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1、2.4 镜镜 象象 法法Method of images 根据前面的讨论知道：在所考虑的区域内没有根据前面的讨论知道：在所考虑的区域内没有自由电荷分布时，可用自由电荷分布时，可用Laplaces equation求解场分求解场分布；在所考虑的区域内有自由电荷分布时，用布；在所考虑的区域内有自由电荷分布时，用Poissons equation 求解场分布。求解场分布。如果在所考虑的区域内只有一个或者几个点电如果在所考虑的区域内只有一个或者几个点电荷，区域边界是导体或介质界面，这类问题又如何荷，区域边界是导体或介质界面，这类问题又如何求解？这就是本节主要研究的：解决这类问题的一求解？这就是本节主要
2、研究的：解决这类问题的一种特殊方法种特殊方法 称为镜象法。称为镜象法。1、镜象法的基本问题、镜象法的基本问题 在点电荷附近有导体或介质存在时，空间的静电场是由点在点电荷附近有导体或介质存在时，空间的静电场是由点电荷和导体的感应电荷或介质的束缚电荷共同产生的。电荷和导体的感应电荷或介质的束缚电荷共同产生的。在所求的场空间中，导体的感应电荷或介质的极化电荷对在所求的场空间中，导体的感应电荷或介质的极化电荷对场点而言能否用场空间以外的区域（导体或介质内部）某个或场点而言能否用场空间以外的区域（导体或介质内部）某个或几个假想的电荷来代替呢？几个假想的电荷来代替呢？光学成像理论给我们的启发：当我们把光学
3、成像理论给我们的启发：当我们把点电荷作为物点电荷作为物，把，把导体或介质界面作为面镜，那么导体或介质界面作为面镜，那么导体的感应电荷或介质的极化导体的感应电荷或介质的极化电荷就可作为我们所说的象电荷就可作为我们所说的象，然后把，然后把物和象在场点处的贡献迭物和象在场点处的贡献迭加加起来，就是我们讨论的结果。起来，就是我们讨论的结果。2、镜象法的理论基础镜象法的理论基础 镜象法的理论基础是唯一性定理。其实质是在所研究的场域镜象法的理论基础是唯一性定理。其实质是在所研究的场域外的适当地方，用实际上不存在的外的适当地方，用实际上不存在的“象电荷象电荷”来代替真实的导来代替真实的导体感应电荷或介质的极
4、化电荷对场点的作用。在代替的时候，必体感应电荷或介质的极化电荷对场点的作用。在代替的时候，必须保证原有的场方程、边界条件不变，而象电荷的大小以及所外须保证原有的场方程、边界条件不变，而象电荷的大小以及所外的位置由的位置由Poissons equation or Laplaces equation 和边界条件决定。和边界条件决定。这里要注意几点：这里要注意几点：a)唯一性定理要求所求电势必须满足原有电荷分布所满足的唯一性定理要求所求电势必须满足原有电荷分布所满足的Poissons equation or Laplaces equation，即，即所研究空间的泊松方所研究空间的泊松方程不能被改变（
5、即自由点电荷位置、大小不能变）。程不能被改变（即自由点电荷位置、大小不能变）。因此，因此，做替做替代时，假想电荷必须放在所求区域之外。代时，假想电荷必须放在所求区域之外。在唯一性定理保证下，在唯一性定理保证下，采用试探解，只要保证解满足泊松方程及边界条件即是正确解。采用试探解，只要保证解满足泊松方程及边界条件即是正确解。b)b)由于象电荷代替了真实的感应电荷或极化电荷的作用，因由于象电荷代替了真实的感应电荷或极化电荷的作用，因此放置象电荷后，就认为原来的真实的导体或介质界面不存在。此放置象电荷后，就认为原来的真实的导体或介质界面不存在。也就是把整个空间看成是无界的均匀空间。并且其介电常数应是也
