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1、 1.1 1.1 你能证明它们吗（二）你能证明它们吗（二）公理：三边对应相等的两个三角形全等（公理：三边对应相等的两个三角形全等（）公理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等公理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SASSAS)公理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等公理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASAASA)公理：全等三角形的对应边、对应角相等。公理：全等三角形的对应边、对应角相等。推论：两角及其中一角的对应边相等的两个三角形全等推论：两角及其中一角的对应边相等的两个三角形全等(AAS)定理定理:等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等简称简称:等边对等角等边对等
2、角推论推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合互相重合(三线合一三线合一)结论结论1:1:等腰三角形等腰三角形腰上的高线与底边的夹角腰上的高线与底边的夹角等于等于顶角的一半顶角的一半.知识要点知识要点:结论结论2:2:等腰三角形等腰三角形底边上的任意一点底边上的任意一点到两腰的距离到两腰的距离之和之和等于一腰上的高等于一腰上的高驶向胜利的彼岸命题的证明命题的证明 例题欣赏例题欣赏1 1w例例1 1 求证求证:等腰三角形两底角的平分线相等等腰三角形两底角的平分线相等.证明证明:AB=AC(:AB=AC(已知已知),),AB
3、C=ACB(ABC=ACB(等边对等角等边对等角).).又又1=ABC,2=1=ABC,2=ACB(ACB(已知已知),),1=2(1=2(等式性质等式性质).).在在BDCBDC与与CEBCEB中中DCB=EBCDCB=EBC（已知）已知）,BC=CBBC=CB（公共边）公共边）,1=21=2（已证）已证）,BDCCEBBDCCEB（ASAASA）.BD=CE(BD=CE(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等)已知已知:如图如图,在在ABCABC中中,AB=AC,BD,CE,AB=AC,BD,CE是是ABCABC角角平分线平分线.求证求证:BD=CE.:BD=CE.ACBD1E2驶向
4、胜利的彼岸命题的证明命题的证明 我能行我能行1 1w求证求证:等腰三角形两腰上的中线相等等腰三角形两腰上的中线相等.证明证明:AB=AC(AB=AC(已知已知),),ABC=ACB(ABC=ACB(等边对等角等边对等角).).又又CM=AC,BN=CM=AC,BN=AB(AB(已知已知),),CM=BN(CM=BN(等式性质等式性质).).在在BMCBMC与与CNBCNB中中 BC=CBBC=CB（公共边）公共边）,MCB=NBC MCB=NBC（已知）已知）,CM=BNCM=BN（已证）（已证）,BMCCNBBMCCNB（SASSAS）.BM=CN(BM=CN(全等三角形的对应边相等全等三角
5、形的对应边相等)已知已知:如图如图,在在ABCABC中中,AB=AC,BM,CN,AB=AC,BM,CN是是ABCABC两腰上的中线两腰上的中线.求证求证:BM=CN.:BM=CN.ACBMN驶向胜利的彼岸命题的证明命题的证明 我能行我能行2 2w求证求证:等腰三角形两腰上的高相等等腰三角形两腰上的高相等.证明证明:AB=AC(AB=AC(已知已知),),ABC=ACB(ABC=ACB(等边对等角等边对等角).).又又 BP,CQBP,CQ是是ABCABC两腰上的高两腰上的高(已知已知),),BPC=CQB=90 BPC=CQB=900 0(高的高的意义意义).).在在BPCBPC与与CQBC
6、QB中中 BPC=CQBBPC=CQB（已证）（已证）,PCB=QBCPCB=QBC（已证）（已证）,BC=CB BC=CB（公共边）公共边）,BPCCQB BPCCQB（AASAAS）.BP=CQ(BP=CQ(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等)已知已知:如图如图,在在ABCABC中中,AB=AC,BP,CQ,AB=AC,BP,CQ是是ABCABC两腰上的高两腰上的高.求证求证:BP=CQ.:BP=CQ.ACBPQ学学无止境无止境 议一议议一议1 1这里是一个由这里是一个由特殊特殊结结论归纳出论归纳出一般一般结论的结论的一种数学思想方法一种数学思想方法.驶向胜利的彼岸ACBDE1.
