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1、关于晶体内部结构的微观对称和空间群第一张，PPT共五十九页，创作于2022年6月1平行六面体的选择平行六面体的选择 对于每一种晶体结构而言，其结点的分布是客观对于每一种晶体结构而言，其结点的分布是客观存在的，但平行六面体的选择是人为的。存在的，但平行六面体的选择是人为的。一、十四种空间格子第二张，PPT共五十九页，创作于2022年6月 所选取的平行六面体应能反映结点分所选取的平行六面体应能反映结点分所选取的平行六面体应能反映结点分所选取的平行六面体应能反映结点分 布固有的对称性；布固有的对称性；布固有的对称性；布固有的对称性；在上述前提下，所选取的平行六面体在上述前提下，所选取的平行六面体 棱
2、与棱之间的直角力求最多；棱与棱之间的直角力求最多；在满足以上两条件的基础上，所选取在满足以上两条件的基础上，所选取在满足以上两条件的基础上，所选取在满足以上两条件的基础上，所选取 的平行六面体的体积力求最小。的平行六面体的体积力求最小。的平行六面体的体积力求最小。的平行六面体的体积力求最小。十四种空间格子十四种空间格子平行六面体的选择原则：第三张，PPT共五十九页，创作于2022年6月空间格子的划分空间格子的划分 划分划分划分划分7 7种平行六面体种平行六面体种平行六面体种平行六面体l l对应于对应于对应于对应于7 7个晶系个晶系个晶系个晶系l l形状及参数？形状及参数？形状及参数？形状及参数
3、？十四种空间格子十四种空间格子4mm第四张，PPT共五十九页，创作于2022年6月十四种空间格子十四种空间格子第五张，PPT共五十九页，创作于2022年6月2平行六面体中结点的分布平行六面体中结点的分布1 1）原始格子）原始格子）原始格子）原始格子（primitive,primitive,P P）：结点分布于平行六面体的八个角顶。：结点分布于平行六面体的八个角顶。：结点分布于平行六面体的八个角顶。：结点分布于平行六面体的八个角顶。2 2）底心格子）底心格子）底心格子）底心格子（end-centered,end-centered,C C、A A、B B）：结点分布于平行六面体：结点分布于平行六面
4、体：结点分布于平行六面体：结点分布于平行六面体 的角顶及某一对面的中心。的角顶及某一对面的中心。的角顶及某一对面的中心。的角顶及某一对面的中心。3 3）体心格子）体心格子）体心格子）体心格子（body-centered,body-centered,I I）：结点分布于平行六面体的角顶和：结点分布于平行六面体的角顶和：结点分布于平行六面体的角顶和：结点分布于平行六面体的角顶和 体中心。体中心。体中心。体中心。4 4）面心格子）面心格子）面心格子）面心格子（face-centered,face-centered,F F）：结点分布于平行六面体的角顶和：结点分布于平行六面体的角顶和：结点分布于平行六
5、面体的角顶和：结点分布于平行六面体的角顶和 三对面的中心。三对面的中心。三对面的中心。三对面的中心。十四种空间格子十四种空间格子第六张，PPT共五十九页，创作于2022年6月 以下两个平面点阵图案，画出其空间格子：以下两个平面点阵图案，画出其空间格子：以下两个平面点阵图案，画出其空间格子：以下两个平面点阵图案，画出其空间格子：十四种空间格子十四种空间格子4mm(L4mm(L4 44P)4P)mm2(Lmm2(L2 22P)2P)第七张，PPT共五十九页，创作于2022年6月4mm十四种空间格子十四种空间格子第八张，PPT共五十九页，创作于2022年6月引出问题：空间格子可以有带心的格子；引出问
6、题：空间格子可以有带心的格子；引出问题：空间格子可以有带心的格子；引出问题：空间格子可以有带心的格子；另外请思考：如果上面的图案对称为另外请思考：如果上面的图案对称为另外请思考：如果上面的图案对称为另外请思考：如果上面的图案对称为3m3m，该怎么画？，该怎么画？，该怎么画？，该怎么画？十四种空间格子十四种空间格子mm2mm2第九张，PPT共五十九页，创作于2022年6月 总结：总结：在四种格子类型当中，其中底心、体心、在四种格子类型当中，其中底心、体心、面心格子称带心的格子，这是因为有些晶体结构面心格子称带心的格子，这是因为有些晶体结构在符合其对称的前提下不能画出原始格子，只能在符合其对称的前
