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1、电动力学 第三章 静磁场现在学习的是第1页，共113页1 矢势及其微分方程矢势及其微分方程1.1 矢势静磁场：静磁场：静磁场是静磁场是有旋度有旋度，无散度场无散度场，不能引入标势描不能引入标势描写写，但能引入另一矢量描述但能引入另一矢量描述：矢势。一、一、矢势（矢量磁位）定义矢量磁位）定义比较比较 和和 得：得：矢量恒等式矢量恒等式 现在学习的是第2页，共113页定义定义：磁感应强度磁感应强度 是是矢矢势 的旋度的旋度，矢矢势是辅助量是辅助量！（1 1）二、二、矢矢势的的物理意义物理意义通过面通过面S S的磁通量：的磁通量：（2 2）现在学习的是第3页，共113页式式(2)(2)表明表明：通过
2、面通过面S S的的磁通量等于矢磁通量等于矢势沿闭合线沿闭合线C C的线积分的线积分！可用矢可用矢势的线积分求磁通量的线积分求磁通量。三、三、矢矢势的散度规定的散度规定现在学习的是第4页，共113页因为因为 仅仅规定仅仅规定了磁矢位了磁矢位 的的旋度旋度！由由亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理知：知：要唯一确定矢量场要唯一确定矢量场，还必须还必须规定矢量场的散度值规定矢量场的散度值，否则否则 不唯一确定不唯一确定！例如：例如：任意任意矢矢势 对静磁场对静磁场，规定矢规定矢势的散度的散度为为：（3 3）式式(3)(3)是是库仑规定库仑规定(规范规范)！（a a）现在现在由式由式(1)(1)和式和式(3)(3
3、)唯一确定唯一确定矢矢势 ！现在学习的是第5页，共113页要唯一确定要唯一确定矢矢势 ，也即，也即唯一确定标量函数唯一确定标量函数 ，还必须还必须规定规定 散度值（散度值（库仑规范库仑规范!）：是是给定给定矢矢势！是是任意标量函数任意标量函数！由由 确定确定磁感应强度磁感应强度 ：（b b）式式(b)(b)表示：表示：给定给定矢矢势 和任意和任意矢矢势 确定同一确定同一个个磁感应强度磁感应强度 ！现在学习的是第6页，共113页由由式式(d)(d)确定一个标量函数确定一个标量函数 后后，将将 代入代入 唯一确定唯一确定矢矢势 ！将式将式(a)代入式代入式(c)得得（d d）（c c）现在学习的是
4、第7页，共113页使用使用矢量矢量恒等式恒等式:因为因为（a）（c）将式将式(d)代入式代入式(c)得得（d）（b）将式将式(a)代入式代入式(b)得得（e）1.2 矢势的微分方程现在学习的是第8页，共113页讨讨论论：1）无无电电流流分分布布的的区区域域()，矢矢势满满足足拉拉普拉斯方程普拉斯方程：（4 4）式为式为矢矢势满足的泊松方程满足的泊松方程！（4 4）由由 散度的规定：散度的规定：（5 5）（f）将式将式(f)代入式代入式(e)得得现在学习的是第9页，共113页2 2）在直角坐标系中）在直角坐标系中,矢矢势和电流密度为和电流密度为式式(h)的的直角坐标直角坐标x,y,zx,y,z分
5、量方程为分量方程为：（6 6）（g）将式将式(g)代入式代入式(4)，得，得（h）x x分量方程分量方程：y y分量方程分量方程：z z分量方程分量方程：现在学习的是第10页，共113页将式将式(6)与与静电场的电位静电场的电位方程比较，可得方程比较，可得矢矢势的积分的积分表达式表达式：（7 7）（I）将式将式(I)代入式代入式(g)，得，得矢矢势的矢量形式的矢量形式：现在学习的是第11页，共113页讨论：讨论：由式（由式（7）得）得面分布电流面分布电流 产生的产生的矢矢势为为 由式（由式（7）得）得线分布电流线分布电流产生的产生的矢矢势为为（8 8）（9 9）现在学习的是第12页，共113页
