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1、第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第三章第三章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解13.1 静电场分析静电场分析3.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析3.3 恒定磁场的分析恒定磁场的分析3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理静态场的边值问题及解的惟一性定理3.5 镜像法镜像法3.6 分离变量法分离变量法 静态电磁场：静态电磁场：场量不随时间变化，包括：场量不随时间变化，包括：静电场、恒定电场和恒定磁场静电场、恒定电场和恒定磁场 时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电
2、磁场时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立 第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解23.1 静电场分析静电场分析 学习内容学习内容 3.1.1 静电场的基本方程和边界条件静电场的基本方程和边界条件 3.1.2 电位函数电位函数 3.1.3 导体系统的电容与部分电容导体系统的电容与部分电容 3.1.4 静电场的能量静电场的能量 3.1.5 静电力静电力第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边
3、值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解32.边界条件边界条件微分形式：微分形式：本构关系：本构关系：1.基本方程基本方程积分形式：积分形式：或或若分界面上不存在面电荷，即若分界面上不存在面电荷，即S S0 0，则，则或或3.1.1 静电场的基本方程和边界条件静电场的基本方程和边界条件第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解4介质介质2 2介质介质1 1 在静电平衡的情况下，导体内部的电场为在静电平衡的情况下，导体内部的电场为0，则导体表面的，则导体表面的边界条件为边界条件为 或或 场矢量的折
4、射关系场矢量的折射关系 导体表面的边界条件导体表面的边界条件第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解5由由即即静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，标量函数标量函数 称为静称为静电场的标量电位或简称电位。电场的标量电位或简称电位。1.电位函数的定义电位函数的定义3.1.2 电位函数电位函数第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解62.电位的表达式电位的表达式对于连续的体分布电荷，由对于连续的体分布电
5、荷，由面电荷的电位：面电荷的电位：故得故得点电荷的电位：点电荷的电位：线电荷的电位：线电荷的电位：第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解7u3.电位差电位差两端点乘两端点乘 ，则有，则有将将上式两边从点上式两边从点P到点到点Q沿任意路径进行积分，得沿任意路径进行积分，得关于电位差的说明关于电位差的说明 P、Q 两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至点移至Q 点点 所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处；所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处；电
6、位差也称为电压，可用电位差也称为电压，可用U 表示；表示；电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。P、Q 两点间的电位差两点间的电位差电场力做电场力做的功的功第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解8 静电位不惟一，可以相差一个常数，即静电位不惟一，可以相差一个常数，即选参考点选参考点令参考点电位为零令参考点电位为零电位确定值电位确定值(电位差电位差)两点间电位差有定值两点间电位差有定值 选择电位参考点的原则选择电位参考点的原则 应使电位表达式有意
7、义；应使电位表达式有意义；应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无 限远作电位参考点；限远作电位参考点；同一个问题只能有一个参考点。同一个问题只能有一个参考点。4.电位参考点电位参考点 为为使使空空间间各各点点电电位位具具有有确确定定值值，可可以以选选定定空空间间某某一一点点作作为为参参考考点点，且且令令参参考考点点的的电电位位为为零零，由由于于空空间间各各点点与与参参考考点点的的电电位位差差为为确确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即定值，所以该点的电位也就具有确定值，即第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其
