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1、南京师范大学南京师范大学NANJING NORMAL UNIVERSITYNANJING NORMAL UNIVERSITY第2章导热基本定律和稳态导热现在学习的是第1页，共68页2.1 2.1 导热基本定律导热基本定律一、温度分布的描述和表示一、温度分布的描述和表示像重力场、速度场等一样，物体中的温度分布称为温度场。1、温度场，如：在直角坐标系中非稳态温度场稳态温度场一维温度场二维温度场三维温度场现在学习的是第2页，共68页2、等温面与等温线等温线等温线现在学习的是第3页，共68页3、温度梯度定义：定义：沿等温面法线方向上的温度增量与法向距离比值的极限。温度梯度表示为：式中，是等温面法线方向
2、上的单位矢量。现在学习的是第4页，共68页二、导热基本定律二、导热基本定律(傅立叶定律傅立叶定律)1822年，法国数学家傅里叶（Fourier）在实验研究基础上，发现导热基本规律傅里叶定律。法国数学家Fourier:法国拿破仑时代的高级官员。曾于1798-1801追随拿破仑去埃及。后期致力于传热理论，1807年提交了234页的论文，但直到1822年才出版。现在学习的是第5页，共68页1、导热基本定律的文字表达：温度场中，某点处导热热流密度，正比于该点处的温度梯度，方向与温度梯度相反。2、导热基本定律的数学表达：t+tt+tt tt-tt-t现在学习的是第6页，共68页3、意义已知物体内部的温度
3、分布后，则由该定律求得各点的热流密度或热流量。0 x例1：已知右图平板中的温度分布可以表示成如下的形式：其中c1、c2 和平板的导热系数为常数，计算在通过x=0截面处的热流密度为多少？现在学习的是第7页，共68页三、导热系数三、导热系数1、导热系数的定义 导热系数在数值上等于单位温度梯度作用下单位时间内单位面积的热量。导热系数是物性参数，它与物质结构和状态密切相关，例如物质的种类、材料成分、温度、湿度、压力、密度等，与物质几何形状无关。它反映了物质微观粒子传递热量的特性。现在学习的是第8页，共68页2、导热系数的相对大小和典型数据在常温（20）条件下现在学习的是第9页，共68页3、保温材料 国
4、标（92年）规定：凡平均温度不高于350时导热系数不大于不大于0.12 W/0.12 W/（mKmK）的材料可作为保温材料。常用的保温材料：复合硅酸盐制品、硅酸铝制品、硅酸镁（绝热涂料）、岩棉、玻璃棉、聚氨酯泡沫、聚乙烯泡沫等。应注意的是：以上这些材料的导热系数随温度、含水率、密度而变化的。现在学习的是第10页，共68页聚氨酯泡沫聚氨酯泡沫复合硅酸盐复合硅酸盐耐火材料耐火材料岩棉岩棉泡沫石棉泡沫石棉玻璃棉玻璃棉现在学习的是第11页，共68页2.2 2.2 导热微分方程式和定解条件导热微分方程式和定解条件作作用用：导热微分方程式及定解条件是对导热体的数学描述，是理论求解导热体温度分布的基础。热力
5、学第一定律+傅里叶定律理论：导热微分方程式建立的基础是：方法：方法：对导热体内任意的一个微小单元进行分析，依据能量守恒关系，建立该处温度与其它变量之间的关系式。现在学习的是第12页，共68页一、导热微分方程的推导一、导热微分方程的推导1.物理问题描述 三维的非稳态导热体，且物体内有内热源（导热以外其它形式的热量，如化学反应能、电能等）。2.假设条件(1)所研究的物体是各向同性的连续介质；(2)热导率、比热容和密度均为已知；(3)内热源均匀分布，强度为 W/m3；(4)导热体与外界没有功的交换。现在学习的是第13页，共68页3.建立坐标系，取分析对象（微元体）在直角坐标系中进行分析。xyzdxd
