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1、时,有一、一、无穷小运算法无穷小运算法则则定理定理1.有限个无穷小的和还是无穷小.证证:考虑两个无穷小的和.设当时,有当时,有取则当因此这说明当时,为无穷小量.第1页/共24页说明说明:无限个无限个无穷小之和不一定不一定是无穷小!例如，例如，(P57 题 4(2)解答见课件第二节 例5类似可证:有限个有限个无穷小之和仍为无穷小.第2页/共24页定理定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷有界函数与无穷小的乘积是无穷小小.证证:设又设即当时,有取则当时,就有故即是时的无穷小.推论推论 1.常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论 2.有限个无穷小的乘积是无穷小.第3页/共24页例例1.求求解解:利用定理
2、 2 可知说明说明:y=0 是的渐近线.第4页/共24页二、二、极限的四则运算法极限的四则运算法则则则有证证:因则有(其中为无穷小)于是由定理 1 可知也是无穷小,再利用极限与无穷小的关系定理,知定理结论成立.定理 3.若第5页/共24页推论推论:若若且则(P46 定理定理 5)利用保号性定理证明.说明说明:定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形.提示提示:令第6页/共24页定理定理 4.若若则有提示提示:利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明.说明说明:定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形.推论推论 1.(C 为常数)推论推论 2.(n 为正整数)例例2.设 n 次多项式试证证证:
3、第7页/共24页为无穷小(详见书详见书P44)定理定理 5.若若且 B0,则有证证:因有其中设无穷小有界由极限与无穷小关系定理,得因此 为无穷小,第8页/共24页定理定理6.若若则有提示提示:因为数列是一种特殊的函数,故此定理 可由定理3,4,5 直接得出结论.第9页/共24页 x=3 时分母为 0!例例3.设有分式函数设有分式函数其中都是多项式,试证:证证:说明说明:若不能直接用商的运算法则.例例4.若第10页/共24页例例5.求求解解:x=1 时,分母=0,分子0,但因第11页/共24页例例6.求求解解:分子分母同除以则“抓大头抓大头”原式第12页/共24页一般有如下结果：一般有如下结果：
4、为非负常数)(如如 P47 例例5)(如如 P47 例例6)(如如 P47 例例7)第13页/共24页三、三、复合函数的极限运算法复合函数的极限运算法则则定理定理7.设且 x 满足时,又则有证证:当时,有当时,有对上述取则当时故因此式成立.第14页/共24页定理定理7.设且 x 满足时,又则有 说明说明:若定理中若定理中则类似可得第15页/共24页例例7.求求解解:令,仿照例4 原式=(见见P34 例例5)例4第16页/共24页例例8.求求解解:方法方法 1则令 原式方法方法 2第17页/共24页内容小结内容小结1.极限运算法则(1)无穷小运算法则(2)极限四则运算法则(3)复合函数极限运算法
5、则注意使用条件2.求函数极限的方法(1)分式函数极限求法时,用代入法(要求分母不为 0)时,对型,约去公因子时,分子分母同除最高次幂“抓大头”(2)复合函数极限求法设中间变量Th1Th2Th3Th4Th5Th7第18页/共24页思考及练习思考及练习1.是否存在?为什么?答答:不存在.否则由利用极限四则运算法则可知存在,与已知条件矛盾.解解:原式2.问第19页/共24页3.求求解法解法 1 原式=解法解法 2 令则原式=第20页/共24页4.试确定常数试确定常数 a 使使解解:令则故因此第21页/共24页作业作业P49 1(5)，(7)，(9)，(12)，(14)2(1)，(3)3(1)5第六节 第22页/共24页备用题备用题 设设解解:利用前一极限式可令再利用后一极限式,得可见是多项式,且求故第23页/共24页感谢您的欣赏！第24页/共24页