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1、复变函数的幂级数展开现在学习的是第1页，共33页3.13.1复变函数项级数及其收敛性复变函数项级数及其收敛性v补充：补充：复数项级数复数项级数形如形如 的表达式被称为的表达式被称为复数项级数复数项级数，其中，其中wn是复数。是复数。若若 的前的前n项和项和 有极限，有极限，则称该级数则称该级数收敛收敛，且称此极限值为该无穷级数的和；否则称，且称此极限值为该无穷级数的和；否则称为为发散发散。现在学习的是第2页，共33页收敛的充分必要条件收敛的充分必要条件绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛设设 ，则级数，则级数 收敛的充收敛的充分必要条件是分必要条件是 和和 都收敛，其中都收敛，其中un和和 v
2、n皆为实数。皆为实数。如果如果 是收敛的是收敛的,称级数称级数 是绝对收敛的是绝对收敛的如果如果 是发散的，而是发散的，而 是收敛的是收敛的称级数称级数 是条件收敛的，是条件收敛的，现在学习的是第3页，共33页v复变函数项级数的定义复变函数项级数的定义 设设 是区域是区域D中的复变函数中的复变函数,如下表达如下表达式式称为复变函数项级数称为复变函数项级数,记为记为 ,称称 为级为级数的前数的前n项部分和项部分和.现在学习的是第4页，共33页级数收敛和发散的定义级数收敛和发散的定义 若对于若对于z0 D,极限极限 存在存在,则称级数则称级数 在在z0处处收敛收敛;若极限若极限 不存在不存在,则称
3、级数则称级数 在在z0处发处发散散.点收敛点收敛 若若 收敛，则称级数收敛，则称级数 在在z0处绝对处绝对收敛。收敛。现在学习的是第5页，共33页 若级数若级数 在区域在区域D中所有点收敛，则称级数在中所有点收敛，则称级数在区域区域D中收敛。中收敛。区域收敛区域收敛 对应于区域对应于区域D中不同的点，级数中不同的点，级数 一般收敛于不一般收敛于不同的值。同的值。那么那么f(z)称为级数的称为级数的和函数和函数。假设对应于点假设对应于点z D，级数收敛于，级数收敛于f(z)，即，即现在学习的是第6页，共33页v幂级数的定义幂级数的定义 形如形如 的级数称为以的级数称为以z0为中心的幂级数，为中心
4、的幂级数，常数常数a0,a1,a2,an，称为该幂级数的系数。，称为该幂级数的系数。阿贝尔定理阿贝尔定理 若若 在某点在某点z1处收敛，则该幂级数在满足处收敛，则该幂级数在满足 的圆域内将处处绝对收敛；的圆域内将处处绝对收敛；若若 在某点在某点z1处发散，则该幂级数在满足处发散，则该幂级数在满足 的圆域外处处发散。的圆域外处处发散。现在学习的是第7页，共33页收敛半径与收敛圆收敛半径与收敛圆 根据阿贝尔定理，对于任意幂级数根据阿贝尔定理，对于任意幂级数 总是存在一个圆周总是存在一个圆周 ，使得幂级数在此圆域内处处收敛，在此圆域外则处处发散。使得幂级数在此圆域内处处收敛，在此圆域外则处处发散。圆
5、域圆域 称为幂级数的称为幂级数的收敛圆收敛圆，R称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径。现在学习的是第8页，共33页收敛半径的求法收敛半径的求法DAlembert公式公式Cauchy 公式公式现在学习的是第9页，共33页求求 的收敛半径的收敛半径R R。例例3.13.1解：设解：设其系数其系数对于对于t t而言，收敛半径而言，收敛半径对于对于z z而言，收敛半径而言，收敛半径现在学习的是第10页，共33页例例3.3求求 的收敛半径的收敛半径R。解：解：例例3.2求求 的收敛半径的收敛半径R。解：解：现在学习的是第11页，共33页幂级数在收敛圆内的性质幂级数在收敛圆内的性质（）可导性，求导后收
