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1、第第2章章 线性规划线性规划 灵敏度分析灵敏度分析东北财经大学工商管理学院东北财经大学工商管理学院关于运筹学第二章关于运筹学第二章 线性规划灵敏度分析线性规划灵敏度分析现在学习的是第1页，共33页第第2章章 线性规划线性规划 灵敏度分析灵敏度分析东北财经大学工商管理学院东北财经大学工商管理学院2.1 2.1 线性规划灵敏度分析线性规划灵敏度分析在在第第1 1章章的的讨讨论论中中，假假定定以以下下的的线线性性规规划划模模型型中中的的各各个个系系数数cj、bi、aij是是确确定定的的常常数数，并根据这些数据，求得最优解。，并根据这些数据，求得最优解。现在学习的是第2页，共33页第第2章章 线性规划
2、线性规划 灵敏度分析灵敏度分析东北财经大学工商管理学院东北财经大学工商管理学院2.1 2.1 线性规划灵敏度分析线性规划灵敏度分析其其实实，系系数数cj、bi、aij都都有有可可能能变变化化，因因此此，需需要要进进行行进进一一步步的的分分析析，以以决决定定是是否否需要调整决策。需要调整决策。灵灵敏敏度度分分析析研研究究的的另另一一类类问问题题是是探探讨讨在在原原线线性性规规划划模模型型的的基基础础上上增增加加一一个个变变量量或者或者一个约束条件一个约束条件对最优解的影响对最优解的影响现在学习的是第3页，共33页第第2章章 线性规划线性规划 灵敏度分析灵敏度分析东北财经大学工商管理学院东北财经大
3、学工商管理学院2.1 2.1 线性规划灵敏度分析线性规划灵敏度分析对例对例1.11.1进行灵敏度分析进行灵敏度分析最优解为最优解为（2 2，6 6），Max zMax z36003600现在学习的是第4页，共33页第第2章章 线性规划线性规划 灵敏度分析灵敏度分析东北财经大学工商管理学院东北财经大学工商管理学院2.1 2.1 线性规划灵敏度分析线性规划灵敏度分析问问题题1 1：如如果果门门的的单单位位利利润润由由原原来来的的300300元元提提升升到到500500元元，最最优优解解是否会改变？对总利润又会产生怎样的影响是否会改变？对总利润又会产生怎样的影响?问问题题2 2：如如果果门门和和窗窗
4、的的单单位位利利润润都都发发生生变变化化，最最优优解解会会不不会会发发生生改改变？对总利润又会产生怎样的影响变？对总利润又会产生怎样的影响?问问题题3 3：如如果果车车间间2 2的的可可用用工工时时增增加加1 1个个小小时时，总总利利润润是是否否会会发发生变化？如何改变生变化？如何改变?最优解是否会发生变化最优解是否会发生变化?问问题题4 4：如如果果同同时时改改变变多多个个车车间间的的可可用用工工时时，总总利利润润是是否否会会发发生生变化？如何改变变化？如何改变?最优解是否会发生变化最优解是否会发生变化?问问题题5 5：如如果果车车间间2 2更更新新生生产产工工艺艺，生生产产一一扇扇窗窗户户
5、由由原原来来的的2 2小小时时下下降降到到1.51.5小小时时,最最优优解解是是否否会会发发生生改改变变？总总利利润润是是否否会会发发生生变变化化？问题问题6 6：工厂考虑增加一种新产品，总利润是否会发生变化？：工厂考虑增加一种新产品，总利润是否会发生变化？问问题题7 7：如如果果工工厂厂新新增增加加用用电电限限制制，是是否否会会改改变变原原来来的的最最优优方方案案？现在学习的是第5页，共33页第第2章章 线性规划线性规划 灵敏度分析灵敏度分析东北财经大学工商管理学院东北财经大学工商管理学院2.2 2.2 单个目标函数系数变动单个目标函数系数变动下下面面讨讨论论在在假假定定只只有有一一个个系系
6、数数cj改改变变，其其他他系系数数均均保保持持不不变变的的情情况况下下，目目标标函函数数系系数数变动对最优解的影响变动对最优解的影响。如如果果当当初初对对门门的的单单位位利利润润估估计计不不准准确确，如如把把它它改改成成500500元元，是是否否会会影影响响求求得得的的最最优优解解呢？呢？方方法法1 1：使使用用电电子子表表格格进进行行分分析析（重重新新运运行行规划求解）规划求解）方法方法2 2：运用敏感性报告寻找允许变化范围：运用敏感性报告寻找允许变化范围现在学习的是第6页，共33页第第2章章 线性规划线性规划 灵敏度分析灵敏度分析东北财经大学工商管理学院东北财经大学工商管理学院2.2 2.