7、提下不能画出原始格子，只能画出带心的格子。画出带心的格子。十四种空间格子十四种空间格子第十张，PPT共五十九页，创作于2022年6月 七个晶系七个晶系七个晶系七个晶系七套晶体常数七套晶体常数七套晶体常数七套晶体常数七种平行六面体种形状。七种平行六面体种形状。七种平行六面体种形状。七种平行六面体种形状。每种形状有四种类型，那么就有每种形状有四种类型，那么就有每种形状有四种类型，那么就有每种形状有四种类型，那么就有74=2874=28种空间格子？种空间格子？种空间格子？种空间格子？但在但在但在但在这这这这2828种中，某些类型的格子彼此重复并可转换，还有种中，某些类型的格子彼此重复并可转换，还有种
8、中，某些类型的格子彼此重复并可转换，还有种中，某些类型的格子彼此重复并可转换，还有一些不符合某晶系的对称特点而不能在该晶系中存在，因一些不符合某晶系的对称特点而不能在该晶系中存在，因一些不符合某晶系的对称特点而不能在该晶系中存在，因一些不符合某晶系的对称特点而不能在该晶系中存在，因此，只有此，只有此，只有此，只有1414种空间格子，也叫种空间格子，也叫种空间格子，也叫种空间格子，也叫1414种布拉维格子。（种布拉维格子。（种布拉维格子。（种布拉维格子。（A.BravisA.Bravis于于于于18481848年最先推导出来的）年最先推导出来的）年最先推导出来的）年最先推导出来的）举例说明：举例
9、说明：举例说明：举例说明：1 1、四方底心格子四方底心格子四方底心格子四方底心格子可转变为体积更小的四方原始格子可转变为体积更小的四方原始格子可转变为体积更小的四方原始格子可转变为体积更小的四方原始格子 ；2 2、在等轴晶系中，若在立方格子中的一对面的中心安置结点，则在等轴晶系中，若在立方格子中的一对面的中心安置结点，则在等轴晶系中，若在立方格子中的一对面的中心安置结点，则在等轴晶系中，若在立方格子中的一对面的中心安置结点，则完全不符合等轴晶系具有完全不符合等轴晶系具有完全不符合等轴晶系具有完全不符合等轴晶系具有4 4L L3 3的对称特点，故不可能存在的对称特点，故不可能存在的对称特点，故不
10、可能存在的对称特点，故不可能存在立方底心格立方底心格立方底心格立方底心格子子子子。十四种空间格子十四种空间格子第十一张，PPT共五十九页，创作于2022年6月例例1：四方底心格子：四方底心格子 四方原始格子四方原始格子十四种空间格子十四种空间格子第十二张，PPT共五十九页，创作于2022年6月第十三张，PPT共五十九页，创作于2022年6月例例2：立方底心格子不符合等轴晶系对称：立方底心格子不符合等轴晶系对称思考：立方底心格子符合什么晶系的对称？思考：立方底心格子符合什么晶系的对称？十四种空间格子十四种空间格子第十四张，PPT共五十九页，创作于2022年6月空间格子的划分空间格子的划分 Why
11、 not 7 4=28?Why not 7 4=28?第十五张，PPT共五十九页，创作于2022年6月请判断请判断请判断请判断CsClCsCl的格子类型的格子类型的格子类型的格子类型十四种空间格子十四种空间格子举例：举例：金红石和石盐晶体模型金红石和石盐晶体模型金红石和石盐晶体模型金红石和石盐晶体模型第十六张，PPT共五十九页，创作于2022年6月 上述画格子的条件实质上与前面所讲的晶体定向的原则是上述画格子的条件实质上与前面所讲的晶体定向的原则是上述画格子的条件实质上与前面所讲的晶体定向的原则是上述画格子的条件实质上与前面所讲的晶体定向的原则是一致的（一致的（一致的（一致的（回忆晶体定向原则
12、？回忆晶体定向原则？回忆晶体定向原则？回忆晶体定向原则？），也就是说，我们在宏观晶体上选），也就是说，我们在宏观晶体上选），也就是说，我们在宏观晶体上选），也就是说，我们在宏观晶体上选出的晶轴就是内部晶体结构中空间格子三个方向的行列。出的晶轴就是内部晶体结构中空间格子三个方向的行列。出的晶轴就是内部晶体结构中空间格子三个方向的行列。出的晶轴就是内部晶体结构中空间格子三个方向的行列。十四种空间格子十四种空间格子第十七张，PPT共五十九页，创作于2022年6月平行六面体的平行六面体的形状形状形状形状和和大小大小大小大小用它的三根棱长（轴长）用它的三根棱长（轴长）a a、b b、c c及棱间的夹角（
