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1、电磁场课件镜像法电轴法电容现在学习的是第1页，共27页泊松方程泊松方程所有静电场问题的求解都可归结为在一定条件下寻求泊松方程或拉普所有静电场问题的求解都可归结为在一定条件下寻求泊松方程或拉普拉斯方程的解的过程。拉斯方程的解的过程。(解二阶偏微分方程解二阶偏微分方程)微微分分方方程程边边界界条条件件外边界条件外边界条件内分界条件内分界条件 环路定律环路定律高斯定律高斯定律静静电电场场定定解解问问题题1.4 静电场定解问题（边值问题）静电场定解问题（边值问题）静静电电场场定定解解问问题题静静电电场场定定解解问问题题现在学习的是第2页，共27页电磁场问题求解电磁场问题可以分为电磁场分析（正问题）、逆
2、问题（含优化设计问题）和电磁场工程三个部分。求解电磁场问题的方法，归纳起来可分为三大类，分别是解析法、数值法和半解析数值法。数值计算方法包括有限元法（FEM）、时域有限差分法（FDTD）、矩量法（MOM）和边界元法等；解析法包括积分法、分量变量法、镜像法、电轴法等 ；半解析数值法是解析法和数值法的综合。现在学习的是第3页，共27页1.7 1.7 镜像法与电轴法镜像法与电轴法1.7.1 1.7.1 镜像法镜像法（导板及无穷远处）（导板及无穷远处）（除（除 q 所在点外的区域）所在点外的区域）（S S 为包围为包围 q 的闭合面）的闭合面）1.1.接地无限大导体平面上方点电荷的电场接地无限大导体平
3、面上方点电荷的电场镜像法镜像法:用用虚设虚设的电荷分布的电荷分布等效等效替代媒质分界面上复杂电荷分布替代媒质分界面上复杂电荷分布,虚设电荷虚设电荷的个数、大小与位置使场的解答满足的个数、大小与位置使场的解答满足唯一性定理唯一性定理。2.2.正负点电荷在上半空间产生的电场正负点电荷在上半空间产生的电场除除 q 所在点外的区域所在点外的区域 中间对称面处中间对称面处（S S 为包围为包围q 的闭合面）的闭合面）可以用电荷可以用电荷-q-q作为作为+q+q的镜像，代替平面导体的感应电荷作用。的镜像，代替平面导体的感应电荷作用。现在学习的是第4页，共27页地面上感应电荷的总量为地面上感应电荷的总量为（
4、方向指向地面）（方向指向地面）例例1.7.1 试求空气中点电荷试求空气中点电荷 q 在地面引起的感应电荷分布。在地面引起的感应电荷分布。解：设点镜像电荷为解：设点镜像电荷为 -q 图图1.7.2 地面电荷分布地面电荷分布现在学习的是第5页，共27页2.球面导体的镜像球面导体的镜像点电荷位于接地导体球外的边值问题点电荷位于接地导体球外的边值问题（除除q点外的空间点外的空间)设镜像电荷设镜像电荷 如图，球面电位如图，球面电位 图图1.7.3 点电荷对接地导体球的镜像点电荷对接地导体球的镜像现在学习的是第6页，共27页将将 r1,r2 代入方程代入方程 ，得，得联立求解联立求解得到得到镜像电荷位置镜
5、像电荷位置镜像电荷大小镜像电荷大小现在学习的是第7页，共27页球外任一点球外任一点 P 的电位与电场为的电位与电场为图图1.7.5 球外的电场分布球外的电场分布镜像电荷放在当前求解的场域外。镜像电荷放在当前求解的场域外。镜像电荷等于负的感应电荷总量。镜像电荷等于负的感应电荷总量。图图1.7.4 球外的电场计算球外的电场计算现在学习的是第8页，共27页思考：思考：不接地金属球附近放置点电荷不接地金属球附近放置点电荷q的电场分布。的电场分布。边值问题：边值问题：（除（除q点外的空间点外的空间)通量为零通量为零（大小相等）大小相等）球面等位（球面等位（位于球心）位于球心）思路：思路：不接地金属球的镜