7、2 单个目标函数系数变动单个目标函数系数变动方法方法1 1：使用电子表格进行分析使用电子表格进行分析（重新运行规划求解）（重新运行规划求解）可可以以借借助助电电子子表表格格互互动动地地展展开开灵灵敏敏度度分分析析。当当模模型型参参数数发发生生改改变变时时，只只要要改改变变电电子子表表格格模模型型中中相相应应的的参参数数，再再通通过过重重新新运运行行Excel“Excel“规规划划求求解解”功功能能，就就可可以以看看出出改改变变参参数数对对最最优优解解的的影响。影响。需要一个需要一个一个地进一个地进行尝试，行尝试，效率略显效率略显低下低下 现在学习的是第7页，共33页第第2章章 线性规划线性规划
8、 灵敏度分析灵敏度分析东北财经大学工商管理学院东北财经大学工商管理学院2.2 2.2 单个目标函数系数变动单个目标函数系数变动方法方法2 2：运用：运用敏感性报告敏感性报告寻找允许变化范围寻找允许变化范围u生成生成“敏感性报告敏感性报告”u读懂相应的信息读懂相应的信息现在学习的是第8页，共33页第第2章章 线性规划线性规划 灵敏度分析灵敏度分析东北财经大学工商管理学院东北财经大学工商管理学院2.2 2.2 单个目标函数系数变动单个目标函数系数变动结果：结果：u最最优优解解没没有有发发生生改改变变，仍仍然然是是（2 2，6 6）u由由于于门门的的单单位位利利润润增增加加了了200200元，因此元
9、，因此总利润增加了总利润增加了（500500300300）2 2400400元。元。现在学习的是第9页，共33页第第2章章 线性规划线性规划 灵敏度分析灵敏度分析东北财经大学工商管理学院东北财经大学工商管理学院2.2 2.2 单个目标函数系数变动单个目标函数系数变动图解法（直观）图解法（直观）u可以看到，可以看到，u最优解（最优解（2 2，6 6）保持不变保持不变 现在学习的是第10页，共33页第第2章章 线性规划线性规划 灵敏度分析灵敏度分析东北财经大学工商管理学院东北财经大学工商管理学院2.3 2.3 多个目标函数系数同时变动多个目标函数系数同时变动假假如如，以以前前把把门门的的单单位位利
10、利润润（300300元元）估估计计得得太太低低了了，现现在在把把门门的的单单位位利利润润定定为为450450元元；同同时时，以以前前把把窗窗的的单单位位利利润润（500500元元）估估计计得得过过高高了了，现现在在定定为为400400元元。这这样的变动，是否会导致最优解发生变化呢样的变动，是否会导致最优解发生变化呢方方法法1 1：使使用用电电子子表表格格进进行行分分析析（重重新新运运行规划求解）行规划求解）方方法法2 2：运运用用敏敏感感性性报报告告进进行行分分析析（百百分分之百法则之百法则）现在学习的是第11页，共33页第第2章章 线性规划线性规划 灵敏度分析灵敏度分析东北财经大学工商管理学
11、院东北财经大学工商管理学院2.3 2.3 多个目标函数系数同时变动多个目标函数系数同时变动方方法法1 1：使使用用电电子子表表格格进进行行分分析析（重重新运行规划求解）新运行规划求解）可以看到，可以看到，最优解最优解并没有发生变化并没有发生变化，总利润由于门和窗总利润由于门和窗的单位利润的改变的单位利润的改变相应地改变了相应地改变了(450300)2(400500)6300现在学习的是第12页，共33页第第2章章 线性规划线性规划 灵敏度分析灵敏度分析东北财经大学工商管理学院东北财经大学工商管理学院2.3 2.3 多个目标函数系数同时变动多个目标函数系数同时变动方法方法2 2：运用敏感性报告进
12、行分析：运用敏感性报告进行分析百百分分之之百百法法则则:如如果果目目标标函函数数系系数数同同时时变变动动，计计算算出出每每一一系系数数变变动动量量占占该该系系数数允允许许变变动动量量（允允许许的的增增量量或或允允许许的的减减量量）的的百百分分比比，而而后后，将将各各个个系系数数的的变变动动百百分分比比相相加加，如如果果所所得得的的和和不不超超过过100%100%，则则最最优优解解不不会会改改变变；如如果果超超过过100%100%，则则不不能能确确定定最最优优解解是是否否改改变，只能通过重新规划求解来判断了变，只能通过重新规划求解来判断了现在学习的是第13页，共33页第第2章章 线性规划线性规划
