较大的正载荷，可以称为一般运动因子。其他的子上有较大的
25、正载荷，可以称为一般运动因子。其他的3 3个因子不太个因子不太容易解释。似乎是跑和投掷的能力对比，似乎是长跑耐力和短跑速容易解释。似乎是跑和投掷的能力对比，似乎是长跑耐力和短跑速度的对比。于是考虑旋转因子，得下表度的对比。于是考虑旋转因子，得下表第28页/共78页旋转变幻后因子载荷矩阵旋转变幻后因子载荷矩阵第29页/共78页 通过旋转，因子有了较为明确的含义。通过旋转，因子有了较为明确的含义。百米跑，百米跑，跳跳远远和和 400400米米跑跑，需需要要爆爆发发力力的的项项目目在在 有有较较大大的载荷，的载荷，可以称为短跑速度因子；可以称为短跑速度因子；铅铅球球，铁铁饼饼和和 标标枪枪在在 上上
26、有有较较大大的的载载荷荷，可以称为爆发性臂力因子；可以称为爆发性臂力因子；百百米米跨跨栏栏，撑撑杆杆跳跳远远，跳跳远远和和为为 跳跳高高在在 上有较大的载荷，上有较大的载荷，爆发腿力因子；爆发腿力因子；长跑耐力因子。长跑耐力因子。第30页/共78页 旋转的方法旋转的方法有：有：（1 1）正交旋转；（）正交旋转；（2 2）斜交旋转）斜交旋转（1 1）正交旋转）正交旋转 由初始载荷矩阵由初始载荷矩阵A A左乘一正交矩阵得到；左乘一正交矩阵得到；目的是新的载荷系数尽可能的目的是新的载荷系数尽可能的接近于接近于0 0或尽可能的远离或尽可能的远离0 0；只是在；只是在旋转后的新的公因子仍保持独立性。主旋
27、转后的新的公因子仍保持独立性。主要有以下方法：要有以下方法：varimax:varimax:方差最大旋转。简化对因子的解释方差最大旋转。简化对因子的解释quartmax:quartmax:四次最大正交旋转。简化对变量的解释四次最大正交旋转。简化对变量的解释equamax:equamax:等量正交旋转等量正交旋转第31页/共78页A A、方差最大法方差最大法 方差最大法从简化因子载荷矩阵的每一方差最大法从简化因子载荷矩阵的每一列列出发，使和每个因子有关出发，使和每个因子有关的载荷的平方的方差最大。当只有少数几个变量在某个因子上有较高的载的载荷的平方的方差最大。当只有少数几个变量在某个因子上有较高
28、的载荷时，对因子的解释最简单。荷时，对因子的解释最简单。方差最大的直观意义是希望通过因子旋转后，方差最大的直观意义是希望通过因子旋转后，使每个因子上的载荷尽量拉开距离，一部分的载荷趋于使每个因子上的载荷尽量拉开距离，一部分的载荷趋于 1 1，另一部分趋于，另一部分趋于0 0。第32页/共78页B B、四次方最大旋转四次方最大旋转 四次方最大旋转是从简化载荷矩阵的四次方最大旋转是从简化载荷矩阵的行行出发，通过旋转初始因子，使出发，通过旋转初始因子，使每个变量只在一个因子上有较高的载荷，而在其它的因子上尽可能低的载每个变量只在一个因子上有较高的载荷，而在其它的因子上尽可能低的载荷。如果每个变量只在
29、一个因子上有非零的载荷，这时的因子解释荷。如果每个变量只在一个因子上有非零的载荷，这时的因子解释是最简是最简单的。单的。四次方最大法通过使因子载荷矩阵中每一行的因子载荷平方的方差四次方最大法通过使因子载荷矩阵中每一行的因子载荷平方的方差达到最大。达到最大。第33页/共78页C C、等量最大法等量最大法 等量最大法把四次方最大法和方差最大法结合起来求行和列因子载等量最大法把四次方最大法和方差最大法结合起来求行和列因子载荷平方的方差的加权平均最大。荷平方的方差的加权平均最大。第34页/共78页（2 2）斜交旋转）斜交旋转 目的是新的载荷系数尽可能的接近于目的是新的载荷系数尽可能的接近于0 0或尽可
30、能的远或尽可能的远离离0 0；只是在旋转时，放弃了因子之间彼此独立的限制，；只是在旋转时，放弃了因子之间彼此独立的限制，旋转后的新公因子更容易解释。主要有以下的方法：旋转后的新公因子更容易解释。主要有以下的方法：direct oblimin:direct oblimin:直接斜交旋转。允许因子之间具有相直接斜交旋转。允许因子之间具有相关性；关性；promax:promax:斜交旋转方法。允许因子之间具有相关性；斜交旋转方法。允许因子之间具有相关性；第35页/共78页v5 5、因子得分、因子得分因子得分的概念因子得分的概念 前面我们主要解决了用公共因子的线性组合来表示一组观测变量的前面我们主要解
