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1、结晶学与矿物学结晶学与矿物学下面是第下面是第7章章:晶体晶体内部内部结结构的构的微观对称和空间群微观对称和空间群晶体晶体内部内部结结构的构的微观对称和空间群微观对称和空间群l l晶体微晶体微观对观对称要素称要素l l二维二维空空间间群群l l空间群空间群结晶学与矿物学结晶学与矿物学 晶体微观对称元素晶体微观对称元素晶体结构中可能出现的对称元素，包括两部分：宏观对称元素:对称心,对称面，对称轴(倒转轴)只能在作无限图形的晶体结构中才能出现的微观对称元素。特点是，在它们的对称操作中都包含有平移动作。晶体晶体内部内部结结构的构的微观对称和空间群微观对称和空间群平移轴(translationaxis)
2、为一直线方向，相应的对称变换为沿此直线方向平移一定的距离。对于具有平移轴的图形，当施行上述对称变换后，必可使图形相同部分重复，亦即带个图形复原。在平移这一对称变换中，能够使图形复原的最小平移距离，称为平移轴的移距。晶体结构中的行列均是平移轴平移轴有无限多晶体微观对称元素螺旋轴(screwaxis)：是是一一种种复复合合的的对对称称元元素素。其其辅辅助助几几何何要要素素为为：一一根根假假想想的的直直线线及及与与之之平平行行的的直直线线方方向向。相相应应的的对对称称变变换换为为围围绕绕此直接旋此直接旋转转一定角度和沿此直一定角度和沿此直线线方向平移的方向平移的联联合。合。有有2,3,4,62,3,
3、4,6次四个次四个轴轴次次 分分为为2 21 1,3,31 1,3,32 2,4,41 1,4,42 2,4,43 3,6,61 1,6,62 2,6,63 3,6,64 4,6,65 5等等1111种种晶体微观对称元素l l滑移面(glideplane):亦称象移面亦称象移面,是一种复合的是一种复合的对对称要素。其称要素。其辅辅助几何要素助几何要素有两个：一个假想的平面和平行此平面的某一直有两个：一个假想的平面和平行此平面的某一直线线方方向。相向。相应应的的对对称称变换为变换为：对对于此平面的反映和沿此直于此平面的反映和沿此直线线方向平移的方向平移的联联合，其平移的距离等于合，其平移的距离等
4、于该该方向行列方向行列结结点点间间距的一半。距的一半。分分为为a,b,c,n,da,b,c,n,d等等5 5种种晶体微观对称元素晶体内部微观对称元素晶体内部微观对称元素 l l螺旋轴螺旋轴螺旋轴螺旋轴(screw axisscrew axis)-)-n ns s FF2 21 1FF3 31 1、3 32 2FF4 41 1、4 42 2、4 43 3FF6 6l l、6 62 2、6 63 3、6 64 4、6 65 5 l l 滑移面滑移面滑移面滑移面(glide plane)glide plane)FFa a、b b、c c、n n、d d 晶体中可能的对称元素及其符号二维空间群10种二
5、维点群4个二维晶系晶系对称元素特征点群符号单胞参量布拉维单胞单斜m有1或21,2ab,90mp正交o有m1m,2mmab,=90op,oc四方t有44,4mma=b,=90tp六方h有3或63,3m,6,6mma=b,=120hp二维空间群10种二维点群的投影二维空间群5种二维点阵类型17种二维空间群晶系和点阵符号点群符号二维空间群国际符号空间群序号完全的简短的单斜p1p1p112p211p22正交p,cmp1m1pm3p1g1Pg4c1m1cm52mmp2mmpmm6p2mgpmg7p2ggpgg8c2mmcmm9四方p4p4p4104mmp4mmp4m11p4gmp4g12六方p3p3p3
6、133mp3m1p3m114p31mp31m156p6p6166mmp6mmp6m17二维空间群的表示Forexample:Forexample:第第7 7号二维空间群号二维空间群p2mg由上到下由上到下(x x方向方向)的对称元素的对称元素格子类型格子类型1 12 23 3垂直纸面方向的对称元素垂直纸面方向的对称元素从左至右从左至右(y y方向方向)的对称元素的对称元素二维空间群的表示Forexample:Forexample:第第7 7号二维空间群号二维空间群P2mgx x,y y；-x-x,-y-y；1/2-1/2-x x,y y；1/2+1/2+x x,y y 空间群l l空空间间群群
7、(spacegroup)spacegroup)的概念的概念一个晶体一个晶体结结构中一切构中一切对对称要素的集合。晶体称要素的集合。晶体总总共只能有共只能有230230种不同的空种不同的空间间群。群。一个空一个空间间群可看成是由两部分群可看成是由两部分组组成的，一部分是晶体成的，一部分是晶体结结构中所有平构中所有平移移轴轴的集合，称的集合，称为为平移群平移群；另一部分就是；另一部分就是点群点群,即晶体宏即晶体宏观对观对称要素称要素的集合。的集合。晶体中可能的平移群有晶体中可能的平移群有1414种种,与与1414种布拉种布拉维维格子格子类类型型对应对应。l l空空间间群的符号群的符号包含了空包含了