6、ydz现在学习的是第14页，共68页 由于是非稳态导热，微元体的温度随时间变化，因此存在内能的变化；从各个界面上有导入和导出微元体的热量；内热源产生的热量。导入与导出净热量+内热源发热量=热力学能的增加（1）单位时间内微元体热力学能的增量4.能量变化的分析现在学习的是第15页，共68页（2 2）导入与导出微元体的热量）导入与导出微元体的热量利用导热基本定律可写出各个表面上导入和导出微元体的热量。沿x轴方向、经x表面导入的热量：沿x轴方向、经x+dx表面导出的热量：xyz现在学习的是第16页，共68页沿x轴方向导入与导出微元体净热量同理可得：沿y轴方向导入与导出微元体净热量沿z轴方向导入与导出微
7、元体净热量现在学习的是第17页，共68页导入与导出净热量:（3）微元体内热源生成的热量5.导热微分方程的基本形式现在学习的是第18页，共68页1.若导热系数为常数2.若物性参数为常数且无内热源二、一些具体情况下的简化二、一些具体情况下的简化为材料的热扩散系数，单位：m2/s现在学习的是第19页，共68页4.若物性参数为常数、无内热源稳态导热5.一维稳态含内热源导热3.若物性参数为常数、有内热源稳态导热现在学习的是第20页，共68页1.圆柱坐标系（r,z）三、其它坐标系中的导热微分方程式三、其它坐标系中的导热微分方程式现在学习的是第21页，共68页 2.球坐标系（r,，）现在学习的是第22页，共
8、68页四、导热过程的定解条件四、导热过程的定解条件 导热微分方程式的理论基础：傅里叶定律+能量守恒。它描写物体的温度随时间和空间变化的关系；没有涉及具体、特定的导热过程。是通用表达式。使得微分方程获得某一特定问题的解的附加条件，称为定界条件。对于非稳态导热问题，需要描述初始时刻温度分布的初始条件，以及给出物体边界上温度或换热的边界条件。稳态导热问题仅有边界条件。导热问题的完整数学描述：导热微分方程+定解条件现在学习的是第23页，共68页常见的边界条件有三类：常见的边界条件有三类：1.第一类边界条件:指定边界上的温度分布。2.第二类边界条件:给定边界上的热流密度。0 xtw2tw1例：右图中例：
9、右图中0 xqw现在学习的是第24页，共68页3.第三类边界条件:给定边界面与流体间的换热系数和流体的温度，也称为对流换热边界。牛顿冷却定律：傅里叶定律：例：右图中0 xhqwtf现在学习的是第25页，共68页课上作业：列出下列问题的数学描述：课上作业：列出下列问题的数学描述：1.一块厚度为d的平板，两侧的温度分别为tw1和tw2。（1）导热系数为常数；（2）导热系数是温度的函数。2.一块厚度为d 的平板，平板内有均匀的内热源，热源强度为 ，平板一侧温度为tw1，平板另一侧绝热。3.一块厚度为d 的平板，平板内有均匀的内热源，热源强度为 ，平板一侧绝热，平板另一侧与温度为tf 的流体对流换热，
10、且表面传热系数为h现在学习的是第26页，共68页4.已知一单层圆筒壁的内、外半径分别为r1、r2，导热系数为常量，无内热源，内、外壁面维持均匀恒定的温度tw1，tw2。rtw2r1r2tw1现在学习的是第27页，共68页2.3 2.3 一维稳态导热一维稳态导热稳态导热通过平壁的导热,直角坐标系中的一维问题。通过圆筒壁的导热,圆柱坐标系中的一维问题。通过球壳的导热,球坐标系中的一维问题。温度不随时间而变化。现在学习的是第28页，共68页一、通过平壁的导热一、通过平壁的导热 平壁的宽度和高度都远大于其厚度，且平板两侧保持均匀边界条件，则该问题就可以归纳为直角坐标系中的一维导热问题。0 x 本章只讨