6、上式是上式是毕毕萨定律萨定律 矢势方程的解为：矢势方程的解为：磁感应强度为磁感应强度为 现在学习的是第13页，共113页 总结：总结：静磁场的求解方法静磁场的求解方法第一步：第一步：求解矢求解矢势的的泊松方程泊松方程 或或拉拉普拉斯方程普拉斯方程 边值问题边值问题；或求；或求 ，得到矢得到矢势 ！第二步：第二步：求得矢求得矢势分分布布 后后，再由再由 ，求磁感应强度求磁感应强度 。现在学习的是第14页，共113页先求先求矢势矢势分布分布，后求后求磁感应强度磁感应强度，上面上面方法方法简单简单!！下面用二个例子来说明下面用二个例子来说明静磁场的求解方法！静磁场的求解方法！可知可知求求矢势矢势分布
7、比求分布比求磁感应强度简单磁感应强度简单!！比较比较与与现在学习的是第15页，共113页例例1.教材教材P.79 求长度为求长度为 l 的载流直导线的的载流直导线的矢矢势势和和磁感应强度磁感应强度。解：解：用矢势的叠加计算用矢势的叠加计算任意电流元任意电流元 ，在场点，在场点的矢势为的矢势为（a）现在学习的是第16页，共113页当当 l z 时时，作近似，作近似 ,式式(b)变为变为 当当 l r时时，用，用公式：公式：（c）对式对式(a)积分，得积分，得载流直导线的载流直导线的矢势：矢势：（b）现在学习的是第17页，共113页得：得：（d）将将式式（d d）代代入入式式（c c）得得长长度度
8、为为 l 的的载载流流直直导导线线的的矢势矢势：（e）现在学习的是第18页，共113页对对无无限限长长载载流流直直导导线线，不不能能规规定定无无穷穷远远处处为为矢矢势势的的零点零点，而要而要规定有限位置处规定有限位置处 r0 处为处为矢势矢势的零点的零点！由式由式（e）得：）得：（1）无限长无限长载流直导线的载流直导线的矢势矢势：现在学习的是第19页，共113页由无限长载流直导线的由无限长载流直导线的矢势矢势求无限长载流直导线的求无限长载流直导线的磁感应强度磁感应强度：将将式（式（1）代入式（）代入式（f）得：）得：（f）现在学习的是第20页，共113页载流为载流为I I、半径为、半径为a a
9、的圆的圆电流位于电流位于xyxy平面，将平面，将圆电圆电流称为流称为磁偶极子磁偶极子，其其磁矩磁矩 ：求求载流载流圆环圆环产生的产生的远区远区磁场磁场。例例2.教材教材P.80 求载流求载流圆环圆环的的矢势矢势和和磁感应强度磁感应强度。现在学习的是第21页，共113页利用利用矢势矢势的积分公式求解的积分公式求解利用利用矢量公式：矢量公式：P点的点的矢势矢势：(c)(c)(a)(a)(b)(b)将式将式(b)(b)代入式代入式(a)(a)得得:现在学习的是第22页，共113页因为因为有有(e)(e)远区远区：(d)(d)将式将式(d)(d)代入式代入式(c)(c)得得:(f)(f)现在学习的是第
10、23页，共113页(g)(g)因为式因为式(g)(g)积积分分是对圆面积是对圆面积进行的，进行的，积分与积分与 r r 无关无关!式式(g)(g)变为：变为：将式将式(f)(f)代入式代入式(e)(e)得得:(h)(h)因为因为现在学习的是第24页，共113页因为因为矢势矢势 平行平行xyxy平面平面，所以在所以在球坐标系中球坐标系中，矢矢势势仅有仅有 分量分量！由由式式(j)(j)得得:(I)(I)将式将式(I)(I)代入式代入式(h)(h)得得:矢势矢势的的直角坐标直角坐标x x,y y分量方程为分量方程为：x x分量分量：y y分量分量：(j)(j)现在学习的是第25页，共113页由由式
