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1、自自动控制原理控制原理电子子教案控制系教案控制系统数学数学模型模型第一节第一节 概论概论控制系统数学模型的定义揭示系统各变量内在联系的数学表达式和关系图表数学模型的类型静态特性模型和动态特性模型图，表，表达式图 ：方框图，信号流图，特性关系图表达式：微分方程，传递函数，频率特性函数，差分方程 数学模型的建立原则分清主次，合理简化，选定类型，整理归纳数学模型的建立方法分析法：据物理化学规律推导实验法：据实验数据拟合第二节第二节 机理分析建模方法机理分析建模方法X2.2.1 建立模型的方法X2.2.2 建立模型举例X2.2.2.1 机械系统X2.2.2.2 电气系统X2.2.2.3 液力系统X2.
2、2.2.4 热力系统X2.2.3 物理系统的相似性2.2.1 建立模型的步骤建立模型的步骤划分系统元件,确定各元件的输入和输出根据物理化学定律列写各元件的动态方程式,为使问题简化可忽略次要因素 物理化学定律例如:牛顿第一定律,能量守恒定律,基尔霍夫定律,欧姆定律，道尔顿定律消除元件动态方程式中的中间变量,推导元件的输入输出关系式整理出系统的输入输出关系式2.2.2.1 建模举例建模举例-机械系统机械系统 1).弹簧-质量-阻尼系统已知:弹簧系数 K ,质量 M ,外力F(t),阻尼系数 f.求:系统动态方程式.解:根据牛顿第二定律 整理成规范形式 KF(t)y(t)fM2.2.2.1 建模举例
3、建模举例-机械系统机械系统 2).弹簧-阻尼系统已知:弹簧系数 K ,外力 x,阻尼系数 f,位移 y.求:系统动态方程式.解:根据牛顿第三定律 整理成规范形式 Kfyx2.2.2.1 建模举例建模举例-机械系统机械系统 3).无固定的弹簧-阻尼-质量系统已知:弹簧系数 K ,位移 x,阻尼系数 f,位移 y,质量 M.求:系统动态方程式.解:根据牛顿第二定律 整理成规范形式KfyxM2.2.2.1 建模举例建模举例-机械系统机械系统 4).机械转动系统已知:转动惯量 J,转矩 T,摩擦系数 f,转角.求:系统动态方程式.解:根据牛顿第二定律 TfJ2.2.2.2 建模举例建模举例-电气系统电
4、气系统 1).RLC 电路已知:RLC 电路如图.求:以U i为输入，U o为输出的系统动态方程式.解:根据基尔霍夫定律消去中间变量，UiUoCLR2.2.2.2 建模举例建模举例-电气系统电气系统 2).RC 串并联电路已知:RC 电路如图.求:以U i为输入，U o为输出的系统动态方程式.解:应消去中间变量 I1CUiUoR1R2I2I2.2.2.2 建模举例建模举例-电气系统电气系统 2).RC 串并联电路(续)2.2.2.3 建模举例建模举例-液力系统液力系统 1).单容水箱已知:流入量 Qi,流出量 Qo,截面 A;液位 H 求:以 Qi 为输入，H 为输出的系统动态方程式.解:根据
5、物质守恒定律 或 中间变量为 Qo,据流量公式 线性化处理:规范化 QiQoAH 或2.2.2.3 建模举例建模举例-液力系统液力系统 2).双容水箱已知:流量 Q1,Q2,Q3;截面 F1,F2;液位 H1,H2;液阻 K1,K2 求:以Q 1为输入，H2 为输出的系统动态方程式.F1H1F2H2K1K2Q3Q2Q12.2.2.3 建模举例建模举例-液力系统液力系统 2).双容水箱(续1)解:根据物质守恒定律 和流量近似公式 中间变量为 Q2,Q3,H1,由(2),(4)或2.2.2.3 建模举例建模举例-液力系统液力系统 2).双容水箱(续2)由(1)(5)得由(3),(5),(6)2.2
6、.2.3 建模举例建模举例-液力系统液力系统2).双容水箱(续3)2.2.2.4 建模举例建模举例-热力系统热力系统 1).绝热加热过程已知:进热量 Qi,出热量 Qo,工质流量 G,温度,比热 Cp，器内质量 M 求:以 Qi 为输入 为输出的系统动态方程式.解:根据能量守恒定律 GQiMCpQo中间变量为 Qo,2.2.2.4 建模举例建模举例-热力系统热力系统 2).加热装置已知:进热量 hi,工质流量 q,进口温度i,出口温度 o,环境温度c,热容 C，进口工质比热 Cp，热阻 R 求:绝热时和不加热时的系统动态方程式.解:根据能量守恒定律 o hiCCpCp,q,i c绝热且不加热时
7、绝热时2.2.3 物理系统的相似性物理系统的相似性X物理系统遵循基本的物理定律,不同的物理系统质同形不同,有相似性.X上述四种物理系统的相似性:物理系统 势 流 阻 容 感电气系统 U I R C L 液力系统 h q R A 热力系统 Q R C 机械系统 F v f K mX利用物理系统的相似性,可使机理分析建模工作大为简化第三节第三节 拉氏变换与传递函数拉氏变换与传递函数2.3.1 拉普拉斯(Laplace)变换2.3.1.1 定义2.3.1.2 典型函数的拉氏变换2.3.1.3 拉氏变换的性质与定理2.3.1.4 用拉氏变换法求解微分方程2.3.2 传递函数2.3.2.1 定义2.3.
