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1、 1.1 1.1 你能证明它们吗（二）你能证明它们吗（二）w在在等腰三角形中作出一些线段（如角平分线、中等腰三角形中作出一些线段（如角平分线、中线、高等）线、高等）.w与同伴交流你在探索思路的过程中的具体做法.w你能你能发现其中的一些相等的线段吗发现其中的一些相等的线段吗?w你能发现其中的一些相等的角吗你能发现其中的一些相等的角吗?ACBw你能证明发现的结论吗你能证明发现的结论吗?DEACBMNACBPQ复习引入复习引入E2 例例1 求证求证:等腰三角形两底角的平分线相等等腰三角形两底角的平分线相等.证明证明:AB=AC(已知已知),ABC=ACB(等边对等角等边对等角).又又1=ABC,2=
2、ACB(已知已知),1=2(等式性质等式性质).在在BDC与与CEB中中 DCB=EBC（已知）已知）,BC=CB（公共边）公共边）,1=2（已证）已证）,BDCCEB（ASA）.BD=CE(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等)ACB 已知已知:如图如图,在在ABC中中,AB=AC,BD,CE是是ABC角角平平分线分线.求证求证:BD=CE.D1例题解析例题解析例例2 求证求证:等腰三角形两腰上的中线相等等腰三角形两腰上的中线相等.证明证明:AB=AC(已知已知),ABC=ACB(等边对等角等边对等角).又又CM=AC,BN=AB(已知已知),CM=BN(等式性质等式性质).在在BM
3、C与与CNB中中 BC=CB（公共边）公共边）,MCB=NBC（已证）已证）,CM=BN（已证）（已证）,BMCCNB（SAS）.BM=CN(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等)已知已知:如图如图,在在ABC中中,AB=AC,BM,CN是是ABC两腰上的中线两腰上的中线.求证求证:BM=CN.ACBMN命题证明命题证明例例3 求证求证:等腰三角形两腰上的高相等等腰三角形两腰上的高相等.证明证明:AB=AC(已知已知),ABC=ACB(等边对等角等边对等角).又又 BP,CQ是是ABC两腰上的高两腰上的高(已知已知),BPC=CQB=900(高的高的意义意义).在在BPC与与CQB中中
4、 BPC=CQB（已证）（已证）,PCB=QBC（已证）（已证）,BC=CB（公共边）公共边）,BPCCQB（AAS）.BP=CQ(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等)已知已知:如图如图,在在ABC中中,AB=AC,BP,CQ是是ABC两腰上的高两腰上的高.求证求证:BP=CQ.ACBPQ命题证明命题证明这里是一个由这里是一个由特殊特殊结结论归纳出论归纳出一般一般结论的结论的一种数学思想方法一种数学思想方法.ACBDE1.已知已知:如图如图,在在ABC中中,AB=AC(1)如果如果ABD=ABC/3,ACE=ACB/3呢呢?由此由此你能得到一个什么结论你能得到一个什么结论?(2)如果
5、如果AD=AC/3,AE=AB/3呢呢?由此你能得到一个什由此你能得到一个什么结论么结论?你能证明得到的结论吗？你能证明得到的结论吗？议一议议一议结论结论1:1:等腰三角形等腰三角形腰上的高线与底边的夹角腰上的高线与底边的夹角 等于顶角的一半等于顶角的一半.结论结论2:2:等腰三角形等腰三角形底边上的任意一点底边上的任意一点到两到两 腰的距离之和腰的距离之和等于一腰上的高等于一腰上的高.结论结论前面已经证明了前面已经证明了“等边对等角等边对等角”，反过来，反过来，“等角对等边等角对等边”成立吗成立吗?即即有两个角相等的三角形是等腰三角形有两个角相等的三角形是等腰三角形吗吗?ACB已知已知:如图
6、如图,在在ABC中中,BC.求证求证:AB=AC.如：作如：作BCBC边上的边上的中线；中线；作作A A的的平分线平分线 作作BCBC边上的高边上的高.想一想想一想定理：定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边等角对等边）.ACB在在ABC中中BC（已知），已知），AB=AC（等角对等边）等角对等边）.定理证明定理证明这又是一个判定这又是一个判定两条两条线段相等线段相等方法之一方法之一.1.如图如图,ABC中中,D，E分别是分别是AC，AB上的点上的点,BD与与CE交交于点于点O,给出下列四个条件给出下列四个条件:EBO=DCO BEO=CDO BE
7、=CD OB=OC (1)上述四个条件中上述四个条件中,哪两个条件可判定哪两个条件可判定ABC是等腰三是等腰三角形角形(用序号写出所有情形用序号写出所有情形)(2)选择的选择的1小题的一种情形小题的一种情形,证明证明 ABC是等腰三角形是等腰三角形.BAEDCO;2.现有等腰三角形纸片现有等腰三角形纸片,如果能从一个角的顶点如果能从一个角的顶点出发出发,将原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸片将原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸片,问此时的等腰三角形的顶角的度数问此时的等腰三角形的顶角的度数?3690108路边苦李路边苦李古时候有个人叫王戍，古时候有个人叫王戍，7 7岁那年的某一天岁那年的某一天和小