11、式(k)(k)得得矢势矢势：(k)(k)(l)(l)载流线圈磁矩载流线圈磁矩现在学习的是第26页，共113页由由式式(l)(l)矢势矢势求求载流载流圆环圆环的的远区磁场远区磁场：(m)(m)现在学习的是第27页，共113页电偶极子电偶极子产生的产生的远区电场：远区电场：上面式上面式(1)(1)和式和式(n)(n)表示表示：电偶极子电偶极子的的远区电场远区电场和和载流载流圆环圆环(磁偶极子磁偶极子)的的远区磁场远区磁场形式相同形式相同！将式将式(l)(l)代入式代入式(m)(m)，得，得载流载流圆环圆环的的区远磁场区远磁场：（1 1）(n)(n)现在学习的是第28页，共113页 磁场磁场的边界条
12、件：的边界条件：1.3 矢势边值关系 将将 代入上面边值关系代入上面边值关系(1)(1)，得，得均匀非铁磁质均匀非铁磁质的的矢矢势势边值关系边值关系：将将 代入上面边值关系代入上面边值关系(1)(1)，得得均匀铁磁质均匀铁磁质的的矢矢势势边值关系边值关系：（1 1）（2 2）现在学习的是第29页，共113页（3 3）类似第一章类似第一章5的推导的推导方法，用方法，用 和和库仑规定库仑规定(规范规范)，可得，可得在在 分界面上分界面上矢矢势相等势相等：（4 4）在分界面上在分界面上矢矢势相等势相等、连续连续。边值关系边值关系(4)(4)可代替边可代替边值关系值关系 。现在学习的是第30页，共11
13、3页对对非铁磁质非铁磁质，其边值关系（其边值关系（2 2）可写为）可写为（6 6）（5 5）对对铁磁质铁磁质，其边值关系（其边值关系（3 3）可写为）可写为 现在学习的是第31页，共113页例例1、用用矢势矢势重新计算半径为重新计算半径为a、载流为、载流为I的长直圆柱的长直圆柱导线的磁场。导线的磁场。解：解：圆柱内外的圆柱内外的电流密度为电流密度为 r a r a 矢势矢势仅有仅有 z 分量分量，它只是坐标，它只是坐标 r 的函数的函数，即即 设设导线内导线内矢势是矢势是 ,导线外导线外矢势是矢势是 ，满足满足方程：方程：现在学习的是第32页，共113页因为因为 ，A1 必须有限！有必须有限！
14、有 C1=0，A1为为（r a）r a r a r a r a 两次积分上面二式得：两次积分上面二式得：现在学习的是第33页，共113页可求出导线内、可求出导线内、外的外的磁感应强度分别磁感应强度分别为为(a)(a)由由现在学习的是第34页，共113页导体导体外部外部的磁感应强度：的磁感应强度：将式将式(a)(a)代入代入(b)(b)得得:由磁场强度由磁场强度切向分量边界条件知：切向分量边界条件知：圆柱面上圆柱面上的的磁感磁感应强度相等应强度相等：导体导体内部内部的磁感应强度：的磁感应强度：(b)(b)(c)(c)将式将式(c)(c)代入代入(a)(a)得得：现在学习的是第35页，共113页电
15、流以电流以 分布在以分布在以SS面包面包围的体积围的体积 VV内，内，磁场的磁场的能量能量:无电流无电流有电流有电流：整个磁场分布整个磁场分布体积体积！(1)(1)1.4 静磁场的能量 现在学习的是第36页，共113页再利用矢量等式再利用矢量等式 磁场的能量表为磁场的能量表为将将 代入式代入式(1)(1)得：得：(a)(a)现在学习的是第37页，共113页式式中中,是是整整个个磁磁场场所所在在的的体体积积，应应为为无无穷穷大大，故故磁磁场场的的边边界界面面S S在在无无穷穷远远处处，对对分分布布在在有有限限区区域域内的电流（当成电流元）内的电流（当成电流元），有，有因此因此,当当 时，有时，有