6、像不接地金属球的镜像点电荷位于不接地导体点电荷位于不接地导体球附近的场图球附近的场图现在学习的是第9页，共27页3.不同介质分界面的镜像不同介质分界面的镜像根据惟一性定理可得电位边值问题，即边界条件：根据惟一性定理可得电位边值问题，即边界条件：和和解得解得现在学习的是第10页，共27页1.7.2 电轴法电轴法（Electric Axis Method）(导线以外的空间导线以外的空间)边值问题边值问题长直平行双传输线长直平行双传输线分析实际长直平行双传输线附近的电场分析实际长直平行双传输线附近的电场？用置于电轴上的用置于电轴上的等效等效线电荷线电荷,来代替来代替圆柱导体面圆柱导体面上分布电荷上分
7、布电荷,从而求从而求得电场的方法得电场的方法,称为电轴法。称为电轴法。现在学习的是第11页，共27页1.理想两根细导线产生的电位理想两根细导线产生的电位以以 y 轴为参考电位轴为参考电位，C=0，则则 令：令：const,const,等位线方程等位线方程理想两根带电细导线理想两根带电细导线现在学习的是第12页，共27页实际圆柱导体传输线实际圆柱导体传输线当当K取不同值时，得到不同半径的偏心圆族。取不同值时，得到不同半径的偏心圆族。等效线电荷的位置为：等效线电荷的位置为：整理后，整理后，等位线方程等位线方程圆心坐标圆心坐标圆半径圆半径理想细导线的等位线理想细导线的等位线尝试寻找尝试寻找（b、a、
8、h）数值之间的关系数值之间的关系：等位线圆族中，必能找到与实际圆柱导体表面重合的圆。等位线圆族中，必能找到与实际圆柱导体表面重合的圆。现在学习的是第13页，共27页 根据根据 ，得到，得到 Ex 和和 Ey 分量分量E 线方程线方程平行传输线附近的电位和电场平行传输线附近的电位和电场现在学习的是第14页，共27页电位云势图电位云势图电场云势图电场云势图现在学习的是第15页，共27页已知平行传输线端压为已知平行传输线端压为U0,试求空间电位分布。试求空间电位分布。解：解：确定电轴的位置确定电轴的位置所以所以设电轴线电荷设电轴线电荷 ，任一点电位，任一点电位图图1.7.19 电压为电压为U0的传输
9、线的传输线 现在学习的是第16页，共27页例例1.7.4 试决定图示不同半径平行长直导线的电轴位置。试决定图示不同半径平行长直导线的电轴位置。图图1.7.17 不同半径传输线的电轴位置不同半径传输线的电轴位置解：求得解：求得h1和和h2，就可以确定等效电轴位置就可以确定等效电轴位置现在学习的是第17页，共27页镜像法（电轴法）小结镜像法（电轴法）小结 1.镜镜像法（电轴法）的理论基础是：像法（电轴法）的理论基础是：2.镜像法（电轴法）的实质是：镜像法（电轴法）的实质是：3.镜像法（电轴法）的关键是：镜像法（电轴法）的关键是：镜像电荷（电轴）只能放在待求场域以外的区域。叠加镜像电荷（电轴）只能放
10、在待求场域以外的区域。叠加时，要注意场的适用区域。时，要注意场的适用区域。用虚设的镜像电荷（电轴）替代未知电荷的分布，使用虚设的镜像电荷（电轴）替代未知电荷的分布，使计算场域为无限大均匀媒质；计算场域为无限大均匀媒质；静电场惟一性定理；静电场惟一性定理；确定镜像电荷（电轴）的个数、大小及位置；确定镜像电荷（电轴）的个数、大小及位置；4.应用镜像法（电轴法）解题时，注意：应用镜像法（电轴法）解题时，注意：现在学习的是第18页，共27页1.8.1 电容器的电容电容器的电容1.8 电容及部分电容电容及部分电容定义：定义：单位：单位：电容只与两导体的几何尺寸、相互位置及周围的介质有关。电容只与两导体的
11、几何尺寸、相互位置及周围的介质有关。工程上的工程上的电容器电容器：电力电容器、电子线路常用小电容器。电力电容器、电子线路常用小电容器。电容的计算思路：电容的计算思路：设设 电容表征单位电压下导体能够电容表征单位电压下导体能够容纳电荷的能力容纳电荷的能力。现在学习的是第19页，共27页解：设内导体的电荷为解：设内导体的电荷为 q,则则同心导体间的电压同心导体间的电压球形电容器的电容球形电容器的电容当当时时（孤立导体球的电容）（孤立导体球的电容）球形电容器球形电容器试求球形电容器的电容：试求球形电容器的电容：单个孤立导体的电容单个孤立导体的电容孤立导体的电容：指该导体相对与无限远处另一导体之间的电
