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1、二次函数的应用专题专题专题专题一：一：一：一：待定系数法确定二次函数待定系数法确定二次函数待定系数法确定二次函数待定系数法确定二次函数无无坚坚不摧：一般式不摧：一般式n已知二次函数的已知二次函数的图图象象经过经过A（1，6），），B（1，2），），C（2，3）三点，）三点，求求这这个二次函数的解析式；个二次函数的解析式；求出求出A、B、C关于关于x轴对轴对称的点的坐称的点的坐标标并求并求出出经过这经过这三点的二次函数解析式；三点的二次函数解析式；求出求出A、B、C关于关于y轴对轴对称的点的坐称的点的坐标标并求并求出出经过这经过这三点的二次函数解析式；三点的二次函数解析式；在同一坐在同一坐标标系
2、内画出系内画出这这三个二次函数三个二次函数图图象；象；分析分析这这三条抛物三条抛物线线的的对对称关系，并称关系，并观观察它察它们们的表达式的区的表达式的区别别与与联联系，你系，你发现发现了什么？了什么？思思维维小憩：小憩：n用待定系数法求二次函数的解析式，用待定系数法求二次函数的解析式，设设出出一般式一般式y=ax2+bx+c是是绝对绝对通用通用的的办办法。法。n因因为为有三个待定系数，所以要求有有三个待定系数，所以要求有三个三个已已知点坐知点坐标标。n一般地，函数一般地，函数y=f(x)的的图图象关于象关于x轴对轴对称称的的图图象的解析式是象的解析式是y=-f(x)n一般地，函数一般地，函数
3、y=f(x)的的图图象关于象关于y轴对轴对称称的的图图象的解析式是象的解析式是y=f(-x)显显而易而易见见：顶顶点式点式n已知函数已知函数y=ax2+bx+c的的图图象是以点（象是以点（2，3）为顶为顶点的抛物点的抛物线线，并且，并且这这个个图图象通象通过过点（点（3，1），求），求这这个函数的解析式。个函数的解析式。（要求分别用一（要求分别用一般式和顶点式去完成，对比两种方法）般式和顶点式去完成，对比两种方法）n已知某二次函数当已知某二次函数当x1时时，有最大，有最大值值6，且且图图象象经过经过点（点（2，8），求此二次函数的），求此二次函数的解析式。解析式。思思维维小憩：小憩：n用待定系
4、数法求二次函数的解析式，什么用待定系数法求二次函数的解析式，什么时候使用顶点式时候使用顶点式y=a(x-m)2+n比较方便？比较方便？知道知道顶顶点坐点坐标标或或函数的最函数的最值值时时n比较顶点式和一般式的优劣比较顶点式和一般式的优劣一般式：通用，但一般式：通用，但计计算量大算量大顶顶点式：点式：简单简单，但有条件限制，但有条件限制n使用顶点式需要多少个条件？使用顶点式需要多少个条件？顶顶点坐点坐标标再加上再加上一个一个其它点的坐其它点的坐标标；对对称称轴轴再加上再加上两个两个其它点的坐其它点的坐标标；其其实实，顶顶点式同点式同样样需要需要三个三个条件才能求。条件才能求。灵活方便：交点式灵活
5、方便：交点式n已知二次函数的已知二次函数的图图象与象与x轴轴交于（交于（2，0）和）和（1，0）两点，又通）两点，又通过过点（点（3，5），），求求这这个二次函数的解析式。个二次函数的解析式。当当x为为何何值时值时，函数有最，函数有最值值？最？最值值是多少？是多少？n已知二次函数的已知二次函数的图图象与象与x轴轴交于交于A（2，0），），B（3，0）两点，且函数有最大）两点，且函数有最大值值2。求二次函数的解析式；求二次函数的解析式；设设此二次函数此二次函数图图象象顶顶点点为为P，求，求 ABP的面的面积积思思维维小憩：小憩：n用待定系数法求二次函数的解析式，什么时用待定系数法求二次函数的解析
6、式，什么时候使用顶点式候使用顶点式y=a(x-x1)(x-x2)比较方便？比较方便？知道二次函数知道二次函数图图象和象和x轴轴的两个交点的坐的两个交点的坐标时标时n使用交点式需要多少个条件？使用交点式需要多少个条件？两个交点坐两个交点坐标标再加上一个其它条件再加上一个其它条件其其实实，交点式同，交点式同样样需要需要三个三个条件才能求条件才能求n求函数最值点和最值的若干方法：求函数最值点和最值的若干方法：直接代入直接代入顶顶点坐点坐标标公式公式配方成配方成顶顶点式点式借助借助图图象的象的顶顶点在点在对对称称轴轴上上这这一特性，一特性，结结合和合和x轴轴两个交点坐两个交点坐标标求。求。二次函数的交