13、轴角）及棱间的夹角（轴角）、表征。这组参数（表征。这组参数（a a、b b、c c；、）即为）即为晶胞参数晶胞参数。在晶体宏观形态中我们可以得到各晶系的在晶体宏观形态中我们可以得到各晶系的晶体常数特点晶体常数特点，是根据晶轴对称特点得出的。是根据晶轴对称特点得出的。宏观上的宏观上的晶体常数晶体常数与与微观微观的晶胞参数的晶胞参数是对应的，但微观的晶体结构中我们可以得是对应的，但微观的晶体结构中我们可以得到晶胞参数的具体数值。到晶胞参数的具体数值。十四种空间格子十四种空间格子3各晶系平行六面体的形状和大小各晶系平行六面体的形状和大小第十八张，PPT共五十九页，创作于2022年6月abPTricl
14、inic a b cccaPOrthorhombic=90o a b cCFIbccabc abPMonoclinic=90o abC 第十九张，PPT共五十九页，创作于2022年6月a1a3PIsometric=90o a1=a2=a3a2FIa1cPTetragonal=90o a1=a2 cIa2a1cP a2RHexagonalRhombohedral=90o =120oa1=a2 c=90oa1=a2=a3第二十张，PPT共五十九页，创作于2022年6月二、空间格子中结点、行列和面网的指标空间格子中，结点、行列和面网可进行指标。即通过一定的符号形式把它们的位置或方法表示出来。点的坐标
15、点的坐标点的坐标点的坐标 行列符号行列符号 面网符号面网符号面网符号面网符号第二十一张，PPT共五十九页，创作于2022年6月点的坐标点的坐标 coordinates of point点的坐标的表示方法与空间解析几何中确定空点的坐标的表示方法与空间解析几何中确定空间某点的坐标位置的标记方法完全相同，表达间某点的坐标位置的标记方法完全相同，表达形式为形式为u、v、w。可以全为正值：可以全为正值：1，1，1 也可以有负值：也可以有负值：-x，x，0 分数：分数：1/2，1/2，1/2 小数：小数：0.5，0.5，0.5例：金红石中例：金红石中x0.33第二十二张，PPT共五十九页，创作于2022年
16、6月点的坐标点的坐标 coordinates of point空间格子中结点、行列符号的表示方法空间格子中结点、行列符号的表示方法空间格子中结点、行列符号的表示方法空间格子中结点、行列符号的表示方法图中粗实线及箭头表示行列方向，圆圈代表结点图中粗实线及箭头表示行列方向，圆圈代表结点图中粗实线及箭头表示行列方向，圆圈代表结点图中粗实线及箭头表示行列方向，圆圈代表结点第二十三张，PPT共五十九页，创作于2022年6月行列符号（行列符号（row symbol）行列符号与晶棱符号在表示方法及形式上完全相同，行列符号与晶棱符号在表示方法及形式上完全相同，即即uvwuvw。行列符号特征：表示一组互相平行、
17、取向相同的行行列符号特征：表示一组互相平行、取向相同的行列。列。等效行列：可通过晶体结构中的对称要素联系起来的等效行列：可通过晶体结构中的对称要素联系起来的等效行列：可通过晶体结构中的对称要素联系起来的等效行列：可通过晶体结构中的对称要素联系起来的一组行列，用一组行列，用一组行列，用一组行列，用表示。表示。表示。表示。例：等轴晶系中例：等轴晶系中例：等轴晶系中例：等轴晶系中100100、-100、010010、0-100-10、001001、00-100-1可用可用可用可用表示。表示。表示。表示。第二十四张，PPT共五十九页，创作于2022年6月面网符号面网符号面网符号与晶面符号的表示方法及形
18、式基本相同。但晶面面网符号与晶面符号的表示方法及形式基本相同。但晶面面网符号与晶面符号的表示方法及形式基本相同。但晶面面网符号与晶面符号的表示方法及形式基本相同。但晶面符号是表示某一个晶面的位置（空间方位），而面网符号符号是表示某一个晶面的位置（空间方位），而面网符号符号是表示某一个晶面的位置（空间方位），而面网符号符号是表示某一个晶面的位置（空间方位），而面网符号是表示一组相互平行且面网间距相等的面网。是表示一组相互平行且面网间距相等的面网。是表示一组相互平行且面网间距相等的面网。是表示一组相互平行且面网间距相等的面网。对（对（对（对（hklhkl）一组面网，面网间距用）一组面网，面网间距用
19、）一组面网，面网间距用）一组面网，面网间距用d dhkl表示，表示，表示，表示，hklhkl绝对值越绝对值越绝对值越绝对值越小（每一项指数的绝对值相加），小（每一项指数的绝对值相加），小（每一项指数的绝对值相加），小（每一项指数的绝对值相加），dhklhkl愈大，面网密愈大，面网密愈大，面网密愈大，面网密度也大；度也大；度也大；度也大；hklhkl绝对值越大，绝对值越大，绝对值越大，绝对值越大，d dhklhkl愈小，面网密度也愈小，面网密度也愈小，面网密度也愈小，面网密度也小。小。小。小。晶面符号（晶面符号（晶面符号（晶面符号（hkl）中无公约数，但对于面网符号，可以有）中无公约数，但对于面