16、 (b)(b)将式（将式（b b）代入式）代入式(a)(a)得：得：现在学习的是第38页，共113页式式(2)(2)和和(3)(3)为静磁场能量表达式为静磁场能量表达式！积分在电流分积分在电流分布体积布体积。(2)(2)将体分布电流的将体分布电流的矢矢势势 代入式代入式(2)(2)得：得：(3)(3)现在学习的是第39页，共113页现在计算现在计算系统体分布电流系统体分布电流 在外磁场在外磁场中的中的相互相互作用能量作用能量。外磁场外磁场矢矢势势是是 ，是是产生在外磁产生在外磁场场的的体分布电流体分布电流。总的体分布电流总的体分布电流是是 ，总总磁场磁场矢矢势势是是 ，总磁场能量总磁场能量是：
17、是：其中：第一项是其中：第一项是分布电流分布电流 单独存在单独存在时时磁场能量磁场能量，第二项是，第二项是外磁场外磁场的的体分布电流体分布电流 单独存在单独存在时时外磁场能量外磁场能量，第三项是，第三项是系统与外磁场系统与外磁场的的相互作用相互作用能量能量。现在学习的是第40页，共113页系统与外磁场系统与外磁场的的相互作用能量相互作用能量：因为因为所以所以(a)(a)现在学习的是第41页，共113页(4)(4)式式(a)a)中两项相等中两项相等：(b)(b)将式将式(b)b)代入式代入式(a)a)得是得是系统系统 与外磁场与外磁场 的的相互相互作用能量作用能量为为现在学习的是第42页，共11
18、3页由由磁场强度磁场强度 是是无旋的无旋的！类似电场类似电场，磁场强度磁场强度可表为可表为标量函数的负梯度标量函数的负梯度：一、一、磁磁标势（标势（标量磁位）的定义标量磁位）的定义 ，在，在无传导电流无传导电流(J传导传导=0)的区域有的区域有（1 1）2 磁标势磁标势现在学习的是第43页，共113页无传导电流无传导电流(J传导传导=0)的区域的区域是：是：除去电流回路除去电流回路L L为边界的面积为边界的面积S S的区域的区域！现在学习的是第44页，共113页1 1、磁标势磁标势满足的微分方程满足的微分方程二、二、均匀非铁磁介质（均匀非铁磁介质（=常数常数 ）（2 2）称为磁场的称为磁场的磁
19、标势磁标势（标量磁标量磁势势）！与与电场中电电场中电势对应势对应！负号负号是为了与是为了与静电势对应静电势对应，人为加的人为加的。因为因为将式将式(b)(b)代入式代入式(a)(a)得：得：（a a）（b b）现在学习的是第45页，共113页2、磁标势磁标势的边界条件的边界条件可用可用磁标势表示磁标势表示。（3 3）式式(2)(2)是是均匀非铁磁介质内无传导均匀非铁磁介质内无传导电流电流分布分布时，时，磁标磁标势势满足拉普拉斯方程满足拉普拉斯方程。磁场磁场的的边界条件：边界条件：因为因为将式将式(b)(b)代入式代入式(a)(a)得：得：（a a）（b b）类似类似电电势势现在学习的是第46页