13、 灵敏度分析灵敏度分析东北财经大学工商管理学院东北财经大学工商管理学院2.3 2.3 多个目标函数系数同时变动多个目标函数系数同时变动但但是是变变动动百百分分比比之之和和超超过过100%100%并并不不一一定定表表示示最最优优解解会会改改变变。例例如如，门门和和窗窗的单位利润都减半的单位利润都减半变动百分比超过了变动百分比超过了100%100%，但，但从右图看从右图看最优解最优解还是（还是（2 2，6 6），），没有发生改变没有发生改变。这是由于这两。这是由于这两个单位利润同比例变动，等利润个单位利润同比例变动，等利润直线的斜率不变，因此最优解就直线的斜率不变，因此最优解就不变。不变。现在学习
14、的是第14页，共33页第第2章章 线性规划线性规划 灵敏度分析灵敏度分析东北财经大学工商管理学院东北财经大学工商管理学院2.4 2.4 单个约束右端值变动单个约束右端值变动单个约束右端值变动对单个约束右端值变动对目标值的影响目标值的影响如如果果车车间间2 2的的可可用用工工时时增增加加1 1个个小小时时，总总利利润润是是否否会会发发生生变变化化？如如何何改改变变?最最优解是否会发生变化优解是否会发生变化?方方法法1 1：使使用用电电子子表表格格进进行行分分析析（重重新新运运行规划求解）行规划求解）方方法法2 2：从从敏敏感感性性报报告告中中获获得得关关键键信信息息（影子价格）；（影子价格）；现
15、在学习的是第15页，共33页第第2章章 线性规划线性规划 灵敏度分析灵敏度分析东北财经大学工商管理学院东北财经大学工商管理学院2.4 2.4 单个约束右端值变动单个约束右端值变动方方法法1 1：使使用用电电子子表表格格进进行行分分析析（重重新新运行规划求解）运行规划求解）总利润为总利润为37503750元，增加元，增加了：了：3750-3600=3750-3600=150150元。元。由于总利润增加了，由于总利润增加了，而目标函数系数不而目标函数系数不变，所以最优解一变，所以最优解一定会发生改变，从定会发生改变，从图中可以看出，最图中可以看出，最优解由原来的（优解由原来的（2 2，6 6）变为
16、（）变为（1.6671.667，6.56.5）现在学习的是第16页，共33页第第2章章 线性规划线性规划 灵敏度分析灵敏度分析东北财经大学工商管理学院东北财经大学工商管理学院2.4 2.4 单个约束右端值变动单个约束右端值变动方法方法2 2：从敏感性报告中获得关键信息：从敏感性报告中获得关键信息在在给给定定线线性性规规划划模模型型的的最最优优解解和和相相应应的的目目标标函函数数值值的的条条件件下下，影影子子价价格格是是指指约约束束右右端端值值增增加加（或或减减少少）一个单位，目标值增加（或减少）的数量一个单位，目标值增加（或减少）的数量第二个约束条件（车第二个约束条件（车间间2 2的工时约束）
17、的影的工时约束）的影子价格是子价格是150150，说明在，说明在允许的范围允许的范围66，1818（即（即12-612-6，12+612+6）内，再增加（或减少）内，再增加（或减少）一个单位的可用工时，一个单位的可用工时，总利润将增加（或减少）总利润将增加（或减少）150 150 现在学习的是第17页，共33页第第2章章 线性规划线性规划 灵敏度分析灵敏度分析东北财经大学工商管理学院东北财经大学工商管理学院2.4 2.4 单个约束右端值变动单个约束右端值变动图解法（直观）图解法（直观）可以看到，可以看到，u在在这这个个范范围围内内，每每次次车车间间的的约约束束右右端端值值增增加加（或或减减少少