8、2.2 传递函数的求取方法2.3.2.3 传递函数的性质2.3.1 2.3.1 拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)(Laplace)变换变换2.3.1.1 定义拉氏变换的定义 其中 x(t)-原函数,X(s)-象函数,复变量 s=+j 拉氏反变换的定义 2.3.1.2 典型函数的拉氏变换1)单位阶跃函数的拉氏变换 2）单位斜坡函数的拉氏变换2.3.1 拉普拉斯(Laplace)变换或2.3.1.2 典型函数的拉氏变换(续)3)指数函数的拉氏变换2.3.1.2 典型函数的拉氏变换(续)4）正弦函数的拉氏变换实际中的拉氏变换不是推算而是查拉氏变换表2.3.1.3 拉氏变换的性质与定理1)线性定理2
9、)微分定理3)积分定理4)终值定理5)初值定理6)迟延定理7)位移定理8)卷积定理2.3.1.3 拉氏变换的性质与定理1)线性定理设 (下同)2)微分定理 2.3.1.3 拉氏变换的性质与定理2)微分定理（续）各初值为0时3)积分定理2.3.1.3 拉氏变换的性质与定理3)积分定理（续）各初值为0时2.3.1.3 拉氏变换的性质与定理4）终值定理5)初值定理6)迟延定理(实平移定理）2.3.1.3 拉氏变换的性质与定理7)位移定理(复平移定理）8)卷积定理2.3.1.4 用拉氏变换法求解微分方程(1)1)求解步骤对微分方程进行拉氏变换求系统输出变量表达式将输出变量表达式展开为部分分式查表求各分
10、式的拉氏反变换整理出方程解2)部分分式展开法通分法（适用于简单函数）通分法（适用于简单函数）例：2.3.1.4 用拉氏变换法求解微分方程(2)留数法（适用于复杂函数留数法（适用于复杂函数)设 零点:极点:(1)当F(s)只有相异实极点时 根据复变函数留数定理 2.3.1.4 用拉氏变换法求解微分方程(3)例:求 的部分分式 解:(2)当F(s)含有共轭复极点时,2.3.1.4 用拉氏变换法求解微分方程(4)根据上述方程，令实部=实部，虚部=虚部，可解出a1，a2例:求 的部分分式解:虚部=虚部:实部=实部:2.3.1.4 用拉氏变换法求解微分方程(5)化简:求解得:(3)当F(s)含有重极点时
11、,设p1r为重极点 2.3.1.4 用拉氏变换法求解微分方程(6)例:求 的部分分式解:2.3.1.4 用拉氏变换法求解微分方程(7)3)求解微分方程举例已知:求:解:对微分方程进行拉氏变换 令2.3.1.4 用拉氏变换法求解微分方程(8)2.3.2 传递函数2.3.2.1 定义文字定义:零初始条件下系统输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比数学式定义:设输入为r(t),输出为 y(t),则系统的传递函数为2.3.2.2 传递函数的求取方法1)对微分方程进行拉氏变换(零初始条件)2)对脉冲响应进行拉氏变换3)实验建模方法(详见2.5 节)2.3.2.2 传递函数的求取方法1)1)对微分方程进行拉氏变换对微分方程进行拉氏变换(零初始条件零初始条件)系统微分方程:零初始条件拉氏变换:整理得传递函数:规范形式:A(s)为首一多项式,a0=1 汇报完毕！谢谢汇报完毕！谢谢！