8、边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解9 例例 3.1.1 求电偶极子的电位求电偶极子的电位.解解 在球坐标系中在球坐标系中用二项式展开，由于，得用二项式展开，由于，得代入上式，得代入上式，得 表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。+q电偶极子电偶极子zodq第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解10将将 和和 代入上式，代入上式，解得解得E线方程为线方程为 由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的
9、远区电场强度等位线等位线电场线电场线电偶极子的场图电偶极子的场图电场线微分方程电场线微分方程：等位线方程等位线方程：第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解11 解解 选定均匀电场空间中的一点选定均匀电场空间中的一点o为坐标原点，而任意点为坐标原点，而任意点P 的的位置矢量为位置矢量为r，则，则若若选择选择点点o为电为电位参考点，即位参考点，即 ，则则 在球坐在球坐标标系中，取极系中，取极轴轴与与 的方向一的方向一致，即致，即 ，则则有有 在在圆圆柱面坐柱面坐标标系中，取系中，取 与与x轴轴方向一致，即方向一致，即
10、 ，而，而 ，故，故 例例3.1.2 求均匀电场的电位分布。求均匀电场的电位分布。第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解12xyzL-L 解解 采用采用圆圆柱面坐柱面坐标标系，令系，令线电线电荷与荷与 z 轴相重合，中点位轴相重合，中点位于坐标原点。由于轴对称性，电位与于坐标原点。由于轴对称性，电位与 无关。无关。在带电线上位于在带电线上位于 处的线元处的线元 ，它，它到点到点 的距离的距离 ，则则 例例3.1.3 求长度为求长度为2L、电荷线密度为、电荷线密度为 的均匀带电线的电位。的均匀带电线的电位。第第3
11、3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解13 在上式中若令在上式中若令 ，则则可得到无限可得到无限长长直直线电线电荷的荷的电电位。当位。当 时时，上式可写，上式可写为为 当当 时时，上式，上式变为变为无无穷穷大，大，这这是因是因为电为电荷不是分布在有限区荷不是分布在有限区域内，而将域内，而将电电位参考点位参考点选选在无在无穷远穷远点之故。点之故。这时这时可在上式中加上可在上式中加上一个任意常数，一个任意常数，则则有有并选择有限远处为电位参考点。例如，选择并选择有限远处为电位参考点。例如，选择=a 的点为电位参的点为电位参考
12、点，则有考点，则有第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解14在均匀介质中，有在均匀介质中，有5.电位的微分方程电位的微分方程在无源区域，在无源区域，标量泊松方程标量泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解15u6.静电位的边界条件静电位的边界条件 设设P1和和P2是是介介质质分分界界面面两两侧侧紧紧贴贴界界面面的的相相邻邻两两点点，其其电电位位分分别为别为 1和和 2。当两点间距离当两点间距离l0时时
13、若介质分界面上无自由电荷，即若介质分界面上无自由电荷，即导体表面上电位的边界条件：导体表面上电位的边界条件：由由 和和媒质媒质2媒质媒质1 常数，常数，第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解16 例例3.1.4 两块无限大接地导体平板分别置于两块无限大接地导体平板分别置于x=0和和 x=a 处，处，在两板之间的在两板之间的 x=b 处有一面密度为处有一面密度为 的均匀电荷分布，如图所的均匀电荷分布，如图所示。求两导体平板之间的电位和电场。示。求两导体平板之间的电位和电场。解解 在两块无限大接地导体平板之间，除在两
14、块无限大接地导体平板之间，除 x=b 处有均匀面电处有均匀面电荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉斯方程斯方程方程的解为方程的解为obaxy两两块块无限大平行板无限大平行板第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解17利用边界条件，有利用边界条件，有 处，处，最后得最后得 处，处，处，处，所以所以由此解得由此解得第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解18电容器广
15、泛应用于电子设备的电路中：电容器广泛应用于电子设备的电路中：在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁 路、选频等作用；路、选频等作用；通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂 电路；电路；在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以 减少电能的损失和提高电气设备的利用率；减少电能的损失和提高电气设备的利用率；3.1.3 导体系统的电容与部分电容导体系统的电容与部分电容第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及
16、其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解19 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷能储存电荷能力的物理量。力的物理量。孤立导体的电容定义为所带电量孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位与其电位 的比值，即的比值，即1.电容电容 孤立导体的电容孤立导体的电容 两个带等量异号电荷（两个带等量异号电荷（q）的导的导 体组成的电容器，其电容为体组成的电容器，其电容为 电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质 的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。