7、点式二次函数的交点式n已知二次函数的已知二次函数的图图象与象与x轴轴交于（交于（2，0）和）和（1，0）两点，又通）两点，又通过过点（点（3，5），），求求这这个二次函数的解析式。个二次函数的解析式。当当x为为何何值时值时，函数有最，函数有最值值？最？最值值是多少？是多少？n求函数最值点和最值的若干方法：求函数最值点和最值的若干方法：直接代入顶点坐标公式配方成顶点式借助图象的顶点在对称轴上这一特性，结合和x轴两个交点坐标求。二次函数的三种式二次函数的三种式n一般式：一般式：y=ax2+bx+cn顶顶点式：点式：y=a(x-m)2+nn交点式：交点式：y=a(x-x1)(x-x2)n已知二次函数
8、已知二次函数y=ax2+bx+c的的图图象与象与x轴轴的一个交点坐的一个交点坐标标是（是（8,0），），顶顶点是点是（6,-12），求），求这这个二次函数的解析式。个二次函数的解析式。（分别用三种办法来求）（分别用三种办法来求）二次函数的应用专题专题专题专题二：二：二：二：数形数形数形数形结结结结合法合法合法合法简单简单的的应应用（学会画用（学会画图图）n已知二次函数的已知二次函数的图图象与象与x轴轴交于交于A（2，0），），B（3，0）两点，且函数有最大）两点，且函数有最大值值2。求二次函数的解析式；求二次函数的解析式；设设此二次函数此二次函数图图象象顶顶点点为为P，求，求 ABP的面的面积
9、积n在直角坐在直角坐标标系中，点系中，点A在在y轴轴的正半的正半轴轴上，点上，点B在在x轴轴的的负负半半轴轴上，点上，点C在在x轴轴的正半的正半轴轴上，上，AC5，BC4，cos ACB3/5。求求A、B、C三点坐三点坐标标；若二次函数若二次函数图图象象经过经过A、B、C三点，求其解析式；三点，求其解析式；求二次函数的求二次函数的对对称称轴轴和和顶顶点坐点坐标标二次函数的应用专题专题专题专题三：三：三：三：二次函数的最二次函数的最二次函数的最二次函数的最值应值应值应值应用用用用题题题题二次函数最二次函数最值值的理的理论论n求函数求函数y=(m+1)x2-2(m+1)x-m的最的最值值。其。其中
10、中m为为常数且常数且m1。最最值应值应用用题题面面积积最大最大n某工厂某工厂为为了存放材料，需要了存放材料，需要围围一个周一个周长长160米的矩形米的矩形场场地，地，问问矩形的矩形的长长和和宽宽各取各取多少米，才能使存放多少米，才能使存放场场地的面地的面积积最大。最大。n窗的形状是矩形上面加一个半窗的形状是矩形上面加一个半圆圆。窗的。窗的周周长长等于等于6cm，要使窗能透，要使窗能透过过最多的光最多的光线线，它的尺寸，它的尺寸应该应该如何如何设计设计？BCDAO最最值应值应用用题题面面积积最大最大用一用一块宽为块宽为1.2m的的长长方形方形铁铁板弯起两板弯起两边边做一个水槽，水槽的横断面做一个
11、水槽，水槽的横断面为为底角底角120的的等腰梯形。要使水槽的横断面等腰梯形。要使水槽的横断面积积最大，它最大，它的的侧侧面面AB应该应该是多是多长长？AD120BC最最值应值应用用题题路程路程问题问题 快艇和快艇和轮轮船分船分别别从从A地和地和C地同地同时时出出发发，各沿，各沿着所指方向航行（如着所指方向航行（如图图所示），快艇和所示），快艇和轮轮船船的速度分的速度分别别是每小是每小时时40km和每小和每小时时16km。已知已知AC145km，经过经过多少多少时间时间，快艇和，快艇和轮轮船之船之间间的距离最短？（的距离最短？（图图中中AC CD）DCA145km最最值应值应用用题题销销售售问题
12、问题n某商某商场销场销售一批名牌售一批名牌衬衬衫，平均每天可售出衫，平均每天可售出20件，每件盈利件，每件盈利40元，元，为为了了扩扩大大销销售，增加售，增加盈利，尽快减少盈利，尽快减少库库存，商存，商场场决定采取适当的决定采取适当的降价措施。降价措施。经调查发现经调查发现，如果每件，如果每件衬衬衫每降衫每降价价1元，商元，商场场平均每天可多售出平均每天可多售出2件。件。n（1）若商）若商场场平均每天要盈利平均每天要盈利1200元，每件元，每件衬衬衫衫应应降价多少元？降价多少元？n（2）每件）每件衬衬衫降价多少元衫降价多少元时时，商，商场场平均每天平均每天盈利最多？盈利最多？最最值应值应用用题