18、）1 1，交交点点的的移移动动就就使使利利润润增增长长（或或减减少少）影影子子价价格格的的数数量（量（150150元）元）现在学习的是第18页，共33页第第2章章 线性规划线性规划 灵敏度分析灵敏度分析东北财经大学工商管理学院东北财经大学工商管理学院2.5 2.5 多个约束右端值同时变动多个约束右端值同时变动多多个个约约束束右右端端值值同同时时变变动动对对目目标标值值的的影影响响将将1 1个个小小时时的的工工时时从从车车间间3 3移移到到车车间间2 2，对对总利润所产生的影响总利润所产生的影响方方法法1 1：使使用用电电子子表表格格进进行行分分析析（重重新新运运行规划求解）行规划求解）方方法法
19、2 2：运运用用敏敏感感性性报报告告进进行行分分析析（百百分之百法则）分之百法则）现在学习的是第19页，共33页第第2章章 线性规划线性规划 灵敏度分析灵敏度分析东北财经大学工商管理学院东北财经大学工商管理学院2.5 2.5 多个约束右端值同时变动多个约束右端值同时变动方方法法1 1：使使用用电电子子表表格格进进行行分分析析（重重新新运行规划求解）运行规划求解）总利润增加总利润增加了了3650-3650-3600=503600=50（元），（元），影影子价格有效子价格有效。现在学习的是第20页，共33页第第2章章 线性规划线性规划 灵敏度分析灵敏度分析东北财经大学工商管理学院东北财经大学工商管
20、理学院2.5 2.5 多个约束右端值同时变动多个约束右端值同时变动方法方法2 2：运用敏感性报告进行分析：运用敏感性报告进行分析百百分分之之百百法法则则：如如果果约约束束右右端端值值同同时时变变动动，计计算算每每一一变变动动占占允允许许变变动动量量（允允许许的的增增量量或或允允许许的的减减量量）的的百百分分比比，如如果果所所有有的的百百分分比比之之和和不不超超过过100%100%，那那么么，影影子子价价格格依依然然有有效效，如如果果所所有有的的百百分分比比之之和和超超过过100100，那那就就无无法法确确定定影影子子价价格格是是否否依依然然有有效效，只只能能通通过过重重新新进行规划求解来判断了
21、进行规划求解来判断了现在学习的是第21页，共33页第第2章章 线性规划线性规划 灵敏度分析灵敏度分析东北财经大学工商管理学院东北财经大学工商管理学院2.5 2.5 多个约束右端值同时变动多个约束右端值同时变动在在影影子子价价格格有有效效范范围围内内，总总利利润润的的变变化化量量可可以以直接通过影子价格来计算。直接通过影子价格来计算。比如将车间比如将车间3 3的的3 3个工时转移给车间个工时转移给车间2 2，由于，由于所以，总利润的变化量为所以，总利润的变化量为现在学习的是第22页，共33页第第2章章 线性规划线性规划 灵敏度分析灵敏度分析东北财经大学工商管理学院东北财经大学工商管理学院2.6
22、2.6 约束条件系数变化约束条件系数变化如如果果车车间间2 2更更新新生生产产工工艺艺，生生产产一一扇扇窗窗户户由由原原来来的的2 2小小时时下下降降到到1.51.5小小时时,最最优优解解是是否否会会发发生改变？总利润是否会发生变化？生改变？总利润是否会发生变化？使用电子表格进行分析使用电子表格进行分析(重新重新运行规划求解运行规划求解)规划求解后，最优规划求解后，最优解发生了改变，变解发生了改变，变成了（成了（2/32/3，8 8），），总利润也由总利润也由36003600元元增加到了增加到了42004200元。元。可见，车间可见，车间2 2更新生产更新生产工艺后，为工厂增加工艺后，为工厂增
23、加了利润。了利润。现在学习的是第23页，共33页第第2章章 线性规划线性规划 灵敏度分析灵敏度分析东北财经大学工商管理学院东北财经大学工商管理学院2.7 2.7 增加一个新变量增加一个新变量例例2.1 2.1 如如果果工工厂厂考考虑虑增增加加一一种种新新产产品品：防防盗盗门门，其其单单位位利利润润为为400400元元。生生产产一一个个防防盗盗门门会会占占用用车车间间1 1、车车间间2 2、车车间间3 3各各2 2、1 1、1 1工时工时,总利润是否会发生变化？总利润是否会发生变化？使用电子表格进行分析使用电子表格进行分析(重新重新运行规划求解运行规划求解)最优解最优解(2,5.5,1(2,5.