17、的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解20(1)假定两导体上分别带电荷假定两导体上分别带电荷+q 和和-q；(2)计算两导体间的电场强度计算两导体间的电场强度E；计算电容的步骤：计算电容的步骤：(4)求比值求比值 ，即得出所求电容。，即得出所求电容。(3)由由 ，求出两导体间的电位差；，求出两导体间的电位差；第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解21 解：解：设内导体的电荷为设内导体的电荷
18、为q q，则由高斯定理可求得内外导体间，则由高斯定理可求得内外导体间的电场的电场同心导体间的电压同心导体间的电压球形电容器的电容球形电容器的电容当当 时，时，例例3.1.4 同心球形电容器的内导体半径为同心球形电容器的内导体半径为a、外导体半径为、外导体半径为b，其间填充介电常数为其间填充介电常数为的均匀介的均匀介质质。求此球形电容器的电容。求此球形电容器的电容。孤立导体球的电容孤立导体球的电容第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解22 例例 3.1.5 如图所示的平行双线传输线，导线半径为如图所示的平行双线传输
19、线，导线半径为a，两导线，两导线的轴线距离为的轴线距离为D，且，且D a，求传输线单位长度的电容。，求传输线单位长度的电容。解解:设两导线单位长度带电量分别为设两导线单位长度带电量分别为 和和 。由于。由于 ，故，故可近似地可近似地认为电认为电荷分荷分别别均匀分布在两均匀分布在两导线导线的表面上。的表面上。应应用高斯定理和叠加原用高斯定理和叠加原理，可得到两理，可得到两导线导线之之间间的平面上任一点的平面上任一点P 的的电场电场强强度度为为两两导线间导线间的的电电位差位差故故单单位位长长度的度的电电容容为为第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问
20、题的解静态电磁场及其边值问题的解23 例例3.1.6 同轴线内导体半径为同轴线内导体半径为a，外导体半径为，外导体半径为b，内外导体间，内外导体间填充的介电常数为填充的介电常数为 的均匀介质，的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。求同轴线单位长度的电容。内外内外导导体体间间的的电电位差位差 解解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为 和和 ，应应用高斯定理可得到内外用高斯定理可得到内外导导体体间间任一点的任一点的电场电场强强度度为为故得同故得同轴线单轴线单位位长长度的度的电电容容为为同同轴线轴线第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边
21、值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解24 在多在多导导体系体系统统中，把其中任意两个中，把其中任意两个导导体作体作为电为电容器的两个容器的两个电电极，极，设设在在这这两个两个电电极极间间加上加上电压电压U，极板上所，极板上所带带电电荷分荷分别为别为 ，则则比比值值 称称为为这这两个两个导导体体间间的等效的等效电电容。容。（4）等效电容等效电容如如图图所示，有三个部分所示，有三个部分电电容容导线导线 1 和和 2 间间的等效的等效电电容容为为导线导线 1 和大地和大地间间的等效的等效电电容容为为导线导线 2 和大地和大地间间的等效的等效电电容容为为1 12 2大地大地大
22、地上空的平行双导线大地上空的平行双导线第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解25 如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过程中外加电源所作的总功将全部转换成电场能量，或者说电场能程中外加电源所作的总功将全部转换成电场能量，或者说电场能量就等于外加电源在此电场建立过程中所作的总功。量就等于外加电源在此电场建立过程中所作的总功。静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量静电场最基本的特征是对电荷有
23、作用力，这表明静电场具有静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有 能量。能量。任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终电荷分布的建立电荷分布的建立(或充电或充电)过程。在此过程中，外加电源必须克服过程。在此过程中，外加电源必须克服电荷之间的相互作用力而作功。电荷之间的相互作用力而作功。3.1.4 静电场的能量静电场的能量 第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解261.静电场的能量静电场的能量 设系统从零开始充电，最终带电量为设系统从零开始
24、充电，最终带电量为 q、电位为、电位为 。充充电过电过程中某一程中某一时时刻的刻的电电荷量荷量为为q、电位为、电位为 。(01)当当增加为增加为(+d)时，外电源做功为时，外电源做功为:(q d)。对对从从0 到到 1 积分，即得到外电源所做的总功为积分，即得到外电源所做的总功为 根据能量守恒定律，此功也就是电量为根据能量守恒定律，此功也就是电量为 q 的带电体具有的电的带电体具有的电场能量场能量We ，即，即 对于电荷体密度为对于电荷体密度为的体分布电荷，体积元的体分布电荷，体积元dV中的电荷中的电荷dV具具有的电场能量为有的电场能量为第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其