20、网符号，可以有）中无公约数，但对于面网符号，可以有）中无公约数，但对于面网符号，可以有公约数。公约数。公约数。公约数。第二十五张，PPT共五十九页，创作于2022年6月面网符号面网符号平行于平行于(010)晶面的几组面网的符号晶面的几组面网的符号第二十六张，PPT共五十九页，创作于2022年6月面网符号面网符号面网符号中存在以下关系：dnhnknl1/ndhkld0301/3d010例如：金刚石（diamond）CuK1.5046nm，a3.536，Fd3m，测得d4400.63，则d2201.26，d1102.52，合成锐钛矿（TiO2):d0081.1871，则d0042.3742；d30
21、31.1714，则d1013.5144。第二十七张，PPT共五十九页，创作于2022年6月三、晶体内部结构的对称要素 研究空间格子仅仅是研究了晶体结构的平移对称性，除了平研究空间格子仅仅是研究了晶体结构的平移对称性，除了平移对称外，晶体结构还有与宏观形态上一样的旋转、反映对称。移对称外，晶体结构还有与宏观形态上一样的旋转、反映对称。并且这些旋转、反映操作与平移操作复合起来就会产生内部结并且这些旋转、反映操作与平移操作复合起来就会产生内部结构特有的一些对称要素：构特有的一些对称要素：qq 平移轴平移轴(translation axis)(translation axis)qq 螺旋轴螺旋轴(sc
22、rew axis)(screw axis)：qq 滑移面滑移面(glide plane)(glide plane)第二十八张，PPT共五十九页，创作于2022年6月平移轴平移轴(translation axis)为一直线方向，相应的对称操作为沿此直线方向平移一定的距离。对于具有平移轴的图形，当施行上述对称操作后，可使图形相同部分重复。在平移这一对称变换中，能够使图形复原的最小平移距离，称为平移轴的移距。移距。移距。移距。晶体结构中的行列均是平移轴晶体结构中的行列均是平移轴晶体结构中的行列均是平移轴晶体结构中的行列均是平移轴 平移轴有无限多平移轴有无限多平移轴有无限多平移轴有无限多 晶体微观对称
23、元素晶体微观对称元素第二十九张，PPT共五十九页，创作于2022年6月螺旋轴螺旋轴(screw axis)：晶体微观对称元素晶体微观对称元素qq 是一种复合的对称元素。其辅助几何要素为：一根假想的直线及与是一种复合的对称元素。其辅助几何要素为：一根假想的直线及与之平行的直线方向。相应的对称操作为：围绕此直接旋转一定角度，之平行的直线方向。相应的对称操作为：围绕此直接旋转一定角度，沿此直线方向平移一定距离后，结构中的每一质点都与其相同的质点沿此直线方向平移一定距离后，结构中的每一质点都与其相同的质点重合。重合。qq 螺旋轴的国际符号一般写成螺旋轴的国际符号一般写成n ns s。n n为轴次，为轴
24、次，s s为小于为小于n n的自然数。的自然数。有有有有2,3,4,6 2,3,4,6 次四个轴次次四个轴次次四个轴次次四个轴次,分为分为分为分为2 21 1,3,31 1,3,32 2,4,41 1,4,42 2,4,43 3,6,61 1,6,62 2,6 63 3,6,64 4,6,65 5等等等等1111种种种种第三十张，PPT共五十九页，创作于2022年6月晶体微观对称元素晶体微观对称元素 螺旋轴螺旋轴(screw axis)-)-ns l l2 21 1l l3 31 1、3 32 2l l4 41 1、4 42 2、4 43 3l l6 6l l、6 62 2、6 63 3、6
25、64 4、6 65 5 第三十一张，PPT共五十九页，创作于2022年6月第三十二张，PPT共五十九页，创作于2022年6月螺旋轴(screw axis)：晶体微观对称元素晶体微观对称元素第三十三张，PPT共五十九页，创作于2022年6月 若沿螺旋轴方向若沿螺旋轴方向若沿螺旋轴方向若沿螺旋轴方向的结点间距标记为的结点间距标记为的结点间距标记为的结点间距标记为T T，则质点平移的距，则质点平移的距，则质点平移的距，则质点平移的距 离离离离t t 应为应为应为应为（s/ns/ns/ns/n）TT，其中，其中，其中，其中 t t 称为螺距。螺旋轴据其轴次称为螺距。螺旋轴据其轴次称为螺距。螺旋轴据其轴