6、就是把整个空间看成是无界的均匀空间。并且其介电常数应是所研究场域的介电常数。（实际是通过边界条件来确定假想电荷所研究场域的介电常数。（实际是通过边界条件来确定假想电荷的大小和位置）。的大小和位置）。c)c)一旦用了假想（等效）电荷，不再考虑原来的电荷分布。一旦用了假想（等效）电荷，不再考虑原来的电荷分布。d)d)象电荷是虚构的，它只在产生电场方面与真实的感应电荷象电荷是虚构的，它只在产生电场方面与真实的感应电荷或极化电荷有等效作用。而其电量并不一定与真实的感应电荷或或极化电荷有等效作用。而其电量并不一定与真实的感应电荷或真实的极化电荷相等，不过在某些问题中，它们却恰好相等。真实的极化电荷相等，
7、不过在某些问题中，它们却恰好相等。e)e)镜象法所适应的范围是：镜象法所适应的范围是：所求区域有少许几个点电荷，所求区域有少许几个点电荷，它产生的感应电荷一般可以用假想点电荷代替；它产生的感应电荷一般可以用假想点电荷代替；导体或介质的导体或介质的边界面必是简单的规则的几何面（球面、柱面、平面）。边界面必是简单的规则的几何面（球面、柱面、平面）。3、镜象法的具体应用、镜象法的具体应用 用镜象法解题大致可按以下步骤进行用镜象法解题大致可按以下步骤进行：a)正确写出电势应满足的微分方程及给定的边界条件；正确写出电势应满足的微分方程及给定的边界条件；（坐标系选择仍然根据边界形状来定）坐标系选择仍然根据
8、边界形状来定）b)根据给定的边界条件计算象电荷的电量和所在位置；根据给定的边界条件计算象电荷的电量和所在位置；c)由已知电荷及象电荷写出势的解析形式；由已知电荷及象电荷写出势的解析形式；d)根据需要要求出场强、电荷分布以及电场作用力、根据需要要求出场强、电荷分布以及电场作用力、电容等。电容等。镜像法往往比分离变量法简单，但它只镜像法往往比分离变量法简单，但它只能用于一些特殊的边界情况。能用于一些特殊的边界情况。点电荷与平面导体点电荷与平面导体(a)Q Q(b)Q Q(c)Q Q点电荷与球形导体点电荷与球形导体Q Qo(d)(e)oQ Q点电荷的镜点电荷的镜像像F各种简单边界的组合作为边界各种简
9、单边界的组合作为边界(c)Q Q(a)Q Q(b)Q QF线电荷与平面导体线电荷与平面导体(a)(b)(c)F线电荷与圆柱形导体线电荷与圆柱形导体o(a)(b)o线电荷的镜线电荷的镜像像导体上的感应电荷密度为：导体上的感应电荷密度为：（1）镜）镜像像电荷与导体上的感应电荷不一定相等。电荷与导体上的感应电荷不一定相等。（2）由镜）由镜像像法求出电势分布以后，由上式可求感应法求出电势分布以后，由上式可求感应F平面与圆柱形边界的组合作为边界平面与圆柱形边界的组合作为边界电荷电荷(a)(b)(c)电偶极子的镜电偶极子的镜像像(b)(a)p(c)pp(d)po(e)p(f)op注意：注意：镜镜像电荷的位
10、置由边界形状决定，与电量像电荷的位置由边界形状决定，与电量及界面性质无关。及界面性质无关。应用举例1.接地无限大平面导体板附近有一点电荷，接地无限大平面导体板附近有一点电荷，求空间电势。求空间电势。解：根据唯一性定理左半空解：根据唯一性定理左半空间间右半空右半空间间，Q在（在（0，0，a）点，）点，电势满足泊松方程。电势满足泊松方程。边边界上界上设电设电量量为为，位置位置为为（0，0，）从物理问题的对称性和边界条件考虑，设想在导体板从物理问题的对称性和边界条件考虑，设想在导体板左左与电荷与电荷Q对对称的位置上放一个假想电荷称的位置上放一个假想电荷Q，然后把板抽去。，然后把板抽去。这样，没有改变