31、决了用公共因子的线性组合来表示一组观测变量的有关问题。如果我们要使用这些因子做其他的研究，比如把得到的因子作有关问题。如果我们要使用这些因子做其他的研究，比如把得到的因子作为自变量来做回归分析，对样本进行分类或评价，这就需要我们对公共因为自变量来做回归分析，对样本进行分类或评价，这就需要我们对公共因子进行测度，即给出子进行测度，即给出公共因子的值公共因子的值。第36页/共78页例例：人人均均要要素素变变量量因因子子分分析析。对对我我国国3232个个省省市市自自治治区区的的要要素状况作因子分析。指标体系中有如下指标：素状况作因子分析。指标体系中有如下指标：X1 X1：人口（万人）人口（万人）X2
32、 X2：面积（万平方公里）面积（万平方公里）X3 X3：GDPGDP（亿元）亿元）X4 X4：人均水资源（立方米人均水资源（立方米/人）人）X5X5：人均生物量（吨人均生物量（吨/人）人）X6X6：万人拥有的大学生数（人）万人拥有的大学生数（人）X7X7：万人拥有科学家、工程师数（人）万人拥有科学家、工程师数（人）Rotated Factor PatternRotated Factor Pattern FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 X1 -0.21522 -0.27397 0.89092 X1 -0.21522 -0.27397
33、 0.89092 X2 0.63973 -0.28739 -0.28755 X2 0.63973 -0.28739 -0.28755 X3 -0.15791 0.06334 0.94855 X3 -0.15791 0.06334 0.94855 X4 0.95898 -0.01501 -0.07556 X4 0.95898 -0.01501 -0.07556 X5 0.97224 -0.06778 -0.17535 X5 0.97224 -0.06778 -0.17535 X6 -0.11416 0.98328 -0.08300 X6 -0.11416 0.98328 -0.08300 X7
34、-0.11041 0.97851 -0.07246 X7 -0.11041 0.97851 -0.07246第37页/共78页 X1=-0.21522F1-0.27397F2+0.89092F3 X2=0.63973F1-0.28739F2-0.28755F3 X3=-0.15791F1+0.06334F2+0.94855F3 X4=0.95898F1-0.01501F2-0.07556F3 X5=0.97224F1-0.06778F2-0.17535F3 X6=-0.11416F1+0.98328F2-0.08300F3 X7=-0.11041F1+0.97851F2-0.07246F3第3
35、8页/共78页高载荷指标高载荷指标因子命名因子命名因子因子1 1X2X2；面积（万平方公里）面积（万平方公里）X4:X4:人均水资源（立方米人均水资源（立方米/人）人）X5:X5:人均生物量（吨人均生物量（吨/人）人）自然资源因子自然资源因子因子因子2 2X6X6：万人拥有的大学生数（人）万人拥有的大学生数（人）X7X7：万万人人拥拥有有的的科科学学家家、工工程程师师数数（人）（人）人力资源因子人力资源因子因子因子3 3X1;X1;人口（万人）人口（万人）X3:GDP(X3:GDP(亿元亿元)经济发展总量因子经济发展总量因子第39页/共78页Standardized Scoring Coeff
36、icients FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 X1 0.05764 -0.06098 0.50391 X2 0.22724 -0.09901 -0.07713 X3 0.14635 0.12957 0.59715 X4 0.47920 0.11228 0.17062 X5 0.45583 0.07419 0.10129 X6 0.05416 0.48629 0.04099 X7 0.05790 0.48562 0.04822F1=0.05764X1+0.22724X2+0.14635X3+0.47920X4+0.45583X5+0.05416X6+0.05790X7F1=0.