8、朋友在路边玩，看见一棵李子树上的和小朋友在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得把树枝都快压断了，小朋友们都果实多得把树枝都快压断了，小朋友们都跑去摘，只有王戍站着没动跑去摘，只有王戍站着没动.小朋友问他小朋友问他为何不去摘，他说：为何不去摘，他说：“树长在路边，如果树长在路边，如果李子是甜的李子是甜的,那么早没了那么早没了,现在李子那么多，现在李子那么多，肯定李子是苦的，不好吃肯定李子是苦的，不好吃.”小朋友摘来小朋友摘来一尝，李子果然苦的没法吃一尝，李子果然苦的没法吃.开启智慧开启智慧w小小明说明说,在一个三角形中，如在一个三角形中，如果两个角所对的边不相等果两个角所对的边不相等,那么那么这两
9、个角也不相等这两个角也不相等.w你认为这个结论成立吗你认为这个结论成立吗?w如果成立如果成立,你能证明它吗你能证明它吗?CAB 即在即在ABC中中,如果如果ABAC,那么那么BC.命题证明命题证明w小小明是这样想的明是这样想的:w你能理解他的推理过程吗?CAB 假设假设B=C,那么根据那么根据“等角对等边等角对等边”得得AB=AC,与已知条件是与已知条件是ABAC相矛盾相矛盾因此假设不成立因此假设不成立,原命题成立原命题成立即即BC.开启智慧开启智慧先假设命题的结论先假设命题的结论反面反面成立，成立，然后推导出与定义，公理、已证定理或然后推导出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，已知
10、条件相矛盾的结果，所以假设不成立所以假设不成立,原命题成立原命题成立w你你可要结识可要结识“反证法反证法”这个新朋友噢这个新朋友噢!反证法是一种重要的数学证明方法反证法是一种重要的数学证明方法.在解决某些问题时常常会有出人意在解决某些问题时常常会有出人意料的作用料的作用.这种证明方法称为这种证明方法称为反证法反证法 (reduction to absurdity)(reduction to absurdity)假设归谬结论开启智慧开启智慧w例例4.4.如何证明这个结论如何证明这个结论:w如果如果a1,a2,a3,a4,a5都是正数都是正数,且且a1+a2+a3+a4+a5=1,那么那么,这五个
11、数中至少这五个数中至少有一个大于或等于有一个大于或等于1/5.用用反证法反证法来证来证:证明证明:假设这五个数假设这五个数全部全部小于小于1/5,那么这五那么这五个数的和个数的和a1+a2+a3+a4+a5就小于就小于1.这与已知这与已知这五个数的和这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾相矛盾.因因此假设不成立此假设不成立,原命题成立原命题成立,即这五个数中即这五个数中至少有下个大于或等于至少有下个大于或等于1/5.例题讲解例题讲解3.用反证法证明：用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角一个三角形中不能有两个角是直角已知：已知：ABC求证：求证：A、B、C中不能有两个角是直角
12、中不能有两个角是直角证明：证明：假设假设A、B、C中有两个角是直角中有两个角是直角，不妨设不妨设A=B=90，则则A+B+C=90+90+C180这与三角形内角和定理矛盾，这与三角形内角和定理矛盾，所以所以A=B=90不成立不成立所以一个三角形中不能有两个角是直角所以一个三角形中不能有两个角是直角随堂练习随堂练习4.用反证法证明用反证法证明:在一个三角形中在一个三角形中,至少有一个内至少有一个内角小于或等于角小于或等于60.证明证明:假设假设A,B,C是是ABC的三个内角的三个内角,且都大于且都大于60,则则A 60,B 60,C 60,A+B+C 180这与三角形的内角和是这与三角形的内角和
13、是1800定理矛盾定理矛盾假设不成立假设不成立在一个三角形中在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于至少有一个内角小于或等于60.随堂练习随堂练习理解证明的理解证明的必要性必要性和和规范性规范性.理解几何命题证明的理解几何命题证明的方法方法,步骤步骤,格式格式及及注意事注意事项项.你对你对“执果索因执果索因”,“由因导果由因导果”理解与运用理解与运用有何进步有何进步.规范性规范性中的中的条理清晰条理清晰,因果相应因果相应,言心有据言心有据的要的要求是否内化为一种技能求是否内化为一种技能.几何的三种语言几何的三种语言融会贯通融会贯通的水平是否有所提高的水平是否有所提高.关注关注知识知识,经验经验,方法的积累和提高方法的积累和提高,是前进的是前进的推进器推进器.你准备如何提高证明命题的能力呢你准备如何提高证明命题的能力呢?课堂小结课堂小结