6、敛半径不变）可导性，求导后收敛半径不变（）解析性）解析性（）可积性，积分后收敛半径不变）可积性，积分后收敛半径不变现在学习的是第12页，共33页例例3.4 分别求出幂级数分别求出幂级数 和和 在收在收敛圆内的和函数。敛圆内的和函数。解：解：现在学习的是第13页，共33页3.23.2泰勒级数展开泰勒级数展开vTaylor定理定理设函数设函数 f(z)以以z0的领域的领域U(z0,R)中解析中解析，那么，那么f(z)在该领域在该领域中可展开为如下幂级数：中可展开为如下幂级数：z0zCRCRRR现在学习的是第14页，共33页证明：证明：现在学习的是第15页，共33页例例3.5将将 f(z)=sin
7、z在在z=0点的点的Taylor级数展开级数展开解：解：现在学习的是第16页，共33页例例3.6将将 f(z)=ln(1+z)在在z=0点的点的Taylor级数展开级数展开解：解：现在学习的是第17页，共33页例例3.7将将 f(z)=arctan z在在z=0处展开成处展开成Taylor级数级数解：设解：设2）当k为偶数时1）当k为奇数时现在学习的是第18页，共33页举例举例函数函数 f(z)=ez 在在z=0点的点的Taylor级数展开级数展开函数函数 f(z)=cos z 在在z=0点的点的Taylor级数展开级数展开现在学习的是第19页，共33页v补充：补充：问题的提出问题的提出已知结
8、果已知结果：当：当 f(z)在圆在圆|z-z0|R内解析内解析，Taylor定理告定理告诉我们，诉我们，f(z)必可展开成幂级数。必可展开成幂级数。问题是问题是：当：当 f(z)在圆在圆|z-z0|R1外收敛。外收敛。如果如果R1R2，那么双边幂级数处处发散。，那么双边幂级数处处发散。如果如果R1R2，那么双边幂级数就在环状域，那么双边幂级数就在环状域 R1|z-z0|R2 内收敛，所以内收敛，所以 R1|z-z0|R2给出了双边幂级数给出了双边幂级数的环状收敛域，称为收敛环。的环状收敛域，称为收敛环。现在学习的是第22页，共33页正幂部分正幂部分负幂部分负幂部分R1R2z0R2z0|z-z0
9、|R2R1z0R1|z-z0|收敛环收敛环R1|z-z0|R2现在学习的是第23页，共33页vLaurent定理定理设函数设函数 f(z)在以在以z0为中心的圆环区域为中心的圆环区域 R1|z-z0|R2 内内解析，则解析，则f(z)可在该环域内展开为如下双边级数：可在该环域内展开为如下双边级数：zCR2CR1R1R2z0C现在学习的是第24页，共33页证明：证明：1)沿C1积分时，2)沿C2积分时，现在学习的是第25页，共33页令k=-n-1现在学习的是第26页，共33页注意注意Laurent级数中的级数中的z0点可能是奇点，也可能不是奇点点可能是奇点，也可能不是奇点Laurent级数展开的
10、唯一性级数展开的唯一性现在学习的是第27页，共33页例例3.8试求出函数试求出函数 在下列环域中的洛朗级数。在下列环域中的洛朗级数。（1）（2）解解（1）现在学习的是第28页，共33页（2）Laurent级数展开的唯一性级数展开的唯一性展开区域（展开区域（2）函数函数现在学习的是第29页，共33页课堂练习课堂练习函数函数 f(z)=sin z/z 在在0|z|内内的的Laurent级数展开级数展开现在学习的是第30页，共33页v孤立奇点孤立奇点若若z0点是点是函数函数 f(z)的的奇点，但奇点，但f(z)在在z0的某一个去心邻域内的某一个去心邻域内0 zz0 R解析，则称点解析，则称点z0是函
11、数是函数f(z)的的孤立奇点孤立奇点。孤立奇点的孤立奇点的Laurent级数展开级数展开在区域在区域 0|z-z0|R 内的单值解析函数内的单值解析函数 f(z)可展开成可展开成其中正幂部分其中正幂部分是该级数的解析部分是该级数的解析部分是该级数的主要部分是该级数的主要部分负幂部分负幂部分现在学习的是第31页，共33页可去奇点可去奇点：主要部分：主要部分(负幂项负幂项)不存在不存在m阶极点阶极点：主要部分：主要部分(负幂项负幂项)有有m项项本性奇点：本性奇点：主要部分主要部分(负幂项负幂项)有无穷多有无穷多项项孤立奇点的分类孤立奇点的分类现在学习的是第32页，共33页孤立奇点的等价命题孤立奇点的等价命题现在学习的是第33页，共33页