7、1.已知已知:如图如图,在在ABCABC中中,AB=AC,AB=AC(1)(1)如果如果CBD=ABC/3,BCE=ACB/3CBD=ABC/3,BCE=ACB/3呢呢?由此你能由此你能得到一个什么结论得到一个什么结论?(2)(2)如果如果CD=AC/3,BE=AB/3CD=AC/3,BE=AB/3呢呢?由此你能得到一个什么由此你能得到一个什么结论结论?你能证明得到的结论吗？你能证明得到的结论吗？等腰三角形的判等腰三角形的判定定 议一议议一议2 2驶向胜利的彼岸前面已经证明了前面已经证明了“等边对等角等边对等角”，反过来，反过来，“等角对等边等角对等边”成立吗成立吗?即即有两个角相等的三角形是
8、等腰三角形有两个角相等的三角形是等腰三角形吗吗?ACB已知已知:如图如图,在在ABCABC中中,B,BC.C.求证求证:AB=AC.:AB=AC.如：作如：作BCBC边上的边上的中线；中线；作作A A的的平分线平分线 作作BCBC边上的高边上的高.几何的几何的三种语言三种语言 议一议议一议3 3驶向胜利的彼岸定理：定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边等角对等边）.ACB在在ABCABC中中B BC C（已知），已知），AB=ACAB=AC（等角对等边）等角对等边）.这又是一个判定这又是一个判定两条线段相等两条线段相等方法之一方法之一.1.如图如图
9、,ABCABC中中,D.E分别是分别是AC.AB上的点上的点,BD与与CE交于交于点点O,给出下列四个条件给出下列四个条件:EBO=DCOEBO=DCO BEO=CDOBEO=CDO BE=CD BE=CD OB=OCOB=OC(1)上述四个条件中上述四个条件中,哪两个条件可判定哪两个条件可判定ABCABC是等腰三角是等腰三角形形(用序号写出所有情形用序号写出所有情形)(2)选择的选择的1小题的一种情形小题的一种情形,证明证明ABCABC是等腰三角形是等腰三角形.B BA AE ED DC CO;2.现有等腰三角形纸片现有等腰三角形纸片,如果能从一个角的顶点出如果能从一个角的顶点出发发,将原纸
10、片一次剪开成两块等腰三角形纸片将原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸片,问此问此时的等腰三角形的顶角的度数时的等腰三角形的顶角的度数?3690108证明命题的证明命题的新思路新思路w 路边苦李路边苦李w 古时候有个人叫王戍，古时候有个人叫王戍，7 7岁那年的某一岁那年的某一天和小朋友在路边玩，看见一棵李子树上天和小朋友在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得把树枝都快压断了，小朋友们的果实多得把树枝都快压断了，小朋友们都跑去摘，只有王戍站着没动。小朋友问都跑去摘，只有王戍站着没动。小朋友问他为何不去摘，他说：他为何不去摘，他说：“树长在路边，如树长在路边，如果李子是甜的果李子是甜的,那么早没了那么早没
11、了,现在李子那么现在李子那么多，肯定李子是苦的，不好吃。多，肯定李子是苦的，不好吃。”小朋友小朋友摘来一尝，李子果然苦的没法吃。摘来一尝，李子果然苦的没法吃。驶向胜利的彼岸开启 智慧学无止境学无止境w小小明说明说,在一个三角形中，在一个三角形中，如果两个角所对的边不相如果两个角所对的边不相等等,那么这两个角也不相等那么这两个角也不相等.w你认为这个结论成立吗你认为这个结论成立吗?w如果成立如果成立,你能证明它吗你能证明它吗?开启 智慧CAB 即在即在ABCABC中中,如果如果ABAC,那么那么BC.学无止境学无止境w小小明是这样想的明是这样想的:w你能理解他的推理过程吗?驶向胜利的彼岸开启 智
12、慧CAB 假设假设B=CB=C,那么根据那么根据“等角对等边等角对等边”得得AB=AC,AB=AC,与已知条件是与已知条件是ABACABAC相矛相矛盾盾因此假设不成立因此假设不成立,原命题成立原命题成立即即BC.BC.反证法反证法w先假设命题的结论先假设命题的结论反面反面成立成立，w然后推导出与定义，公理、已证定理或然后推导出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，已知条件相矛盾的结果，w所以假设不成立所以假设不成立,原命题成立原命题成立w你你可要结识可要结识“反证法反证法”这个新朋友这个新朋友噢噢!开启 智慧反证法是一种重要的数学证明方法反证法是一种重要的数学证明方法.在解决某些问题时