8、空间间格子格子类类型型,对对称称元元素及其相互之素及其相互之间间的关系。国的关系。国际际符号分两个部分：前半部分是平移群的符号，即布拉符号分两个部分：前半部分是平移群的符号，即布拉维维格子格子的符号，按格子的符号，按格子类类型的不同而分型的不同而分别别用字母用字母P P、R R、I I、C C、F F等等表示之。后半部分表示之。后半部分则则是其他是其他对对称要素之集合的符号，称要素之集合的符号，类类似于似于点群符号的表达点群符号的表达,但有的被微但有的被微观对观对称要素取代称要素取代.空间群点群点群布拉维格子布拉维格子空间群空间群二维二维 1010种种5 5种种1717种种三维三维 3232种
9、种1414种种230230种种晶体内部结构所有对称元素的集合晶体内部结构所有对称元素的集合晶体内部结构所有对称元素的集合晶体内部结构所有对称元素的集合!空间群空空空空间间间间群的群的群的群的国际国际国际国际符号符号符号符号p2mg由上到下由上到下(x x方向方向)的对称元素的对称元素格子类型格子类型1 12 23 3垂直纸面方向的对称元素垂直纸面方向的对称元素从左至右从左至右(y y方向方向)的对称元素的对称元素Pnma (#62)(#62)1 12 23 3格子类型格子类型空间群空空空空间间间间群的群的群的群的国际国际国际国际符号符号符号符号Pnma (#62)(#62)1 12 23 3格
10、子类型格子类型晶系三个位所表示的方向(依次列出)等轴ca+b+ca+b001111110四方caa+b001100110斜方abc100010001单斜b010三斜任意方向任意方向三六方ca2a+b0011002101 11 12 23 33 32 2空间群l l等效位置等效位置(equivalentpositions)equivalentpositions)在晶体在晶体结结构中，能借助于空构中，能借助于空间间群之各个群之各个对对称要素的作用称要素的作用而相互系起来的一而相互系起来的一组组点所分布的空点所分布的空间间位置。位置。通常只考通常只考虑虑在一个在一个单单位晶胞范位晶胞范围围内的情况，
11、即在内的情况，即在单单位晶胞中，彼位晶胞中，彼此能此能对对称重复的各个称重复的各个结结构位置，构成一个构位置，构成一个等效位置等效位置组组;把等效位置抽象成几何点把等效位置抽象成几何点,该该集合便称集合便称为为等效点系等效点系;晶体晶体结结构中的空构中的空间间群，群，对应对应于宏于宏观观晶体中的点群；而等效位置晶体中的点群；而等效位置组组的概念，的概念，则则相似于相似于单单形的概念。形的概念。空间群 空空间间群的群的等效点系等效点系(setofequivalentpositionssetofequivalentpositions)空间群中对称元素联系起来的一套点集空间群中对称元素联系起来的一套
12、点集 特殊等效点系特殊等效点系vs.vs.一般等效点系一般等效点系 WyckoffWyckoff符号符号 单形单形晶体外形晶体外形宏观宏观 等效点系等效点系 内部结构内部结构微观微观空间群 方解石方解石-CaCOCaCO3 3 spacegroup=R-3cspacegroup=R-3c Z Z=6=6，在单胞内含有在单胞内含有3030个原子个原子 CaCa占据占据6 6a a位置位置0,0,00,0,0；CC占据占据6 6b b位置位置0,0,0,0,OO占据占据1818e e位置位置x x,0,0,（x x=0.275=0.275）其他其他2727个原子的位置个原子的位置?空间群的对称性使
13、得原本复杂的事物描述起来是如空间群的对称性使得原本复杂的事物描述起来是如此简单此简单!空间群 空间群的表达方式空间群的表达方式晶体学国际表晶体学国际表InternationalTablesforCrystallographyInternationalTablesforCrystallography 空间群和相应点群的序号和符号空间群和相应点群的序号和符号 对称元素和一般等效位置配置图对称元素和一般等效位置配置图 原点的对称性原点的对称性 通过原点的对称元素通过原点的对称元素 不对称单元不对称单元 等效点系等效点系空间群PnmaPnma(#(#62)62)重复点数Wyckoff符号点位置上的对称性等效点的坐标8d1x,y,z;-x+1/2,-y,z+1/2;-x,y+1/2,-z;x+1/2,-y+1/2,-z+1/2;-x,-y,-z;x+1/2,y,-z+1/2;x,-y+1/2,z;-x+1/2,y+1/2,z+1/24cmx,1/4,z;-x+1/2,3/4,z+1/2;-x,3/4,-z;x+1/2,1/4,-z+1/24b-10,0,1/2;1/2,0,0;0,1/2,1/2;1/2,1/2,04a-10,0,0;1/2,0,1/2;0,1/2,0;1/2,1/2,1/2See“230SpaceGroup”