37、05764X1+0.22724X2+0.14635X3+0.47920X4+0.45583X5+0.05416X6+0.05790X7F2=-0.06098X1-0.09901X2+0.12957X3+0.11228X4+0.07419X5+0.48629X6+0.48562X7F2=-0.06098X1-0.09901X2+0.12957X3+0.11228X4+0.07419X5+0.48629X6+0.48562X7F3=0.50391X1-0.07713X2+0.59715X3+0.17062X4+0.10129X5+0.04099X6+0.04822X7F3=0.50391X1-0.
38、07713X2+0.59715X3+0.17062X4+0.10129X5+0.04099X6+0.04822X7第40页/共78页前三个因子得分前三个因子得分REGION FACTOR1FACTOR2FACTOR3beijing-0.08169-0.081694.234734.23473-0.37983-0.37983tianjin-0.47422-0.474221.317891.31789-0.87891-0.87891hebei-0.22192-0.22192-0.35802-0.358020.862630.86263shanxi1-0.48214-0.48214-0.32643-0.3
39、2643-0.54219-0.54219neimeng0.544460.54446-0.66668-0.66668-0.92621-0.92621liaoning-0.20511-0.205110.463770.463770.340870.34087jilin-0.21499-0.214990.106080.10608-0.57431-0.57431heilongj0.108390.10839-0.11717-0.11717-0.02219-0.02219shanghai-0.20069-0.200692.389622.38962-0.04259-0.04259第41页/共78页案例分析：案例
40、分析：国民生活质量的因素分析国民生活质量的因素分析 国国家家发发展展的的最最终终目目标标，是是为为了了全全面面提提高高全全体体国国民民的的生生活活质质量量，满满足足广广大大国国民民日日益益增增长长的的物物质质和和文文化化的的合合理理需需求求。在在可可持持续续发发展展消消费费的的统统一一理理念念下下，增增加加社社会会财财富富，创创造造更更多多的的物物质质文文明明和和精精神神文文明明，保保持持人人类类的的健健康康延延续续和和生生生生不不息息，在在人人类类与与自自然然协协同同进进化化的的基基础础上上，维维系系人人类类与与自自然然的的平平衡衡，达达到到完完整整的的代代际际公公平平和和区区际际公公平平(
41、即即时时间间过过程程的的最最大合理性与空间分布的最大合理化大合理性与空间分布的最大合理化)。从从19901990年年开开始始，联联合合国国开开发发计计划划署署(UYNP)UYNP)首首次次采采用用“人人文文发发展展系系数数”指指标标对对于于国国民民生生活活质质量量进进行行测测度度。人人文文发发展展系系数数利利用用三三类类内内涵涵丰丰富富的的指指标标组组合合，即即人人的的健健康康状状况况(使使用用出出生生时时的的人人均均预预期期寿寿命命表表达达)、人人的的智智力力程程度度(使使用用组组合合的的教教育育成成就就表表达达)、人人的的福福利利水水平平(使使用用人人均均国国民民收收入入或或人人均均GDP
42、GDP表表达达)，并并且且特特别别强强调调三三类类指指标标组组合合的的整整体体表表达达内内涵，去衡量一个国家或地区的社会发展总体状况以及国民生活质量的总水平。涵，去衡量一个国家或地区的社会发展总体状况以及国民生活质量的总水平。第42页/共78页在这个指标体系中有如下的指标：X1预期寿命X2成人识字率X3综合入学率X4人均GDP（美圆）X5预期寿命指数X6教育成就指数X7人均GDP指数第43页/共78页旋转后的因子结构旋转后的因子结构 Rotated Factor Pattern Rotated Factor Pattern FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 FACTOR1 FAC
43、TOR2 FACTOR3 X1 0.38129 0.41765 X1 0.38129 0.41765 0.817140.81714 X2 0.12166 X2 0.12166 0.848280.84828 0.45981 0.45981 X3 0.64803 X3 0.64803 0.618220.61822 0.22398 0.22398 X4 X4 0.904100.90410 0.20531 0.34100 0.20531 0.34100 X5 0.38854 0.43295 X5 0.38854 0.43295 0.808480.80848 X6 0.28207 X6 0.28207