26、次称为螺距。螺旋轴据其轴次 和螺距可分为和螺距可分为和螺距可分为和螺距可分为2 21 1；3 31 1、3 32 2；4 41 1、4 42 2、4 43 3；6 61 1、6 62 2、6 63 3、6 64 4、6 65 5共共共共1111种种种种。它们各代表什么意思？它们各代表什么意思？它们各代表什么意思？它们各代表什么意思？举例：举例：举例：举例：4 41 1 意为按右旋方向旋转意为按右旋方向旋转意为按右旋方向旋转意为按右旋方向旋转9090度后移距度后移距度后移距度后移距1/4 T1/4 T；而；而；而；而4 43 3意为按右旋意为按右旋意为按右旋意为按右旋方向旋转方向旋转方向旋转方向
27、旋转9090度后移距度后移距度后移距度后移距3/4 T3/4 T。那么，。那么，。那么，。那么，4 41 1和和和和4 43 3是什么关系？是什么关系？是什么关系？是什么关系？晶体微观对称元素晶体微观对称元素螺旋轴(screw axis)：第三十四张，PPT共五十九页，创作于2022年6月4 43 3在旋转在旋转在旋转在旋转2 2个个个个9090度后移距度后移距度后移距度后移距23/4 T=1T+1/2T23/4 T=1T+1/2T，旋转，旋转，旋转，旋转3 3个个个个9090度后移距度后移距度后移距度后移距33/4 T=2T+1/4T33/4 T=2T+1/4T。T T的整数倍移距相当于平移
28、轴，可以剔除，所以，的整数倍移距相当于平移轴，可以剔除，所以，的整数倍移距相当于平移轴，可以剔除，所以，的整数倍移距相当于平移轴，可以剔除，所以，4 43 3相当于旋转相当于旋转相当于旋转相当于旋转270270度移距度移距度移距度移距1/4T1/4T，也即反向旋转，也即反向旋转，也即反向旋转，也即反向旋转9090度移距度移距度移距度移距1/4T 1/4T。所以，所以，所以，所以，4 41 1和和和和4 43 3是旋向相反的关系。是旋向相反的关系。是旋向相反的关系。是旋向相反的关系。1/40411/23/43/41/21/4043 晶体微观对称元素晶体微观对称元素第三十五张，PPT共五十九页，创
29、作于2022年6月 晶体微观对称元素晶体微观对称元素螺旋轴(screw axis)：第三十六张，PPT共五十九页，创作于2022年6月 规定：规定：规定：规定：4 41 1为右旋，为右旋，为右旋，为右旋，4 43 3则为左旋。但则为左旋。但则为左旋。但则为左旋。但4 43 3右旋时移距应为右旋时移距应为右旋时移距应为右旋时移距应为 3/4T3/4T。即螺旋轴的国际符号即螺旋轴的国际符号即螺旋轴的国际符号即螺旋轴的国际符号n ns s是以右旋为准的。是以右旋为准的。是以右旋为准的。是以右旋为准的。凡凡凡凡0sn/20sn/2者，为右旋螺旋轴（包括者，为右旋螺旋轴（包括者，为右旋螺旋轴（包括者，为
30、右旋螺旋轴（包括3 31 1、4 41 1、6 61 1、6 62 2）；）；）；）；凡凡凡凡n/2snn/2sn者，为左旋螺旋轴（包括者，为左旋螺旋轴（包括者，为左旋螺旋轴（包括者，为左旋螺旋轴（包括3 32 2、4 43 3、6 64 4、6 65 5）；）；）；）；而而而而s=n/2s=n/2者，为中性螺旋轴（包括者，为中性螺旋轴（包括者，为中性螺旋轴（包括者，为中性螺旋轴（包括2 21 1、4 42 2、6 63 3）。）。）。）。螺旋轴(screw axis)：晶体微观对称元素晶体微观对称元素第三十七张，PPT共五十九页，创作于2022年6月滑移面滑移面(glide plane):亦
31、称亦称象移面象移面,是一种复合的对称要素。其辅助几何要素有两是一种复合的对称要素。其辅助几何要素有两个：一个假想的平面和平行此平面的某一直线方向。相应个：一个假想的平面和平行此平面的某一直线方向。相应的对称操作为：对于此平面的反映和沿此直线方向平移的的对称操作为：对于此平面的反映和沿此直线方向平移的联合，其平移的距离等于该方向行列结点间距的一半。联合，其平移的距离等于该方向行列结点间距的一半。l l分为分为分为分为a,b,c,n,d a,b,c,n,d 等等等等5 5种种种种 晶体微观对称元素晶体微观对称元素第三十八张，PPT共五十九页，创作于2022年6月滑移面按其滑移的方向和距离可分为滑移