12、容。孤立导体的电容：指该导体相对与无限远处另一导体之间的电容。通常，电容器都是由两个导体组成的独立系统。通常，电容器都是由两个导体组成的独立系统。现在学习的是第20页，共27页1.8.2 1.8.2 多导体系统、部分电容多导体系统、部分电容1.1.若已知导体的电荷，求电位和电位系数若已知导体的电荷，求电位和电位系数中的其余带电体，与外界无任何联系，即中的其余带电体，与外界无任何联系，即 静电独立系统静电独立系统D线从这个系统中的带电体发出，并终止于该系统线从这个系统中的带电体发出，并终止于该系统 线性、线性、多导体多导体(三个及以上导体三个及以上导体)组成的系统；组成的系统；部分电容概念部分电
13、容概念以接地导体为电位参考点以接地导体为电位参考点,导体的电位与各导体上的电荷的关系为导体的电位与各导体上的电荷的关系为接地三导体静电独立系统接地三导体静电独立系统现在学习的是第21页，共27页以此类推以此类推(n+1)个多导体系统只有个多导体系统只有 n 个电位线性独立方程个电位线性独立方程，即，即电位系数，电位系数，表明各导体电荷对各导体电位的贡献；表明各导体电荷对各导体电位的贡献；自有电位系数自有电位系数，表明导体，表明导体上电荷对导体上电荷对导体电位的贡献；电位的贡献；互有电位系数互有电位系数，表明导体，表明导体上的电荷对导体上的电荷对导体电位的贡献电位的贡献 ；写成矩阵形式为写成矩阵
14、形式为（静电独立系统方程静电独立系统方程）现在学习的是第22页，共27页2.2.已知带电导体的电位，求电荷。已知带电导体的电位，求电荷。多导体系统中电位、电荷之间的关系，也可用电荷为电位的多导体系统中电位、电荷之间的关系，也可用电荷为电位的函数来表示。函数来表示。写成矩阵形式为：写成矩阵形式为：现在学习的是第23页，共27页 3.已知带电导体之间的已知带电导体之间的电压差电压差 Ukn，求电荷。，求电荷。（矩阵形式矩阵形式）式中：式中：C C部分电容，它表明各导体间电压对各导体电荷的贡献；部分电容，它表明各导体间电压对各导体电荷的贡献；（互有部分电容互有部分电容）；）；（自有部分电容自有部分电
15、容）。）。所有部分电容都是正值，且仅与导体的形状、尺寸、相互位置及介质所有部分电容都是正值，且仅与导体的形状、尺寸、相互位置及介质的的 值有关；值有关；互有部分电容互有部分电容 ，即，即为对称阵；为对称阵；部分电容是否为零部分电容是否为零,取决于两导体之间有否电力线相连。取决于两导体之间有否电力线相连。现在学习的是第24页，共27页例例1.8.2 1.8.2 试计算考虑大地影响时，两线传输线的各部分电容试计算考虑大地影响时，两线传输线的各部分电容及二线输电线的等效电容。已知及二线输电线的等效电容。已知 如图示：如图示：解解:部分电容个数部分电容个数,如图如图 (b)(b)。线电荷与电位的关系为
16、线电荷与电位的关系为图图1.8.4 1.8.4 两线输电线及其电容网络两线输电线及其电容网络 静电网络与等效电容静电网络与等效电容在在(n+1)个导体构成的静电独立系统中，共有个导体构成的静电独立系统中，共有n(n+1)/2个部分电容，这些电容构成个部分电容，这些电容构成了电容网络。可以把了电容网络。可以把静电场静电场问题转变为问题转变为电容电路电容电路问题。问题。现在学习的是第25页，共27页 令令则则利用镜像法，输电线两导体的电位利用镜像法，输电线两导体的电位两线输电线对大地的镜像两线输电线对大地的镜像现在学习的是第26页，共27页联立解之得联立解之得二线间的等效电容：二线间的等效电容：两线输电线及其电容网络两线输电线及其电容网络现在学习的是第27页，共27页