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1、说明:无限个无穷小之和不一定是无穷小!例如，(P57 题 4(2)解答见课件第二节 例5类似可证:有限个无穷小之和仍为无穷小.第1页/共23页定理定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷有界函数与无穷小的乘积是无穷小小.证:设又设即当时,有取则当时,就有故即是时的无穷小.推论 1.常数与无穷小的乘积是无穷小.推论 2.有限个无穷小的乘积是无穷小.第2页/共23页例例1.求求解:利用定理 2 可知说明:y=0 是的渐近线.第3页/共23页二、二、极限的四则运算法极限的四则运算法则则则有证:因则有(其中为无穷小)于是由定理 1 可知也是无穷小,再利用极限与无穷小的关系定理,知定理结论成立.定理 3.若
2、第4页/共23页推论推论:若若且则(P46 定理 5)利用保号性定理证明.说明:定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形.提示:令第5页/共23页定理定理 4.若若则有提示:利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明.说明:定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形.推论 1.(C 为常数)推论 2.(n 为正整数)例2.设 n 次多项式试证证:第6页/共23页为无穷小(详见书详见书P44)定理定理 5.若若且 B0,则有证:因有其中设无穷小有界由极限与无穷小关系定理,得因此 为无穷小,第7页/共23页定理定理6.若若则有提示:因为数列是一种特殊的函数,故此定理 可由定理3,4,5 直接得出结论
3、.第8页/共23页 x=3 时分母为 0!例例3.设有分式函数设有分式函数其中都是多项式,试证:证:说明:若不能直接用商的运算法则.例4.若第9页/共23页例例5.求求解:x=1 时,分母=0,分子0,但因第10页/共23页例例6.求求解:分子分母同除以则“抓大头”原式第11页/共23页一般有如下结果：一般有如下结果：为非负常数)(如 P47 例5)(如 P47 例6)(如 P47 例7)第12页/共23页三、三、复合函数的极限运算法复合函数的极限运算法则则定理7.设且 x 满足时,又则有证:当时,有当时,有对上述取则当时故因此式成立.第13页/共23页定理7.设且 x 满足时,又则有 说明:
4、若定理中则类似可得第14页/共23页例例7.求求解:令,仿照例4 原式=(见P34 例5)例4第15页/共23页例例8.求求解:方法 1则令 原式方法 2第16页/共23页内容小结内容小结1.极限运算法则(1)无穷小运算法则(2)极限四则运算法则(3)复合函数极限运算法则注意使用条件2.求函数极限的方法(1)分式函数极限求法时,用代入法(要求分母不为 0)时,对型,约去公因子时,分子分母同除最高次幂“抓大头”(2)复合函数极限求法设中间变量Th1Th2Th3Th4Th5Th7第17页/共23页思考及练习思考及练习1.是否存在?为什么?答:不存在.否则由利用极限四则运算法则可知存在,与已知条件矛盾.解:原式2.问第18页/共23页3.求求解法 1 原式=解法 2 令则原式=第19页/共23页4.试确定常数试确定常数 a 使使解:令则故因此第20页/共23页作业作业P49 1(5)，(7)，(9)，(12)，(14)2(1)，(3)3(1)5第六节 第21页/共23页备用题备用题 设设解:利用前一极限式可令再利用后一极限式,得可见是多项式,且求故第22页/共23页感谢您的欣赏！第23页/共23页