11、这样，没有改变所考虑空间的电荷分布（即没有改变电势服从的泊松方程）所考虑空间的电荷分布（即没有改变电势服从的泊松方程）QQ/zPrra由由边边界条件确定界条件确定和和、唯一解是唯一解是 因因为为象象电电荷荷在在左左半半空空间，所以舍去正号间，所以舍去正号 解解讨论：讨论：（a）导体面上感应电荷分布）导体面上感应电荷分布（b）电电荷荷Q 产产生的生的电场电场的的电电力力线线全部全部终终止在止在导导体面上体面上 它与无它与无导导体体时时，两个等量异号，两个等量异号电电荷荷产产生的生的电场电场在在 右半空右半空间间完全相同。完全相同。（c）与与 位置位置对对于于导导体板体板镜镜象象对对称，故称，故这
12、这种方法称种方法称 为镜为镜象法（又称象法（又称电电象法）象法）（d）导体对电荷）导体对电荷Q 的作用力相当两点电荷间的作用力的作用力相当两点电荷间的作用力导体板上部空导体板上部空间的电场可以间的电场可以看作原电荷与看作原电荷与镜象电荷共同镜象电荷共同激发的电场。激发的电场。场点场点P的电势的电势导体板上的导体板上的感应电荷确感应电荷确实可以用板实可以用板下方一个假下方一个假想电荷想电荷Q代代替。替。可以看出，引入象电荷取代感应电荷，的确是可以看出，引入象电荷取代感应电荷，的确是一种求解泊松方程的简洁方法。一种求解泊松方程的简洁方法。镜像法所解决的问题中最常见的是导体表面作为边镜像法所解决的问
13、题中最常见的是导体表面作为边界的情况，但也可用于绝缘介质分界面的场问题。界的情况，但也可用于绝缘介质分界面的场问题。例例2设电容率分别为设电容率分别为1和和2 2的两种均匀的两种均匀介质，以无限大平面为界。在介质介质，以无限大平面为界。在介质1 1中有一点电荷中有一点电荷Q Q，求空间电势分布。，求空间电势分布。解：解：先考虑先考虑介质介质1 1 中的中的电势，设想将下半空间换成电势，设想将下半空间换成与上半空间一样，并在与上半空间一样，并在z=-a处有处有Q的像电荷的像电荷Q来代替分界面上极化电荷对上半空间场的影响。来代替分界面上极化电荷对上半空间场的影响。则则在在Z0的区域，空间一点的电势
14、为的区域，空间一点的电势为Q Q介质介质1介质介质2a-aQ Qzx(1)再考虑介质再考虑介质2中的电势中的电势2，这时我们不能用上面的像电，这时我们不能用上面的像电荷荷Q来计算来计算2区域内的电势。这是因为，按照电像法，区域内的电势。这是因为，按照电像法，像像电荷必须在所考虑的区域之外电荷必须在所考虑的区域之外。所以，我们现在把在所以，我们现在把在2区域外的电荷区域外的电荷Q及其引起的极化电及其引起的极化电荷合起来，用荷合起来，用2区域外的一个像电荷区域外的一个像电荷Q来统一考虑。设来统一考虑。设z0上半空间的介质上半空间的介质1全部换为介质全部换为介质2，并在，并在z=b处有一处有一电荷电
15、荷Q，则，则z R0 处处有一点有一点电电荷荷 Q，求空，求空间间各点各点电势电势。球坐标系球坐标系PROZQQ/rr（2）由）由边边界条件确定界条件确定和和设设 PR0OZ因因 任意的任意的解得解得 ，Q发发出的出的电电力力线线一部分会聚到一部分会聚到导导体球体球面上，剩余面上，剩余传传到无到无穷远穷远。（3）讨论讨论：球面感球面感应电应电荷分布荷分布 导导体球接地后，感体球接地后，感应电应电荷荷总总量不量不为为零，可零，可认为电认为电荷荷 移到地中去了。移到地中去了。总感应电荷为总感应电荷为即感应电荷的大小等于象电荷即感应电荷的大小等于象电荷Q的大小。的大小。也可以这样证明：也可以这样证明