44、0.853250.85325 0.43289 0.43289 X7 X7 0.900910.90091 0.20612 0.35052 0.20612 0.35052 FACTOR1FACTOR1为经济发展因子为经济发展因子 FACTOR2FACTOR2为教育成就因子为教育成就因子 FACTOR3FACTOR3为健康水平因子为健康水平因子第44页/共78页被每个因子解释的方差和共同度：被每个因子解释的方差和共同度：Variance Variance explained by each factorexplained by each factor FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3
45、FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 2.439700 2.276317 2.009490 2.439700 2.276317 2.009490 Final Communality Estimates:Total=6.725507 Final Communality Estimates:Total=6.725507 X1 X2 X3 X4 X5 X1 X2 X3 X4 X5 0.987530 0.945796 0.852306 0.975830 0.992050 0.987530 0.945796 0.852306 0.975830 0.992050 X6 X7 X6 X7 0.99
46、4995 0.976999 0.994995 0.976999 第45页/共78页Standardized Scoring Coefficients标准化得分系数 FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 X1 -0.18875 -0.34397 0.85077 X2 -0.24109 0.60335 -0.10234 X3 0.35462 0.50232 -0.59895 X4 0.53990 -0.17336 -0.10355 X5 -0.17918 -0.31604 0.81490 X6 -0.09230 0.62258 -0.24876第46页/共78页 生育率的影响因素分析生育
47、率的影响因素分析 生育率受社会、经济、文化、计划生育政策等很多因素影响，但这些因素生育率受社会、经济、文化、计划生育政策等很多因素影响，但这些因素对生育率的影响并不是完全独立的，而是交织在一起，如果直接用选定的变量对生育率的影响并不是完全独立的，而是交织在一起，如果直接用选定的变量对生育率进行多元回归分析，最终结果往往只能保留两三个变量，其他变量的对生育率进行多元回归分析，最终结果往往只能保留两三个变量，其他变量的信息就损失了。因此，考虑用因子分析的方法，找出变量间的数据结构，在信信息就损失了。因此，考虑用因子分析的方法，找出变量间的数据结构，在信息损失最少的情况下用新生成的因子对生育率进行分
48、析。息损失最少的情况下用新生成的因子对生育率进行分析。选择的变量有：多子率、综合节育率、初中以上文化程度比例、城镇人口选择的变量有：多子率、综合节育率、初中以上文化程度比例、城镇人口比例、人均国民收入。下表是比例、人均国民收入。下表是19901990年中国年中国3030个省、自治区、直辖市的数据。个省、自治区、直辖市的数据。第47页/共78页第48页/共78页特征根与各因子的贡献特征根与各因子的贡献EigenvalueDifferenceProportionCumulative3.249175972.034642910.64980.64981.214533060.962968000.24290
49、.89270.251565070.067433970.05030.94310.184131090.083536290.03680.97990.100594800.02011.0000第49页/共78页没有旋转的因子结构没有旋转的因子结构Factor1Factor2x1-0.760620.55316x20.56898-0.76662x30.891840.25374x40.870660.34618x50.890760.36962第50页/共78页各旋转后的共同度各旋转后的共同度0.884540230.911439980.859770610.877894530.93006369Factor1可解释方
50、差Factor2可解释方差2.99754292.1642615第51页/共78页在这个例子中我们得到了两个因子，第一个因子是社会经济在这个例子中我们得到了两个因子，第一个因子是社会经济发展水平因子，第二个是计划生育因子。有了因子得分值后，则发展水平因子，第二个是计划生育因子。有了因子得分值后，则可以利用因子得分为变量，进行其他的统计分析。可以利用因子得分为变量，进行其他的统计分析。Factor1Factor2x1-0.35310-0.87170 x20.077570.95154x30.891140.25621x40.922040.16655x50.951490.15728Factor1Fact