11、论稳态的情况，平壁两侧的边界条件有给定温度、给定热流及对流边界等情况，此外还有平壁材料的导热系数是否是常数，是否有内热源存在等区分。下面分别介绍。现在学习的是第29页，共68页1.无内热源，为常数，两侧均为第一类边界数学描述:对微分方程直接积分两次，得微分方程的通解：0 xt2t1现在学习的是第30页，共68页利用两个边界条件将两个积分常数代入原通解，可得平壁内的温度分布如下t2t10 xt线性分布线性分布现在学习的是第31页，共68页利用傅立叶导热定律可得通过平壁的热流量2.无内热源，为常数，一侧为第一类边界，另一侧为第二类或第三类边界。现在学习的是第32页，共68页t2t10 xth，tf
12、或或 qw 此时导热微分方程式不变，平壁内部的温度分布仍是线性的，只是t2未知。壁面上的温度t2可由边界条件确定（1）另一侧为第二类边界（2）另一侧为第三类边界现在学习的是第33页，共68页0、b为常数3.无内热源，变导热系数，两侧均为第一类边界数学描述:t2t10 xt若导热系数随温度线性变化现在学习的是第34页，共68页则导热微分方程变为对x积分一次得对x再次积分得微分方程的通解利用边界条件最后得温度分布为抛物线抛物线形式形式现在学习的是第35页，共68页 其抛物线的凹向取决于系数b的正负。当b0，=0(1+bt)，随着t增大，增大，即高温区的导热系数大于低温区。所以高温区的温度梯度dt/
13、dx 较小，而形成上凸的温度分布。当b0b0现在学习的是第36页，共68页热流密度计算式为:或式中 从中不难看出，m为平壁两表面温度下的导热系数值的算术平均值，亦为平壁两表面温度算术平均值下的导热系数值。t2t10 xt现在学习的是第37页，共68页4.有均匀内热源，为常数，两侧均为第一类边界0 xt2t1数学描述:对微分方程直接积分两次，得微分方程的通解现在学习的是第38页，共68页0 xt2t1利用两个边界条件将两个积分常数代入原通解，可得平壁内的温度分布如下现在学习的是第39页，共68页多层平壁：由几层导热系数不同材料组成的复合平壁。5.通过多层平壁的导热，两侧均为第一类边界 对于类似这
14、样的问题，可采用热阻的概念进行分析。在稳态、无内热源的情况下，通过各层的热流量相等。热流量也等于总温差比上总热阻。0 xt12l l1l l2t3t1t2现在学习的是第40页，共68页二、通过圆筒壁的导热二、通过圆筒壁的导热 圆筒壁就是圆管的壁面。当管子的壁面相对于管长而言非常小，且管子的内外壁面又保持均匀的温度时，通过管壁的导热就是圆柱坐标系上的一维导热问题。rr2r1 r1 r r2现在学习的是第41页，共68页1、通过单层圆筒壁的导热(无内热源，为常数，两侧均为第一类边界)数学描述:积分上面的微分方程两次得到其通解为:t1 r1 t2 r r2 现在学习的是第42页，共68页利用两个边界
15、条件将两个积分常数代入原通解，可得圆筒壁内的温度分布如下温度分布是一条对数曲线温度分布是一条对数曲线 t1 r1 t2 r r2现在学习的是第43页，共68页通过圆筒壁的热流量式中为通过圆筒壁导热的热阻现在学习的是第44页，共68页2.通过含内热源实心圆柱体的导热 积分上面的微分方程两次有 rtw数学描述:rw现在学习的是第45页，共68页由傅里叶定律可得出壁面处的热流量：进一步利用两个边界得出圆柱体内的温度分为：rt1rw由能量守恒法则，可直接得到上式。现在学习的是第46页，共68页3.通过多层圆筒壁的导热 采用热阻的概念进行分析。在稳态、无内热源的情况下，通过各层的热流量相等。现在学习的是