24、5,1）,最大利润是最大利润是37503750元。可元。可见新产品为见新产品为工厂增加了工厂增加了利润利润现在学习的是第24页，共33页第第2章章 线性规划线性规划 灵敏度分析灵敏度分析东北财经大学工商管理学院东北财经大学工商管理学院2.8 2.8 增加一个约束条件增加一个约束条件比比如如工工厂厂关关心心电电力力供供应应限限制制(例例2.2 2.2 假假定定生生产产两两种种新新产产品品每每件件需需要要消消耗耗电电力力分分别别为为20kw20kw、10kw10kw，工工厂厂总总供供电电最最多为多为90kw),90kw),最优解是否会发生变化最优解是否会发生变化?使用电子表格进行分析使用电子表格进
25、行分析(重新重新运行规划求解运行规划求解)可见电力约束的可见电力约束的确限制了新产品确限制了新产品门和窗的产量，门和窗的产量，最优解最优解变成变成(1.5,6)(1.5,6),总利总利润也相应的下降润也相应的下降为为34503450元。元。现在学习的是第25页，共33页第第2章章 线性规划线性规划 灵敏度分析灵敏度分析东北财经大学工商管理学院东北财经大学工商管理学院2.9 2.9 影子价格影子价格（1 1）影影子子价价格格是是根根据据资资源源在在生生产产中中作作出出的的贡贡献献而而做做的的估估价价。它它是是一一种种边边际际价价格格，其其值值相相当当于于在在资资源源得得到到最最优优利利用用的的生
26、生产产条条件件下下，资资源源（约约束束右右端端值值）每每增加一个单位时目标函数值的增加量增加一个单位时目标函数值的增加量；现在学习的是第26页，共33页第第2章章 线性规划线性规划 灵敏度分析灵敏度分析东北财经大学工商管理学院东北财经大学工商管理学院2.9 2.9 影子价格影子价格（2 2）影子价格的经济意义和应用）影子价格的经济意义和应用u资资源源的的影影子子价价格格实实际际上上是是一一种种机机会会成成本本。在在纯纯市市场场经经济济条条件件下下，当当资资源源的的市市场场价价格格低低于于影影子子价价格格时时，可可以以买买进进这这种种资资源源，反反之之，可可以以卖卖出出。随随着着资资源源的的买买
27、进进和和卖卖出出，它它的的影影子子价价格格也也将将随随之之发发生生改改变变，一一直直到到影影子价格与市场价格保持同等水平，才处于平衡状态。子价格与市场价格保持同等水平，才处于平衡状态。u当当资资源源的的影影子子价价格格为为0 0时时，表表明明该该种种资资源源未未得得到到充充分分利利用用。当当资资源源的的影子价格不为影子价格不为0 0时，表明该种资源在生产中时，表明该种资源在生产中已耗费完毕已耗费完毕。u可可以以利利用用影影子子价价格格计计算算产产品品的的隐隐含含成成本本（单单位位资资源源消消耗耗量量相相应应的的影影子子价价格格后后求求和和）。当当产产品品产产值值大大于于隐隐含含成成本本时时，表
28、表明明生生产产该该产产品品有利，可计划安排生产；否则用这些资源生产别的产品更为有利。有利，可计划安排生产；否则用这些资源生产别的产品更为有利。现在学习的是第27页，共33页第第2章章 线性规划线性规划 灵敏度分析灵敏度分析东北财经大学工商管理学院东北财经大学工商管理学院2.9 2.9 影子价格影子价格u一一般般来来说说，对对线线性性规规划划问问题题的的求求解解就就是是确确定定资资源源的的最最优优分分配配方方案案，所所以以对对资资源源的的估估计计直直接接涉涉及及到到资资源源的的最最有有效效利利用用。如如在在大大公公司司内内部部，可可借借助助资资源源的的影影子子价价格格确确定定一一些些内内部部结结