25、边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解27故体分布电荷的电场能量为故体分布电荷的电场能量为对于面分布电荷，对于面分布电荷，电场能量为电场能量为对于多导体组成的带电系统，则有对于多导体组成的带电系统，则有 第第i个导体所带的电荷个导体所带的电荷 第第i个导体的电位个导体的电位式中：式中：第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解282.电场能量密度电场能量密度 从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。电场能量密度：电场能量密度
26、：电场的总能量：电场的总能量：积分区域为电场积分区域为电场所在的整个空间所在的整个空间对于线性、各向同性介质，则有对于线性、各向同性介质，则有第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解29由于体积由于体积V外的电荷密度外的电荷密度0，若将上，若将上式中的积分区域扩大到整个场空间，结式中的积分区域扩大到整个场空间，结果仍然成立。只要电荷分布在有限区域果仍然成立。只要电荷分布在有限区域内，当闭合面内，当闭合面S无限扩大时，则有无限扩大时，则有故故 推证：推证：0S第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边
27、值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解30 例例3.1.7 半径为半径为a 的球形空间内均匀分布有电荷体密度为的球形空间内均匀分布有电荷体密度为的电的电荷，试求静电场能量。荷，试求静电场能量。解：解：方法一方法一，利用利用 计算计算 根据高斯定理求得电场强度根据高斯定理求得电场强度 故故第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解31 方法二方法二：利用利用 计算计算 先求出电位分布先求出电位分布 故故第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解
28、静态电磁场及其边值问题的解32 已已知知带带电电体体的的电电荷荷分分布布，原原则则上上，根根据据库库仑仑定定律律可可以以计计算算带带电电体体电电荷荷之之间间的的电电场场力力。但但对对于于电电荷荷分分布布复复杂杂的的带带电电系系统统，根根据据库库仑仑定定律律计计算算电电场场力力往往往往是是非非常常困困难难的的，因因此此通通常常采采用用虚虚位位移移法法来计算静电力。来计算静电力。虚位移法：虚位移法：假假设设第第i个带电个带电导体在电场力导体在电场力Fi的作用下发生位移的作用下发生位移dgi，则电场力做功，则电场力做功dAFidgi，系统的静电能量改变为，系统的静电能量改变为dWe。根据根据能量守恒
29、定律，该系统的功能关系为能量守恒定律，该系统的功能关系为其中其中dWS是与各带电体相连接的外电源所提供的能量。是与各带电体相连接的外电源所提供的能量。具体计算中，可假定各带电导体的电位不变，或假定各带电具体计算中，可假定各带电导体的电位不变，或假定各带电导体的电荷不变。导体的电荷不变。3.1.5 静电力静电力第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解331.各带电导体的电位不变各带电导体的电位不变 此时，各带电导体应分别与外电压源连接，外电压源向系此时，各带电导体应分别与外电压源连接，外电压源向系统提供的能量统提供的
30、能量系统所改变的静电能量系统所改变的静电能量即即此时，所有带电体都不和外电源相连接，则此时，所有带电体都不和外电源相连接，则 dWS0，因此，因此2.各带电导体的电荷不变各带电导体的电荷不变式中的式中的“”号表示电场力做功是靠减少系统的静电能量来实现的。号表示电场力做功是靠减少系统的静电能量来实现的。不变不变q不变不变第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解34例例3.1.8 有一平行金属板电容器，有一平行金属板电容器，极板面积为极板面积为lb，板间距离为，板间距离为d，用一块，用一块介质片（宽度为介质片（宽度为b
31、、厚度为、厚度为d，介电常数，介电常数为为）部分填充在两极板之间，如图所示。）部分填充在两极板之间，如图所示。设极板间外加电压为设极板间外加电压为U0，忽略边缘效应，忽略边缘效应，求介质片所受的静电力。求介质片所受的静电力。所以电容器内的电场能量为所以电容器内的电场能量为由由 可求得介质片受到的静电力为可求得介质片受到的静电力为 解解 平行板电容器的电容为平行板电容器的电容为部分填充介部分填充介质质的平行板的平行板电电容器容器dbU0lx由于由于0，所以介质，所以介质片所受到的力有将其片所受到的力有将其拉进电容器的趋势拉进电容器的趋势第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值
32、问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解35 此题也可用式此题也可用式 来计算来计算q不变不变设极板上保持总电荷设极板上保持总电荷q不变，则不变，则由此可得由此可得由于由于同样得到同样得到第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解363.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析 由由J J E E 可知，导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流可知，导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流的电场，虽然导体中产生电场的电荷作定向运动，但导体中的电的电场，虽然导体中产生电场的电荷作定向运动，但
