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1、目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 证明211lim21xxx证证:Axf)(2112xx21 x故,0取,当10 x时, 必有2112xx因此211lim21xxx1 x目录 上页 下页 返回 结束 3. 左极限与右极限左极限与右极限左极限 :)(0 xfAxfxx)(lim0,0,0当),(00 xxx时, 有.)( Axf右极限 :)(0 xfAxfxx)(lim0,0,0当),(00 xxx时, 有.)( Axf定理定理 3 .Axfxx)(lim0Axfxfxxxx)(lim)(lim00( P39 题*11 )目录 上页 下页 返回 结束 函数极限的性质2. 函数极限的局部保号
2、性（函数极限的局部保号性（P37定理定理3）1. 函数极限的局部有界性（函数极限的局部有界性（P36定理定理2）3. 函数极限的唯一性函数极限的唯一性 （P36定理定理1）4. 函数极限与数列极限的关系（函数极限与数列极限的关系（P37定理定理4）目录 上页 下页 返回 结束 第一章 二、二、 无穷大无穷大 三三 、 无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系 一、一、 无穷小无穷小 第四节无穷小与无穷大目录 上页 下页 返回 结束 当一、一、 无穷小（量）无穷小（量）定义定义1 . 若0 xx 时, 函数,0)(xf则称函数)(xf0 xx 例如 :1lim(1),xx函数 1x当1x时为无穷
3、小;1lim,xx函数 x1x时为无穷小;1lim,1xx 函数 x11当x)x(或为时的无穷小（量）无穷小（量） .时为无穷小.)x(或0lim( )0,xxf x000目录 上页 下页 返回 结束 其中 为0 xx 时的无穷小量 . 定理定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )Axfxx)(lim0 Axf)(,证证:Axfxx)(lim0,0,0当00 xx时,有 Axf)(Axf)(0lim0 xx即对自变量的其他变化过程类似可证 .目录 上页 下页 返回 结束 Mxf)(二、二、 无穷大（量）无穷大（量）定义定义2 . 若任给任给 M 0 ,000 xx一切满足不等式的 x ,
4、总有则称函数)(xf当0 xx 时为无穷大, 使对0lim( )xxf x 若在定义中将 式改为Mxf)(则记作)(lim)(0 xfxxx)(lim()(0 xfxxx)(Xx )(x(lim( ).xf x (正数正数 X ) ,记作, )(Mxf总存在目录 上页 下页 返回 结束 注意注意:无穷小并不是很小的数，无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !例如例如, 函数),(,cos)(xxxxf)2( nf)(n当2n但0)(2nf,时所以x)(xf不是无穷大 !xxycosOxy目录 上页 下页 返回 结束 例例 . 证明11l
5、im1xx证证: 任给正数 M , 要使,11Mx即,11Mx只要取,1M则对满足10 x的一切 x , 有Mx11所以.11lim1xx11xy若 ,)(lim0 xfxx则直线0 xx 为曲线)(xfy 的铅直渐近线 .铅直渐近线说明说明:xyO1目录 上页 下页 返回 结束 三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系若)(xf为无穷大,)(1xf为无穷小 ;若)(xf为无穷小, 且,0)(xf则)(1xf为无穷大.则(自证)据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.定理定理2. 在自变量的同一变化过程中,说明说明:目录 上页 下页 返回 结束 0lim( )0,xxf
6、 x0lim( )0,xxg x0lim ( )( )0,xxf xg x0 xx()x 或换成也成立！四、四、 无穷小运算法则（无穷小运算法则（P38-39）定理定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .如果则目录 上页 下页 返回 结束 时, 有,min21定理定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .证证: 考虑两个无穷小的和 . 设,0lim0 xx,0lim0 xx,0,01当100 xx时 , 有2, 02当200 xx时 , 有2取则当00 xx22因此.0)(lim0 xx这说明当0 xx 时,为无穷小量 .目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 无限个无限个无穷小之和不一定不一
7、定是无穷小 !例如，例如，1211lim222nnnnnn1类似可证: 有限个有限个无穷小之和仍为无穷小 . 222221112nnnnnnnnnnnn222211111211nnnnnnn夹逼准则目录 上页 下页 返回 结束 0lim( )0,xxf x0( )(, )g xU x。在上有界0lim( ) ( )0 xxg x f x推论推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .推论推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .定理定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 如果则目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证证: 设, ),(10
8、xUxMu 又设,0lim0 xx即,0,02当),(20 xUx时, 有M取,min21则当),(0 xUx时 , 就有uuMM故,0lim0uxx即u是0 xx 时的无穷小 .目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 求.sinlimxxx解解: 1sinx01limxx利用定理 2 可知.0sinlimxxx说明说明 : y = 0 是xxysin的渐近线 .Oxyxxysin0sinlim=xxx思考：？目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 无穷小与无穷大的定义2. 无穷小与函数极限的关系3. 无穷小与无穷大的关系 作业作业 P37*2 (2) ; 4 (1) ; 8第五节 19 结束语结束语