16、第47页，共68页三、通过球壳的导热三、通过球壳的导热 内、外半径分别为r1、r2，球壳材料的导热系数为常数，无内热源，球壳内、外侧壁面分别维持均匀恒定的温度t1、t2。数学描述:现在学习的是第48页，共68页温度分布:热流量:现在学习的是第49页，共68页四、其它变截面的导热四、其它变截面的导热 对于其它一些变截面形状的一维稳态、且无内热源的导热问题，若知道截面的变化规律，可以采用导热基本定律直接求得到热量的计算公式。x0l现在学习的是第50页，共68页各截面平均温度变化的定性分析：x0lt1t2例：x0l现在学习的是第51页，共68页 肋片它是指那些从基础表面上伸展出来的固体表面。肋的主要
17、作用是通过提高面积来提高传热量。2.4 2.4 延伸体的稳态导热延伸体的稳态导热现在学习的是第52页，共68页现在学习的是第53页，共68页一、肋片的分类一、肋片的分类现在学习的是第54页，共68页二、主要问题二、主要问题（1）通过肋片散热的热流量；（2）肋片上的温度分布。现在学习的是第55页，共68页三、通过等截面直肋导热的分析和计算三、通过等截面直肋导热的分析和计算h，t现在学习的是第56页，共68页 若肋片长度方向的温度不均可以忽略的话，肋片中的温度分布应是二维的。但是，如果肋片很薄，导热系数很大，肋片厚度方向的温差近似可以忽略，则，肋片中的温度常仅是高度x的函数。Hx0dx 将肋片表面
18、的散热量虚拟为肋片中的内热源（吸热）来进行处理，因此，该问题最终可简化为一维、稳态、含有内热源的导热问题。h，t现在学习的是第57页，共68页Hx0dx导热微分方程内热源强度的确定：设横截面积为Ac，界面的周长为P。对dx的微元段进行分析。h，t现在学习的是第58页，共68页为了数学求解的方便，令 导热微分方程相应变成该导热微分方程的通解为 现在学习的是第59页，共68页第一个边界条件是 在x=H的边界处，有三种情况Hx0dxh，tH0t0txt0Ht0txtH0t0txt现在学习的是第60页，共68页采用第二种情况，顶端绝热用两个边界条件，可以得到两个未知的常数 C1和 C2,最后，肋片中的
19、温度分布可表示为 现在学习的是第61页，共68页 由肋片散失的全部热流量都必须通过肋的根部，在此处应用傅立叶定律，可得h，tx0此时，肋片顶端的温度可表示为现在学习的是第62页，共68页肋片效率：肋片的实际散热量与假定整个肋片表面都处在肋基温度t0时的理想散热量0的比值。四、肋片效率四、肋片效率Ht0tx0 对于等截面直肋片其肋效率可表示为：现在学习的是第63页，共68页肋片散热量的工程计算方法：（2）计算出理想情况下的散热量 0=hA(t0-t)（1）由图线或计算公式得到 f（3）由式=f0 计算出实际散热量现在学习的是第64页，共68页例题2-6现在学习的是第65页，共68页五、肋片的优化
20、五、肋片的优化1、最优的肋片型式tHt0tx0 假定表面传热系数h保持常数，对流散热的热流密度q将沿肋高逐步下降，因此，肋基处材料的利用率明显高于靠近肋端的部分，最佳的肋片型式就是希望单位重量的肋片材料发挥相同的作用，或者说在给定的散热量下，使肋的材料消耗量最小。现在学习的是第66页，共68页 理论研究表明肋片的外形是圆弧的时候最佳。但实际上，由于制造工艺的原因，工程上常用简单的三角形截面直肋代替理论分析得出的最优肋型凹抛物线型直肋。2.最小重量的矩形肋（尺寸的优化）同样是矩形肋片，在总重一定的情况下，可以制作成细长的，也可以是短厚的形状，其换热量也不一样。现在学习的是第67页，共68页对于矩形肋片，其单位长度的重量与肋片的截面面积A成正比。H矩形肋片总散热量的计算公式为：当当可得肋片的最佳厚度和高度，此时肋端的过余温度为现在学习的是第68页，共68页