33、导体中的电荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定分布电荷产生荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定分布电荷产生的电场称为恒定电场。的电场称为恒定电场。恒定电场与静电场重要区别：恒定电场与静电场重要区别：（1 1）恒定电场可以存在导体内部。）恒定电场可以存在导体内部。（2 2）恒定电场中有电场能量的损耗）恒定电场中有电场能量的损耗,要维持导体中的恒定电要维持导体中的恒定电流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。恒定电场和静电场都是有源无旋场，具有相同的性质。恒定电场和静电场都是有源无旋场，具有相同的性质。第第3 3章章 静态电磁
34、场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解373.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件恒定电场的基本方程和边界条件1.1.基本方程基本方程 恒定电场的基本方程为恒定电场的基本方程为微分形式：微分形式：积分形式：积分形式：恒定电场的基本场矢量是电流密度恒定电场的基本场矢量是电流密度 和电场强度和电场强度 线性各向同性导电媒质的本构关系线性各向同性导电媒质的本构关系 恒定电场的电位函数恒定电场的电位函数由由若媒质是均匀的，则若媒质是均匀的，则 均匀导电媒质中均匀导电媒质中没有体分布电荷没有体分布电荷第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态
35、电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解382.恒定电场的边界条件恒定电场的边界条件媒质媒质2 2媒质媒质1 1 场矢量的边界条件场矢量的边界条件即即即即 导电媒质分界面上的电荷面密度导电媒质分界面上的电荷面密度场矢量的折射关系场矢量的折射关系第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解39 电位的边界条件电位的边界条件 恒定电场同时存在于导体内部和外部，在导体表面上的电场恒定电场同时存在于导体内部和外部，在导体表面上的电场 既既有有法法向向分分量量又又有有切切向向分分量量，电电场场并
36、并不不垂垂直直于于导导体体表表面面，因而导体表面不是等位面；因而导体表面不是等位面；说明：说明：第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解40媒质媒质2 2媒质媒质1 1 如如 21、且、且 290，则则 10，即电场线近似垂直于与良导体表面。即电场线近似垂直于与良导体表面。此时，良导体表面可近似地看作为此时，良导体表面可近似地看作为 等位面；等位面；若媒质若媒质1为理想介质为理想介质，即即 10，则则 J1=0，故故J2n=0 且且 E2n=0，即导体中，即导体中 的电流和电场与分界面平行的电流和电场与分界面平行。
37、媒质媒质2 2媒质媒质1 1媒质媒质2 2媒质媒质1 1第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解413.2.2 恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟 如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边界如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边界形状相同，边界条件等效，则其解也必有相同的形式，求解这形状相同，边界条件等效，则其解也必有相同的形式，求解这两种场分布必然是同一个数学问题。只需求出一种场的解，就两种场分布必然是同一个数学问题。只需求出一种场的解，就可以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解。这
38、种求解场可以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解。这种求解场的方法称为的方法称为比拟法比拟法。第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解42恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟基本方程基本方程静电场（静电场（区域）区域）本构关系本构关系位函数位函数边界条件边界条件恒定电场（电源外）恒定电场（电源外）对应物理量对应物理量静电场静电场恒定电场恒定电场第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解43 例例3.2.1一一个个有有两两层层介介
39、质质的的平平行行板板电电容容器器，其其参参数数分分别别为为 1、1和和 2、2，外加电压，外加电压U。求介质面分界面上的自由电荷密度。求介质面分界面上的自由电荷密度。解解：极极板板是是理理想想导导体体，为等位面，电流沿为等位面，电流沿z方向。方向。第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解44 例例3.2.2 填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为a，外导，外导体半径为体半径为c，介质的分界面半径为，介质的分界面半径为b。两层介质的介电常数为。两层介质的介电常数为 1和和 2、电