16、：根据根据Gauss定理，对球作定理，对球作Gauss面，即面，即aQRoQ感bQ式中的式中的 是象电荷是象电荷Q和真实电荷和真实电荷Q共同产生的，即共同产生的，即故故 Q感感=Q即感应电荷的电量即感应电荷的电量Q感感等于象电荷的电量等于象电荷的电量Q。根据上述例子，作如下几点讨论：根据上述例子，作如下几点讨论：a)导体球既不接地又不带电导体球既不接地又不带电 这种情况与这种情况与本例本例的差别仅在于边界条件，这里的差别仅在于边界条件，这里导体球不带电，即要求满足电中性条件导体球不带电，即要求满足电中性条件显然，例显然，例3的解不满足电中性的条件，如果在球内再的解不满足电中性的条件，如果在球内
17、再添置一个象电荷添置一个象电荷 ，则满足电中性，则满足电中性条条件，为了不破坏导体是等位体的条件，由对称性知道，件，为了不破坏导体是等位体的条件，由对称性知道，Q必须放在球心处，于是必须放在球心处，于是再由再由得到 b)导体球不带电其电势为导体球不带电其电势为U0 这种情况与例例3的差别仍然在边界条件，这里U0 是已知常数，导体球的电势为U0，相当于在球心处放置了电量为 的点电荷，显然，其解为由得到c)若点电荷若点电荷Q在导体球壳内距球心在导体球壳内距球心a处处 这时与例例3的情况相比，仅是源电荷的位置由球外搬进到球内。此时，接地球壳外无场强，场的区域外搬进到球内。此时，接地球壳外无场强，场的
18、区域在球内。故可根据光路可逆性原理来解释：球内的电在球内。故可根据光路可逆性原理来解释：球内的电势等于源电荷势等于源电荷Q和球面上的感应电荷（球壳内表面）和球面上的感应电荷（球壳内表面）象电荷象电荷Q（在球外（在球外 处）产生的电势：处）产生的电势：这里要注意：这里要注意：象电荷的电量象电荷的电量Q大于源电荷的电量大于源电荷的电量Q，球壳内的电势与导体球壳是否接地、是否带电无关。球壳内的电势与导体球壳是否接地、是否带电无关。d)若导体球带电若导体球带电q但不接地但不接地 这种情况的物理模型为：这种情况的物理模型为：则球心有电荷（则球心有电荷（q-Q)，则，则P点的电势为点的电势为Rob QaQ
19、xrrPq-Q由 得到顺便计算导体对点电荷顺便计算导体对点电荷Q的作用力：的作用力：此时，源电荷此时，源电荷Q所受到的作用力来自球面上的电所受到的作用力来自球面上的电荷，即荷，即从而得到当当aR0 ，即近似，即近似为两点电荷作用，作用力为排斥力；为两点电荷作用，作用力为排斥力；当当Q靠近球面时，靠近球面时，此时不论，此时不论q与与Q是是否同号，作用力永远为引力，这可由在否同号，作用力永远为引力，这可由在Q附近的感应附近的感应电荷与其反号来解释。电荷与其反号来解释。就是就是Q与与Q及位于球心处的等效电荷及位于球心处的等效电荷q+Q的作用力之和。的作用力之和。4.均匀场中的导体球所产生的电势均匀场
20、中的导体球所产生的电势 由于静电屏蔽，由于静电屏蔽，场区域只能在球外。场区域只能在球外。Solution:本题的物理图象是在原有的均匀电场本题的物理图象是在原有的均匀电场 中放置中放置一中性导体球。此时导体球上的感应电荷也要在空间一中性导体球。此时导体球上的感应电荷也要在空间激发场，故使原来的场空间电场发生了变化，如图所激发场，故使原来的场空间电场发生了变化，如图所示。由此可见，球外空间任一点的场将是一个均匀场示。由此可见，球外空间任一点的场将是一个均匀场和一个球体感应电荷等效的偶极子的场的迭加。和一个球体感应电荷等效的偶极子的场的迭加。R0-+第一步：第一步：用两个点电荷用两个点电荷Q激发一
21、均匀场激发一均匀场 点电荷点电荷Q放在对称轴放在对称轴z=a处，处，a很大，很大，Q也很大，也很大，在坐标原点附近的区域内。在坐标原点附近的区域内。第二步：第二步：将一中性导体球放在均匀场中将一中性导体球放在均匀场中+Q-Qzaao这样一来，这样一来，Q相当于两个场源电荷，球面上将出现感应相当于两个场源电荷，球面上将出现感应电荷，由象电荷来代替它，即电荷，由象电荷来代替它，即 此时此时+Q在球面上感应的电量为在球面上感应的电量为 ，-Q在在球面上感应电量为球面上感应电量为 ，这仍然保持导体球为，这仍然保持导体球为电中性（不管导体球接地与否）。根据唯一性定理，导电中性（不管导体球接地与否）。根据