20、，共113页、均匀非铁磁质均匀非铁磁质内内无传导电流时无传导电流时，磁场磁场的的求求 解方法解方法:第一步：第一步：求解求解磁标势磁标势拉普拉斯方程拉普拉斯方程 边值问边值问题题；第二步：第二步：求得求得磁标势磁标势分布后分布后，再由，再由 ，求求磁场磁场强度强度。求解磁场的求解磁场的磁标势磁标势和和静电静电场的场的电势电势的的拉普拉斯方拉普拉斯方程的边值问题相程的边值问题相同同！现在学习的是第47页，共113页 均匀铁磁质均匀铁磁质内内无传导电流时无传导电流时(J J传导传导=0)=0)三、均匀铁磁质（三、均匀铁磁质（常数常数 ）因为因为（c c）（a a）（b b）将式将式(b)(b)代入
21、式代入式(a)(a)得：得：1 1、磁标势磁标势满足的微分方程满足的微分方程现在学习的是第48页，共113页式（式（5 5）表示：）表示：均匀铁磁质均匀铁磁质内内无传导电流时无传导电流时，磁磁标势满足泊松方程标势满足泊松方程。类似类似电场电场束缚电荷密度束缚电荷密度 ,在在均匀铁磁质内均匀铁磁质内,定义定义假想体磁荷密度假想体磁荷密度：（4 4）（5 5）将式将式(4)(4)代入式代入式(c)(c)得：得：在在均匀两种铁磁质分均匀两种铁磁质分界面上界面上，边界条件：边界条件：2、磁标势磁标势的边界条件的边界条件现在学习的是第49页，共113页类似类似电场电场,在分在分界面上界面上,定义面磁荷密
22、度定义面磁荷密度：因为因为可用可用磁标势表示磁标势表示。（e e）将式将式(e)(e)代入式代入式(d)(d)得：得：（6 6）类似类似电势电势（d d）现在学习的是第50页，共113页（7 7）现在学习的是第51页，共113页四、静磁场与静电场四、静磁场与静电场比较比较 在在 的区域的区域，引入磁标势引入磁标势，将静电将静电问题的求解方法应用到静磁场问题中问题的求解方法应用到静磁场问题中！静电场静电场静磁场静磁场现在学习的是第52页，共113页现在学习的是第53页，共113页例例1、证明证明 的的磁性物质表面为等磁势面磁性物质表面为等磁势面。解：解：以角标以角标1代表磁性物质，代表磁性物质，
23、2代表真空。磁场代表真空。磁场边界条件：边界条件：注意，注意，故上式趋于故上式趋于0到，即到，即 ，故在，故在该磁性物质外面，该磁性物质外面，磁力线与表面垂直磁力线与表面垂直，因此，因此表面为等表面为等磁势面磁势面。现在学习的是第54页，共113页空气空气铁磁材料铁磁材料2 1 H2 H1现在学习的是第55页，共113页例例2、求求磁化矢量为常矢量磁化矢量为常矢量 的的均匀均匀磁化磁化铁球产生铁球产生的磁场。的磁场。解解：在铁球内由于在铁球内由于均匀磁化均匀磁化 ,在在铁球内没有铁球内没有磁荷磁荷：因此因此磁荷只分布在铁球表面上磁荷只分布在铁球表面上。球外、内磁标势。球外、内磁标势为为 都都满
24、足拉普拉斯方程：满足拉普拉斯方程：完全类似第二章静电场球坐标完全类似第二章静电场球坐标系中拉普拉斯方程的求解方法系中拉普拉斯方程的求解方法。现在学习的是第56页，共113页球外磁标势必随距离增大而减小球外磁标势必随距离增大而减小，因此它的展开式，因此它的展开式只含只含R负幂次项负幂次项，（1 1）（2 2）（3 3）球内磁标势在球内磁标势在R=0处处有限有限，故，故只含只含R正幂次项正幂次项：铁球表面铁球表面 磁标势的边界条件为：磁标势的边界条件为：现在学习的是第57页，共113页（4 4）（5 5）将将式式(1)(1)和和(2)(2)代入上式代入上式(3(3)得得 比比较较式式(4)、(5)