13、题销销售售问题问题n某商某商场场以每件以每件42元的价元的价钱购进钱购进一种服装，根据一种服装，根据试销试销得知得知这这种服装每天的种服装每天的销销售量售量t（件）与每件（件）与每件的的销销售价售价x（元（元/件）可看成是一次函数关系：件）可看成是一次函数关系：t3x204。写出商写出商场卖这场卖这种服装每天种服装每天销销售利售利润润y（元）（元）与每件的与每件的销销售价售价x（元）（元）间间的函数关系式；的函数关系式；通通过对过对所得函数关系式所得函数关系式进进行配方，指出商行配方，指出商场场要想每天要想每天获获得最大的得最大的销销售利售利润润，每件的，每件的销销售售价定价定为为多少最多少最
14、为为合适？最大利合适？最大利润为润为多少？多少？最最值应值应用用题题运运动观动观点点n在矩形在矩形ABCD中，中，AB6cm，BC12cm，点，点P从点从点A出出发发，沿，沿AB边边向点向点B以以1cm/秒的速度移秒的速度移动动，同，同时时，点，点Q从点从点B出出发发沿沿BC边边向点向点C以以2cm/秒的速度移秒的速度移动动。如果。如果P、Q两点在分两点在分别别到达到达B、C两点后就停止移两点后就停止移动动，回答下，回答下列列问题问题：运运动动开始后第几秒开始后第几秒时时，PBQ的面的面积积等于等于8cm2设设运运动动开始后第开始后第t秒秒时时，五五边边形形APQCD的面的面积为积为Scm2，
15、写出写出S与与t的函数关系式，的函数关系式，并指出自并指出自变变量量t的取的取值值范范围围；t为为何何值时值时S最小？求出最小？求出S的最小的最小值值。QPCBAD最最值应值应用用题题运运动观动观点点n在在 ABC中，中，BC2，BC边边上的高上的高AD1，P是是BC上任一点，上任一点，PE AB交交AC于于E，PF AC交交AB于于F。设设BPx，将，将S PEF用用x表示；表示；当当P在在BC边边上什么位置上什么位置时时，S值值最大。最大。DFEPCBA在取在取值值范范围围内的函数最内的函数最值值二次函数的应用专题专题专题专题四：四：四：四：二次函数二次函数二次函数二次函数综综综综合合合合
16、应应应应用用用用题题题题 如如图图所示，公园要建造所示，公园要建造圆圆形形喷喷水池，在水池中央垂水池，在水池中央垂直于水面直于水面处处安装一个柱子安装一个柱子OA，O恰在水面中心，恰在水面中心，OA=1.25米。由柱子米。由柱子顶顶端端A处处的的喷头喷头向外向外喷喷水，水流水，水流在各个方向沿形状相同的抛物在各个方向沿形状相同的抛物线线落下，落下，为为使水流形状使水流形状较为较为漂亮，要求漂亮，要求设计设计成水流在离成水流在离OA距离距离为为1米米处处达到达到距水面最大高度距水面最大高度2.25米。米。(1)如果不如果不计计其他因素，那其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使么水池的半径至
17、少要多少米，才能使喷喷出的水流不致出的水流不致落到池外？落到池外？(2)若水流若水流喷喷出的抛物出的抛物线线形状与（形状与（1）相同，）相同，水池的半径水池的半径为为3.5米，要使水流不落到池外，此米，要使水流不落到池外，此时时水流水流的最大高度的最大高度应应达到多少米？（精确到达到多少米？（精确到0.1米）米）OA 某化工材料某化工材料经销经销公司公司购进购进了一种化工原料共了一种化工原料共7000千千克，克，购进购进价格价格为为每千克每千克30元。物价部元。物价部门规门规定其定其销销售售单单价不得高于每千克价不得高于每千克70元，也不得低于元，也不得低于30元。市元。市场调查场调查发现发现