32、面按其滑移的方向和距离可分为滑移面按其滑移的方向和距离可分为滑移面按其滑移的方向和距离可分为a a、b b、c c、n n、d d五种。五种。五种。五种。其中其中其中其中a a、b b、c c为轴向滑移，移距分别为为轴向滑移，移距分别为为轴向滑移，移距分别为为轴向滑移，移距分别为 1/2a1/2a，1/2b1/2b，1/2c1/2c。n n为对角线滑移，移距为为对角线滑移，移距为为对角线滑移，移距为为对角线滑移，移距为1/21/2（a+ba+b）or 1/2or 1/2（b+cb+c）等。）等。）等。）等。d d为金刚石型滑移，移距为为金刚石型滑移，移距为为金刚石型滑移，移距为为金刚石型滑移，
33、移距为 1/41/4（a+ba+b）等。）等。）等。）等。晶体微观对称元素晶体微观对称元素滑移面(glide plane)举例：闪锌矿、举例：闪锌矿、NaClNaCl晶体、金刚石晶体、金刚石第三十九张，PPT共五十九页，创作于2022年6月l l 滑移面滑移面(glide plane)(glide plane)FFa a、b b、c c、n n、d d 晶体微观晶体微观 对称元素对称元素第四十张，PPT共五十九页，创作于2022年6月晶体中可能的对称元素及其符号第四十一张，PPT共五十九页，创作于2022年6月四、空间群四、空间群晶体内部结构的对称要素（操作）的组合。空间群共有晶体内部结构的对
34、称要素（操作）的组合。空间群共有230230种，空种，空间群亦称之为费德洛夫群（间群亦称之为费德洛夫群（Fedrov groupFedrov group）或圣佛利斯群）或圣佛利斯群（Schoenflies groupSchoenflies group）。一个空间群可看成是由两部分组成的，一部分是晶体结构中所有平一个空间群可看成是由两部分组成的，一部分是晶体结构中所有平移轴的集合，称为移轴的集合，称为平移群平移群平移群平移群；另一部分就是；另一部分就是点群点群点群点群,即晶体宏观对称要素即晶体宏观对称要素的集合。的集合。空间群是从对称型（点群）中推导出来的，每一对称型（点群）可空间群是从对称型（
35、点群）中推导出来的，每一对称型（点群）可产生多个空间群，所以产生多个空间群，所以3232个对称型（点群）可产生个对称型（点群）可产生230230种空间群。种空间群。空间群的表示方法与对称型的符号一致，共两种：即国际符号和圣佛利空间群的表示方法与对称型的符号一致，共两种：即国际符号和圣佛利斯符号。斯符号。空间群空间群(space group)的概念的概念第四十二张，PPT共五十九页，创作于2022年6月 空间群的国际符号包含了空间格子类型空间群的国际符号包含了空间格子类型空间群的国际符号包含了空间格子类型空间群的国际符号包含了空间格子类型,对称元素及其相互之对称元素及其相互之对称元素及其相互之对
36、称元素及其相互之间的关系。分两个部分：前一部分为大写英文字母，是平移群的间的关系。分两个部分：前一部分为大写英文字母，是平移群的间的关系。分两个部分：前一部分为大写英文字母，是平移群的间的关系。分两个部分：前一部分为大写英文字母，是平移群的符号，即布拉维格子（符号，即布拉维格子（符号，即布拉维格子（符号，即布拉维格子（P P、C C（A A、B B）、）、）、）、I I、F F）的符号；后一部分）的符号；后一部分）的符号；后一部分）的符号；后一部分与对称型（点群）的国际符号基本相同，只是其中晶体的某些宏观对与对称型（点群）的国际符号基本相同，只是其中晶体的某些宏观对与对称型（点群）的国际符号基
37、本相同，只是其中晶体的某些宏观对与对称型（点群）的国际符号基本相同，只是其中晶体的某些宏观对称要素的符号需换成相应的内部结构对称要素的符号。如称要素的符号需换成相应的内部结构对称要素的符号。如称要素的符号需换成相应的内部结构对称要素的符号。如称要素的符号需换成相应的内部结构对称要素的符号。如L L4 4对应的对应的对应的对应的国际符号为国际符号为国际符号为国际符号为P4P4、P4P41 1、P4P42 2、P4P43 3、I4I4和和和和 I4I41 1。优点：优点：优点：优点：可直接看出格子类型和各方向存在哪些对称要素。可直接看出格子类型和各方向存在哪些对称要素。可直接看出格子类型和各方向存