13、常常会有出人意在解决某些问题时常常会有出人意料的作用料的作用.这种证明方法称为这种证明方法称为反证法反证法 (reduction to absurdity)(reduction to absurdity)假设归谬结论初露锋芒初露锋芒w例例1.1.如何证明这个结论如何证明这个结论:w如果如果a a1 1,a,a2 2,a,a3 3,a,a4 4,a,a5 5都是正数都是正数,且且a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4+a+a5 5=1,=1,那么那么,这五个数中至少这五个数中至少有一个大于或等于有一个大于或等于1/5.1/5.用用反证法反证法来证来证:证明证明:假设这五个数假设这
14、五个数全部全部小于小于1/5,1/5,那么这五那么这五个数的和个数的和a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4+a+a5 5就小于就小于1.1.这与已知这与已知这五个数的和这五个数的和a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4+a+a5 5=1=1相矛盾相矛盾.因此因此假设不成立假设不成立,原命题成立原命题成立,即这五个数中至即这五个数中至少有下个大于或等于少有下个大于或等于1/5.1/5.心动 不如行动成功者的摇篮 隋堂练习隋堂练习P91 11.用反证法证明：用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角一个三角形中不能有两个角是直角已知：已知：ABC求证：求证：A、
15、B、C中不能有两个角是直角中不能有两个角是直角证明：证明：假设假设A、B、C中有两个角是直角中有两个角是直角，不妨设不妨设A=B=90，则则A+B+C=90+90+C180这与三角形内角和定理矛盾，这与三角形内角和定理矛盾，所以所以A=B=90不成立不成立所以一个三角形中不能有两个角是直角所以一个三角形中不能有两个角是直角2.用反证法证明用反证法证明:在一个三角形中在一个三角形中,至少有一个内至少有一个内角小于或等于角小于或等于60证明证明:假设假设A,B,CA,B,C是是ABCABC的三个内角的三个内角,且都大于且都大于6060,则则A 60A 60,B 60,B 60,C 60,C 60,
16、A+B+C180A+B+C180;这与三角形的内角和是这与三角形的内角和是180180定理矛盾定理矛盾假设不成立假设不成立在一个三角形中在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于至少有一个内角小于或等于60.隋堂练习隋堂练习P91 1成功者的摇篮知识要点知识要点:结论结论3:等腰三角形两底角的平分线相等等腰三角形两底角的平分线相等.定理定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形有两个角相等的三角形是等腰三角形.简称简称:等角对等边等角对等边.结论结论4:等腰三角形两腰的高线、中线分别相等等腰三角形两腰的高线、中线分别相等.反证法反证法认识你吗认识你吗?回味无穷理解证明的理解证明的必要性必要性和和规范
17、性规范性.理解几何命题证明的理解几何命题证明的方法方法,步骤步骤,格式格式及及注意事注意事项项.你对你对“执果索因执果索因”,“,“由因导果由因导果”理解与运用理解与运用有何进步有何进步.规范性规范性中的中的条理清晰条理清晰,因果相应因果相应,言心有据言心有据的要的要求是否内化为一种技能求是否内化为一种技能.几何的三种语言几何的三种语言融会贯通融会贯通的水平是否有所提高的水平是否有所提高.关注关注知识知识,经验经验,方法的积累和提高方法的积累和提高,是前进的是前进的推进器推进器.你准备如何提高证明命题的能力呢你准备如何提高证明命题的能力呢?小结 拓展结束寄语严格性之于数学家,犹如道德之于人.证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则.下课了!