22、唯一性定理，导体球外的体球外的+Q-QzaaR0bbo电势就是这四个点电荷分别在某点产生的电势的迭加，电势就是这四个点电荷分别在某点产生的电势的迭加，即即因为因为aR，则选则选 略去略去 和和即即又因为又因为 皆为小量，应用展皆为小量，应用展开式开式则有则有 第一项恰好等于原均匀场以第一项恰好等于原均匀场以o点为参考点电势。第二点为参考点电势。第二项恰好等于位于项恰好等于位于o点的电偶极矩为点的电偶极矩为 的电偶极子的电的电偶极子的电势。势。原点附近像电荷代替感应电荷所产生的电偶极矩原点附近像电荷代替感应电荷所产生的电偶极矩5.半径为半径为R0,电容率为电容率为的介质球置于均匀外电场的介质球置
23、于均匀外电场E0中中，求电势分布。求电势分布。解：解：设设均均匀匀电电场场E0方方向向为为Z轴轴正正方方向向，则则E0可可看看成成是是由由Z轴轴上上两两个个等等量量异异号号电电荷荷激激发发，一一是是位位于于z z=-=-处处的的正正电电荷荷Q Q，一一是是位位于于z z=+=+处处的的负负电电荷荷-Q Q。这这一一对对正正负负电电荷荷的的镜镜像像电电荷荷正正好好组组成成一一个个电电偶偶极极子子位位于于坐坐标标原原点点，所所以以，求求球球外外空空间间的的电电势势1时，可用原点处的电时，可用原点处的电偶极子偶极子p代替极化电荷的作用。代替极化电荷的作用。(1)求球内空间的电势求球内空间的电势2时，
24、可以认为介质时，可以认为介质充满整个空间，充满整个空间，极化电荷的作用用极化电荷的作用用z z=处的点电荷处的点电荷Q代替。这一对代替。这一对等量异号电荷与激发等量异号电荷与激发E0的点电荷的点电荷Q处于同一位置，设处于同一位置，设总电量总电量为为kQ，则激发的电场为，则激发的电场为kE0，电势为，电势为(2)在介质球面上（在介质球面上（R=R0），满足），满足(3)(4)由由(3)可得：可得：(5)由由(4)可得：可得：(6)联立联立(5)、(6)解得：解得：所以，所以，与课本与课本P49例例2结果完全相同，但计算量小得多。结果完全相同，但计算量小得多。思考：思考：如果将介质球换成导体球，结
25、果如何？如果将介质球换成导体球，结果如何？导体球表面上的感应电荷同样可用球心处的电偶极子导体球表面上的感应电荷同样可用球心处的电偶极子p代替。代替。(1)(1)式在球面上（式在球面上（R=R0），满足），满足(2)由由(2)解得：解得：(3)代入代入(1)式得：式得：与课本与课本p.51例例3结果完全相同。但计算量很小。结果完全相同。但计算量很小。6有有一一点点电电荷荷 位位于于两两个个互互相相垂垂直直的的半半无无限限大大接接地地导导体体板板所所围围成成的的直直角角空空间间内内，它它到到两两个个平平面面的的距离距离为为 a 和和 b，求空，求空间间的的电势电势。假想假想电电荷荷应应在第在第 I 象限之外。象限之外。要保要保证证互相垂直互相垂直的两个接地的两个接地导导体板体板的的电势电势同同时为时为零，零，应应当放几个当放几个电电荷？荷？解：（解：（1）分析：）分析：Q（-a,-b,0）-Q（a,-b,0）xyOQ（a,b,0）-Q（-a,b,0）（2）电势分布）电势分布 放放在在 处处用用镜镜象象法求解的条件是什么？法求解的条件是什么？（3）若两平面夹角）若两平面夹角像电荷数像电荷数S2S1Q