25、的两边的两边 的的系数系数，得得（6 6）现在学习的是第58页，共113页由式由式(6)(6)得得（7 7）比比较较式式(4)、(5)的两边的两边 的的系数系数，得得（8 8）（9 9）现在学习的是第59页，共113页 将式将式(7)(7)、(9)(9)代入式代入式(1(1)和和(2(2)得：得：由式（由式（1010）得）得球内球内、外的磁场外的磁场为为（1010）磁化磁化铁球的铁球的磁矩磁矩为为现在学习的是第60页，共113页现在学习的是第61页，共113页已知体分布电流密度已知体分布电流密度 ，场点场点P的的矢势矢势为为 电流分布在电流分布在小区域内小区域内，场点场点P P距电流区域比较远
26、距电流区域比较远。这时。这时将将矢矢势作多极展开势作多极展开。在区域。在区域V V内取内取坐标原点，有坐标原点，有（1 1）3 磁多极矩磁多极矩 一、矢势的多极展开一、矢势的多极展开现在学习的是第62页，共113页 在点在点 的的泰勒展开式泰勒展开式为：为：将式（将式（a a）代入式（代入式（1 1）得）得（a a）完全类似第二章静电多极矩的方法完全类似第二章静电多极矩的方法。（2 2）现在学习的是第63页，共113页二、磁多极矩二、磁多极矩 1 1、磁单极、磁单极(点磁荷点磁荷)的矢势的矢势式式(2)(2)的的第第1 1项项：对对体分布体分布电流（看成许多电流线圈电流（看成许多电流线圈组成）
27、也有组成）也有：由于由于体分布体分布电流看成许多电流线圈电流看成许多电流线圈组成组成，对，对每个电流线圈都每个电流线圈都有：有：体分布体分布电流电流现在学习的是第64页，共113页上式表示：电流系统在上式表示：电流系统在远场远场的的展开式展开式中中无磁单极无磁单极(自由点磁荷自由点磁荷)场场，没有与点电荷对应的自由点磁荷没有与点电荷对应的自由点磁荷项项。2 2、磁偶极的矢势、磁偶极的矢势 式式(2)(2)的的第第2 2项项：由于由于体分布体分布电流看成许多电流线圈组成电流看成许多电流线圈组成，对，对每个电流每个电流线圈都线圈都有：有：现在学习的是第65页，共113页现在学习的是第66页，共11
28、3页对对体分布体分布电流（看成许多电流线圈组成）电流（看成许多电流线圈组成）也有：也有：对对体分布体分布电流电流的的磁矩磁矩：其中，其中，称为称为磁偶极矢势磁偶极矢势，称为称为电流系统的电流系统的磁矩磁矩。对于。对于线圈电流线圈电流的的磁磁矩矩（如图所示）为：（如图所示）为：现在学习的是第67页，共113页3、磁偶极矩的磁场和磁标势、磁偶极矩的磁场和磁标势 磁感强度：磁感强度：所以所以磁标势磁标势：因为因为现在学习的是第68页，共113页三、小区域内电流分布在外磁场中的能量三、小区域内电流分布在外磁场中的能量外磁场外磁场 的矢势为的矢势为 ，则，则电流系统电流系统 在外磁在外磁场中能量场中能量
29、为为电流系统电流系统在在小区域分布小区域分布，坐标原点取在区域内，坐标原点取在区域内，对，对对对载电流线圈载电流线圈，则，则电流线圈在外磁场中能量电流线圈在外磁场中能量为为原点展开原点展开：现在学习的是第69页，共113页其中，其中，第一项第一项为为 是电流体系的是电流体系的磁偶磁偶极子位于原点极子位于原点时，在时，在外磁场中外磁场中的能量的能量。由此可求出。由此可求出磁偶极子在外磁场磁偶极子在外磁场中所受的中所受的力力 和和力矩力矩现在学习的是第70页，共113页 第第5次作业次作业:P.729 11、三个镜像电荷三个镜像电荷一个镜像电荷一个镜像电荷现在学习的是第71页，共113页12、见见