38、在哪些对称要素。可直接看出格子类型和各方向存在哪些对称要素。缺点：缺点：缺点：缺点：同一空间群由于不同的定向以及其他因素可以写成不同的同一空间群由于不同的定向以及其他因素可以写成不同的同一空间群由于不同的定向以及其他因素可以写成不同的同一空间群由于不同的定向以及其他因素可以写成不同的国际符号。国际符号。国际符号。国际符号。空间群的国际符号空间群的国际符号空间群的国际符号和圣佛利斯符号空间群的国际符号和圣佛利斯符号第四十三张，PPT共五十九页，创作于2022年6月空间群空间群空空间间群的群的国际国际国际国际符号符号符号符号Pnma(#62)1 12 23 3格子类型格子类型晶系三个位所表示的方向
39、(依次列出)等轴ca+b+ca+b001111110四方caa+b001100110斜方abc100010001单斜b010三斜任意方向任意方向三六方ca2a+b0011002101 11 12 23 33 32 2第四十四张，PPT共五十九页，创作于2022年6月空间群的圣佛利斯符号空间群的圣佛利斯符号空间群的圣佛利斯符号表示方法很简单，即在其对称型的圣佛利斯符号的右上角加上序号即可。如对称型L L4 4的圣佛利斯符号为的圣佛利斯符号为C4 4，与它对应的六个空间群的，与它对应的六个空间群的圣佛利斯符号分别为圣佛利斯符号分别为C4 41、C C4 42 2、C4 43 3、C C4 44 4
40、、C C45、C C4 46 6。优点：每一种圣佛利斯符号只与一种空间群对应。优点：每一种圣佛利斯符号只与一种空间群对应。优点：每一种圣佛利斯符号只与一种空间群对应。优点：每一种圣佛利斯符号只与一种空间群对应。缺点：不能直观看出格子类型和各方向存在哪些对缺点：不能直观看出格子类型和各方向存在哪些对缺点：不能直观看出格子类型和各方向存在哪些对缺点：不能直观看出格子类型和各方向存在哪些对 称要素。称要素。称要素。称要素。第四十五张，PPT共五十九页，创作于2022年6月空空 间间 群群所以，在表示空间群时，鉴于两种符号各自的特点，所以，在表示空间群时，鉴于两种符号各自的特点，所以，在表示空间群时，
41、鉴于两种符号各自的特点，所以，在表示空间群时，鉴于两种符号各自的特点，一般采用两种符号并用。例如：一般采用两种符号并用。例如：一般采用两种符号并用。例如：一般采用两种符号并用。例如：金红石：金红石：D D4h4h14P4 42 2/mnm 它的点群是什么？格子类型是什么？在它的点群是什么？格子类型是什么？在它的点群是什么？格子类型是什么？在它的点群是什么？格子类型是什么？在 什么方向有什么什么方向有什么什么方向有什么什么方向有什么对称要素？对称要素？对称要素？对称要素？金刚石：金刚石：OOh h7 7Fd3mFd3m闪锌矿：闪锌矿：闪锌矿：闪锌矿：T Td2 2F43mF43m第四十六张，PP
42、T共五十九页，创作于2022年6月 有限图形（晶体形态）有限图形（晶体形态）有限图形（晶体形态）有限图形（晶体形态）-无限图形（晶体结构）无限图形（晶体结构）无限图形（晶体结构）无限图形（晶体结构）点操作（有一个点不动）点操作（有一个点不动）点操作（有一个点不动）点操作（有一个点不动）-空间操作空间操作空间操作空间操作 mm，L Ln n，c c；-m-m，L Ln n，n ns s，a a、b b、c c、d d、n n；空间群与对称型（点群）体现了晶体内部结构的对称空间群与对称型（点群）体现了晶体内部结构的对称空间群与对称型（点群）体现了晶体内部结构的对称空间群与对称型（点群）体现了晶体内
43、部结构的对称 与晶体外形对称的统一。如在晶体外形的某一方向上与晶体外形对称的统一。如在晶体外形的某一方向上与晶体外形对称的统一。如在晶体外形的某一方向上与晶体外形对称的统一。如在晶体外形的某一方向上 有有有有4 4，则在晶体内部结构中相应的方向可能是，则在晶体内部结构中相应的方向可能是，则在晶体内部结构中相应的方向可能是，则在晶体内部结构中相应的方向可能是4 4、4 41 1、4 42 2或许或许或许或许4 43 3，也可能有，也可能有，也可能有，也可能有2 2。空间群空间群 空间群与对称型（点群）的区别空间群与对称型（点群）的区别第四十七张，PPT共五十九页，创作于2022年6月空间群的投影
44、空间群的投影第四十八张，PPT共五十九页，创作于2022年6月在晶体结构中，由一原始点经空间群中所有对称要素操作所在晶体结构中，由一原始点经空间群中所有对称要素操作所推导出来的规则点系。这些点所分布的空间位置称之为推导出来的规则点系。这些点所分布的空间位置称之为等效等效等效等效位置位置位置位置。等效点系与空间群的关系，相当于单形与对称型（点群）的关系等效点系与空间群的关系，相当于单形与对称型（点群）的关系在在晶晶体体结结构构中中，质质点点按按等等效效点点系系分分布布，同同种种类类型型质质点点占占据据一一套套或或几几套套等等效效点点系系，不不同同种种类类型型质质点点不不能能占占据据同同一一套套等