29、算算价价格格，以以便便控控制制有有限限资资源源的的使使用用和和考考核核企企业业经经营营的的好好坏坏。又又如如在在社社会会上上可可对对一一些些最最紧紧缺缺的的资资源源，借借助助影影子子价价格格规规定定使使用用这这种种资资源源一一个个单单位位必必须须上上交交的的利利润润额额，以以使使一一些些经经济济效效益益低低的的企企业业自自觉觉地地节节约约使使用用紧紧缺缺资资源源，使有限资源发挥更大的经济效益。使有限资源发挥更大的经济效益。现在学习的是第28页，共33页第第2章章 线性规划线性规划 灵敏度分析灵敏度分析东北财经大学工商管理学院东北财经大学工商管理学院2.9 2.9 影子价格影子价格u例例2.32
30、.3 某某文文教教用用品品厂厂利利用用原原材材料料白白坯坯纸纸生生产产原原稿稿纸纸、日日记记本本和和练练习习本本三三种种产产品品。该该厂厂现现有有工工人人100100人人，每每天天白白坯坯纸纸的的供供应应量量为为3000030000千千克克。如如果果单单独独生生产产各各种种产产品品时时，每每个个工工人人每每天天可可生生产产原原稿稿纸纸3030捆捆、或或日日记记本本3030打打，或或练练习习本本3030箱箱。已已知知原原材材料料消消耗耗为为：每每捆捆原原稿稿纸纸用用白白坯坯纸纸10/310/3千千克克、每每打打日日记记本本用用白白坯坯纸纸40/340/3千千克克，每每箱箱练练习习本本用用白白坯坯
31、纸纸80/380/3千千克克。已已知知生生产产各各种种产产品品的的盈盈利利为为：每每捆捆原原稿稿纸纸1 1元元、每每打打日日记记本本2 2元元，每每箱箱练练习习本本3 3元元。试试讨讨论在现有生产条件下使该厂盈利最大的方案。论在现有生产条件下使该厂盈利最大的方案。u如如白白坯坯纸纸供供应应量量不不变变，而而工工人人数数量量不不足足时时，可可从从市市场场上上招招收收临临时时工工，临临时时工工费费用用为为每每人人每每天天1515元元，问该厂是否招临时工及招收多少人为宜。问该厂是否招临时工及招收多少人为宜。现在学习的是第29页，共33页第第2章章 线性规划线性规划 灵敏度分析灵敏度分析东北财经大学工
32、商管理学院东北财经大学工商管理学院2.9 2.9 影子价格影子价格u设设该该厂厂每每天天生生产产原原稿稿纸纸x1捆捆、日日记记本本x2打打、练习本练习本x3箱箱现在学习的是第30页，共33页第第2章章 线性规划线性规划 灵敏度分析灵敏度分析东北财经大学工商管理学院东北财经大学工商管理学院2.9 2.9 影子价格影子价格uExcelExcel求求解解结结果果为为：生生产产原原稿稿纸纸10001000捆捆，日日记记本本20002000打打，练练习习本本不不生生产产，此时的总利润最大，为此时的总利润最大，为50005000元元现在学习的是第31页，共33页第第2章章 线性规划线性规划 灵敏度分析灵敏
33、度分析东北财经大学工商管理学院东北财经大学工商管理学院2.9 2.9 影子价格影子价格u生成生成“敏感性报告敏感性报告”u工工人人约约束束的的影影子子价价格格为为2020元元，与与临临时时工工每每人人每每天天费费用用1515元元相相比比，影影子子价价格格要要大大，所所以以每每招招一一名名临临时时工工，能能为为工工厂厂多多盈盈利利20-15=520-15=5（元元），招招收收的的人人数数在在允允许许的的增增量量200200人范围内人范围内当工人数当工人数量不足时，量不足时，可从市场可从市场上招收上招收临临时工，时工，最最多招收多招收200200人为宜人为宜 现在学习的是第32页，共33页第第2章章 线性规划线性规划 灵敏度分析灵敏度分析东北财经大学工商管理学院东北财经大学工商管理学院感感谢谢大大家家观观看看现在学习的是第33页，共33页