30、 5.1 平面镜像法平面镜像法例例2。三个镜像电荷三个镜像电荷 P.106 2、现在学习的是第72页，共113页3、4、6、两个电流圆环线圈的磁场叠加求总磁场。两个电流圆环线圈的磁场叠加求总磁场。现在学习的是第73页，共113页 第第0 0、1 1、2 2、3 3章习题课章习题课1 1、第、第1 1章习题章习题1 1 P.33P.33（1 1）解：）解：利用利用矢量等式矢量等式 得：得：（1 1）（2 2）现在学习的是第74页，共113页将将式（式（2 2）代入式（）代入式（1 1）得：）得：在式（在式（3 3）中令）中令 得：得：（3 3）（2 2）解：）解：得证。得证。得证。得证。现在学习
31、的是第75页，共113页2 2、第、第1 1章习题章习题3 3（2 2）P.34P.34（1 1）解：）解：（2 2）解：）解：现在学习的是第76页，共113页（3 3）解：）解：（4 4）解：）解：现在学习的是第77页，共113页解：解：3 3、第、第1 1章习题章习题9 9 P.35P.35得证。得证。4 4、第、第1 1章习题章习题8 8 P.35P.35解：解：得证。得证。现在学习的是第78页，共113页（1 1）解：）解：4 4、第、第2 2章习题章习题1 1 P.70P.70极化电荷体密度：极化电荷体密度：球面上极化电荷面密度：球面上极化电荷面密度：（2 2）解：）解：因为因为所以
32、所以现在学习的是第79页，共113页（3 3）解：）解：球内电场强度：球内电场强度：因为因为球内自由电荷为：球内自由电荷为：由高斯定理得球外电场强度：由高斯定理得球外电场强度：现在学习的是第80页，共113页球内电势：球内电势：球外电势：球外电势：5 5、第、第2 2章习题章习题2 2 P.70P.70现在学习的是第81页，共113页导体导体球置于均匀外电场球置于均匀外电场 中。中。求求导体导体球内球内、外外的电势的电势。解：解：电势有轴对称性电势有轴对称性，电势与电势与 无关无关，得，得球球外外的电势的电势为为1）导体）导体球球与地的电与地的电势为势为现在学习的是第82页，共113页1 1、
33、边界条件边界条件1 1：很大时很大时，球外球外电场是均匀外电电场是均匀外电 场场，即，即 。由第由第2 2章章2.12.1例例1 1得得（1 1）（a a）（2 2）P1(cos)=cos比较式比较式(a)a)两边的两边的勒德勒德多项式多项式 系数系数，得，得现在学习的是第83页，共113页 （b b）2 2、边界条件边界条件2 2：导体球：导体球球面上球面上 ，有有：（2 2）（c c）将式（将式（2 2）代入式）代入式(b)b)得：得：将式（将式（2 2）代入式代入式(1(1)得：得：比较式比较式(c)c)两边的两边的勒德勒德多项式多项式 系数系数，得，得现在学习的是第84页，共113页
34、（3 3）将式（将式（3 3）代入式）代入式(2(2)最后得最后得球外电势：球外电势：现在学习的是第85页，共113页解：解：电势有轴对称性电势有轴对称性，电势与电势与 无关无关，得，得球球外外的电势的电势为为2）导体）导体球上带球上带电荷电荷为为q q现在学习的是第86页，共113页1 1、边界条件边界条件1 1：很大时很大时，球外球外电场是均匀外电电场是均匀外电 场场，即，即 。由第由第2 2章章2.12.1例例1 1得得（1 1）（a a）（2 2）P1(cos)=cos比较式比较式(a)a)两边的两边的勒德勒德多项式多项式 系数系数，得，得现在学习的是第87页，共113页 （b b）2