45、等效效点点系。系。等效点系的概念(set of equivalent positions)(set of equivalent positions)思考：晶体结构中同种质点相当点等效点思考：晶体结构中同种质点相当点等效点思考：晶体结构中同种质点相当点等效点思考：晶体结构中同种质点相当点等效点五、等效点系第四十九张，PPT共五十九页，创作于2022年6月 等效点系的描述等效点系的描述(set of equivalent positions)重复点数重复点数重复点数重复点数一套等效点系在一个单位晶胞中所拥有的等效点的数目称该等一套等效点系在一个单位晶胞中所拥有的等效点的数目称该等效点系的重复点数。
46、效点系的重复点数。WyckoffWyckoff符号符号符号符号对不同的等效点系，分别给予不同的记号如对不同的等效点系，分别给予不同的记号如a a、b b、c c、d d、e e、f f、g g、h h，等小写英文字母予以代表，称为各等效点系的魏科夫符等小写英文字母予以代表，称为各等效点系的魏科夫符号。号。点位置上的对称性点位置上的对称性是指该套等效点系的等效点所处位置上环境的对称性。是指该套等效点系的等效点所处位置上环境的对称性。等效点系等效点系第五十张，PPT共五十九页，创作于2022年6月等效点系的描述等效点系的描述(set of equivalent positions)点的坐标点的坐标
47、点的坐标点的坐标 是指对一个单位晶胞中的等效点的坐标。它与前述对空间是指对一个单位晶胞中的等效点的坐标。它与前述对空间格子中结点的坐标方法基本相同，其坐标值以轴单位的系格子中结点的坐标方法基本相同，其坐标值以轴单位的系数形式给出。对于确定的值以分数、小数，数形式给出。对于确定的值以分数、小数，0 0或或1 1来表示；来表示；对不确定者则以对不确定者则以x x、y y、z z表示之。由于对等效点系的坐标仅表示之。由于对等效点系的坐标仅局限于一个单位晶胞的范围内，故在坐标值中不可能出现大局限于一个单位晶胞的范围内，故在坐标值中不可能出现大于于1 1的情况。的情况。特殊等效点系特殊等效点系特殊等效点
48、系特殊等效点系vs.一般等效点系一般等效点系一般等效点系一般等效点系 位于位于对对称要素上的点系叫特殊等效点系。特殊等效点称要素上的点系叫特殊等效点系。特殊等效点系的点数系的点数较较少。不位于少。不位于对对称要素上的点系叫一般等效称要素上的点系叫一般等效点系。一般等效点系点系。一般等效点系对对称程度最低，而重复点数称程度最低，而重复点数总总是是最多。最多。第五十一张，PPT共五十九页，创作于2022年6月 通常只考虑在一个单位晶胞范围内的情况，即在单位晶通常只考虑在一个单位晶胞范围内的情况，即在单位晶胞中，彼此能对称重复的各个结构位置，构成一个胞中，彼此能对称重复的各个结构位置，构成一个等效位
49、等效位置组置组；把等效位置抽象成几何点把等效位置抽象成几何点,该集合便称为该集合便称为等效点系等效点系；晶体结构中的空间群，对应于宏观晶体中的点群；而等效位置晶体结构中的空间群，对应于宏观晶体中的点群；而等效位置组的概念，则相似于单形的概念。组的概念，则相似于单形的概念。等效点系等效点系 单单 形形 晶体外形晶体外形宏观宏观 等效点系等效点系 内部结构内部结构微观微观第五十二张，PPT共五十九页，创作于2022年6月晶体外形晶体外形对对称称晶体内部晶体内部结结构构对对称称对对称要素称要素对对称要素共称要素共7 7种，每种个数有限，种，每种个数有限，没有平移性。没有平移性。对对称要素共称要素共2
50、323种，每种个数无限多，具种，每种个数无限多，具 有平移性。有平移性。对对称要素称要素的的组组合合 一个晶体上所有一个晶体上所有对对称要素的称要素的组组合叫合叫 对对称型称型，共，共3232种。可用国种。可用国际际符号和符号和 圣佛利斯符号表示。圣佛利斯符号表示。一个晶体内部构造的全部一个晶体内部构造的全部对对称要素的称要素的组组 合叫合叫空空间间群群，共，共230230种。可用国种。可用国际际符号和符号和 圣佛利斯符号表示。圣佛利斯符号表示。对对称的称的体体现现外形的外形的对对称通称通过过晶面的形状大小及晶面的形状大小及分布方向体分布方向体现现。内部内部结结构的构的对对称通称通过质过质点的