18、：单单价定价定为为70元元时时，日均，日均销销售售60千克；千克；单单价每降价每降低低1元，日均多售出元，日均多售出2千克。在千克。在销销售售过过程中，每天程中，每天还还要要支出其它支出其它费费用用500元（天数不足一天元（天数不足一天时时，按整天，按整天计计算）算）。设销设销售售单单价价为为x元，日均元，日均获获利利为为y元。元。求求y关于关于x的函数关系式，并注明的函数关系式，并注明x的取的取值值范范围围。将上面所求出的函数配方成将上面所求出的函数配方成顶顶点式，写出点式，写出顶顶点坐点坐标标。并指出并指出单单价定价定为为多少元多少元时时日均日均获获利最多，是多少？利最多，是多少？某跳水运
19、动员进行某跳水运动员进行1010米跳台跳水训练时，身体（看成一米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O O的的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）。在跳某个规一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）。在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面员在空中的最高处距水面32/332/3米，米，入水处距池边的距离为入水处距池边的距离为4 4米，同米，同时，运动员在距水面高度为时，运动员在距水面高度为5 5米米 以前，必须完成规定的翻腾动作，以前，必须完成规定的翻腾动作，并调
20、整好入水姿势，否则就会出并调整好入水姿势，否则就会出现失误。现失误。（1 1）求这条抛物线的解）求这条抛物线的解析式；（析式；（2 2）在某次试跳中，测）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（得运动员在空中的运动路线是（1 1）中的抛物线，且运动员在空中调中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平整好入水姿势时，距池边的水平距离为距离为18/518/5米，问此次跳水会不米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由。会失误？并通过计算说明理由。解函数应用题的步骤:n设设未知数未知数(确定自确定自变变量和函数量和函数);n找等量关系找等量关系,列出函数关系式列出函数关系式;n化
21、化简简,整理成整理成标标准形式准形式(一次函数、二次函数等一次函数、二次函数等);n求自求自变变量取量取值值范范围围；n利用函数知利用函数知识识，求解（通常是最，求解（通常是最值问题值问题）；）；n写出写出结论结论。某新建商某新建商场设场设有百有百货货部、服装部和家部、服装部和家电电部三个部三个经营经营部，共部，共有有190名售名售货员货员，计计划全商划全商场场日日营业额营业额(指每天指每天卖卖出商品所收出商品所收到的到的总总金金额额)为为60万元，由于万元，由于营业营业性性质质不同，分配到三个部不同，分配到三个部的售的售货员货员的人数也就不等，根据的人数也就不等，根据经验经验，各，各类类商品
22、每商品每1万元万元营营业额业额所需售所需售货员货员人数如表（人数如表（1），每），每1万元万元营业额营业额所得利所得利润润情情况如表（况如表（2）。商）。商场场将将计计划日划日营业额营业额分配分配给给三个三个经营经营部，部，设设分配分配给给百百货货部，服装部和家部，服装部和家电电部的部的营业额营业额分分别为别为x，y和和z（单单位：万元，位：万元，x、y、z都是整数）。都是整数）。（1）请请用含用含x的代数的代数式分式分别别表示表示y和和z；（；（2）若商）若商场预计场预计每日的每日的总总利利润为润为C（万元）（万元），且，且C满满足足19C19.7。问问商商场应场应如何分配如何分配营业额给营业额给三个三个经经营营部？各部？各应应分分别别安排多少名售安排多少名售货员货员？商品商品每每1万元万元营业额营业额所所需人数需人数百百货类货类5服装服装类类4家家电类电类2商品商品每每1万元万元营业额营业额所得利所得利润润百百货类货类0.3万元万元服装服装类类0.5万元万元家家电类电类0.2万元万元