40、导率为、电导率为 1和和 2。设内导体的电压为。设内导体的电压为U0，外导体接地。求：，外导体接地。求：（1）两导体之间的电流密度和电场强度分布；（）两导体之间的电流密度和电场强度分布；（2）介质分界面）介质分界面上的自由电荷面密度。上的自由电荷面密度。外导体外导体内导体内导体介质介质2 2介质介质1第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解45 （1 1）设设同同轴电缆轴电缆中中单单位位长长度的径向度的径向电电流流为为I,I,则则由由 可得可得电电流密度流密度介质中的电场：介质中的电场：解解 电电流由内流由内导导体
41、流向外体流向外导导体，在分界面上只有法向分量，所体，在分界面上只有法向分量，所以以电电流密度成流密度成轴对轴对称分布。可先假称分布。可先假设电设电流流为为I，由求出电流密度由求出电流密度 的表达式，然后求出的表达式，然后求出 和和 ，再由，再由 确定出电流确定出电流 I。第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解46故两种介故两种介质质中的中的电电流密度和流密度和电场电场强强度分度分别为别为由于由于于是得到于是得到第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场
42、及其边值问题的解47 （2）由）由 可得，介质可得，介质1内表面的电荷面密度为内表面的电荷面密度为介质介质2外表面的电荷面密度为外表面的电荷面密度为两种介质分界面上的电荷面密度为两种介质分界面上的电荷面密度为第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解48 工程上常在电容器两极板之间，同轴电缆的芯线与外壳之间，工程上常在电容器两极板之间，同轴电缆的芯线与外壳之间，填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小于金填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小于金属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加
43、上电压属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压U 时，时，必定会有微小的漏电流必定会有微小的漏电流 J 存在。存在。漏电流与电压之比为漏电导，即漏电流与电压之比为漏电导，即其倒数称为绝缘电阻，即其倒数称为绝缘电阻，即3.2.3 漏电导漏电导第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解49(1)假定两电极间的电流为假定两电极间的电流为I；(2)计算两电极间的电流密度计算两电极间的电流密度 矢量矢量J；(3)由由J=E 得到得到 E;(4)由由 ，求出两导，求出两导 体间的电位差；体间的电位差；(5)求比值求比
44、值 ，即得出，即得出 所求电导。所求电导。计算电导的方法一：计算电导的方法一：计算电导的方法二计算电导的方法二：(1)假定两电极间的电位差为假定两电极间的电位差为U；(2)计算两电极间的电位分布计算两电极间的电位分布 ；(3)由由 得到得到E;(4)由由 J=E 得到得到J;(5)由由 ，求出两导体间，求出两导体间 电流；电流；(6)求比值求比值 ，即得出所，即得出所 求电导。求电导。计算电导的方法三：计算电导的方法三：静电比拟法：静电比拟法：第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解50 例例3.2.3 求同轴电缆
45、的绝缘电阻。设内外的半径分别为求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为a、b，长度为长度为l，其间媒质的电导率为，其间媒质的电导率为、介电常数为、介电常数为。解解：直接用恒定电场的计算方法：直接用恒定电场的计算方法电导电导绝缘电阻绝缘电阻则则设由内导体流向外导体的电流为设由内导体流向外导体的电流为I。第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解51方程通解为方程通解为 例例3.2.4 在一在一块块厚度厚度h 的导电板上，的导电板上，由两个半径为由两个半径为r1和和r2的圆的圆弧和夹角为弧和夹角为 0的两半径割出的一段环
46、形导电媒质，如图所示。计的两半径割出的一段环形导电媒质，如图所示。计算沿算沿 方向的两电极之间的电阻。设导电媒质的电导率为方向的两电极之间的电阻。设导电媒质的电导率为。解：解：设在沿设在沿 方向的两电极之间外加电压方向的两电极之间外加电压U0，则电流沿则电流沿 方方向流动，而且电流密度是随向流动，而且电流密度是随 变化的。但容易变化的。但容易判定电位判定电位 只是变量只是变量 的函数，因此电位函数的函数，因此电位函数 满足一维满足一维拉普拉斯方程拉普拉斯方程代入边界条件代入边界条件可以得到可以得到环环形形导电导电媒媒质块质块r1hr2 0第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解52电流密度电流密度两电极之间的两电极之间的电流电流故故沿沿 方向的两电极之间的电阻方向的两电极之间的电阻为为所以所以第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解533.3.1 恒定恒定磁场磁场的基本方程和边界条件的基本方程和边界条件3.3.2 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位恒定磁场的矢量磁位和标量磁位3.3.3 电感电感*3.3.4 恒定磁场的能量恒定磁场的能量3.3.5 磁场力磁场力 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析