35、 2、边界条件边界条件2 2：导体球：导体球球面上球面上 ，有有：（2 2）（3 3）式（式（b b）中中 待定待定!因为因为边界条件边界条件2 2式（式（b b）与与1 1）题相同）题相同，所以，所以球外电势与球外电势与1 1）题相同）题相同：将式（将式（2 2）代入式代入式(1(1)得：得：现在学习的是第88页，共113页 （c c）2 2、边界条件边界条件3 3：导体：导体球面上带电荷为球面上带电荷为q q，有有：（d d）将式（将式（3 3）代入式）代入式(c)c)得：得：将式将式(d)d)的的 代入式代入式(3(3)最后得最后得球外电势：球外电势：现在学习的是第89页，共113页一个
36、镜像电荷一个镜像电荷解：解：球内电势：球内电势：6 6、第、第2 2章习题章习题9 9 P.72P.72现在学习的是第90页，共113页一个镜像电荷一个镜像电荷导体球内表面的感应电荷为：导体球内表面的感应电荷为：电力线电力线现在学习的是第91页，共113页7 7、第、第2 2章习题章习题11 11 P.72P.72三个镜像电荷三个镜像电荷解：解：电势：电势：现在学习的是第92页，共113页 8、第、第3 3章习题章习题2 2 P.106 解：由边界条件：解：由边界条件：因为因为螺线管外磁场为零螺线管外磁场为零：所以有所以有螺线管内磁场螺线管内磁场为为.znI.现在学习的是第93页，共113页
37、9、第、第3 3章习题章习题3 3 P.106 解：解：因为因为所以所以磁场强度：磁场强度：介质介质中的磁感强度：中的磁感强度：真空真空中的磁感强度：中的磁感强度：现在学习的是第94页，共113页介质介质中的中的磁磁化强度：化强度：介质表面的磁化电流面密度介质表面的磁化电流面密度：真空真空中的中的磁磁化强度：化强度：现在学习的是第95页，共113页介质表面的磁化电流介质表面的磁化电流：现在学习的是第96页，共113页 10、第、第3 3章习题章习题4 4 P.107 解：解：因为因为磁感强度相等磁感强度相等：(1)(1)(2)(2)将将式式(2)(2)代代入入式式(1(1)得得真真空空中中和和
38、磁介质磁介质中中磁感强度磁感强度：(3)(3)现在学习的是第97页，共113页(4)(4)(5)(5)由式由式(3)(3)得得真空真空中中磁场强度磁场强度：由式由式(3)(3)得得磁介质磁介质中中磁场强度磁场强度：介质中的极化强度介质中的极化强度：真空中的极化强度真空中的极化强度：现在学习的是第98页，共113页介质表面的磁化电流介质表面的磁化电流：在在传导电流的附近传导电流的附近作一个闭合圆作一个闭合圆L L。另一方法另一方法：由上二式得介质由上二式得介质表面的磁化电流表面的磁化电流：现在学习的是第99页，共113页 11、第、第3 3章习题章习题6 6 P.107 解：解：1)两个电流圆环
39、在两个电流圆环在Z轴上任一点产生的磁场为轴上任一点产生的磁场为2)在在中心区域的磁场是均匀磁场的条件中心区域的磁场是均匀磁场的条件为为:将式将式(1)(1)代入式代入式(2(2)得得(1)(1)(2)(2)现在学习的是第100页，共113页（图1）现在学习的是第101页，共113页（图2）（图3）现在学习的是第102页，共113页第27页现在学习的是第103页，共113页现在学习的是第104页，共113页现在学习的是第105页，共113页现在学习的是第106页，共113页现在学习的是第107页，共113页现在学习的是第108页，共113页现在学习的是第109页，共113页现在学习的是第110页，共113页现在学习的是第111页，共113页现在学习的是第112页，共113页现在学习的是第113页，共113页