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1、 二次函数的应用 实实际际生生活活二二次次函函数数图图象象与与性性质质概念概念：开口方向开口方向顶点顶点对称轴对称轴增减性增减性最值最值应用应用复习旧知复习旧知 形如形如形如形如=axax2 2+bx+c+bx+c（a a，b b，c c是常数，是常数，是常数，是常数，a a0000）的函数，叫做二次函数，其中，）的函数，叫做二次函数，其中，）的函数，叫做二次函数，其中，）的函数，叫做二次函数，其中，x x是自变量，是自变量，是自变量，是自变量，a a，b b，c c分别是函数表达式分别是函数表达式分别是函数表达式分别是函数表达式的二次项系数，一次项系数和常数项的二次项系数，一次项系数和常数项
2、的二次项系数，一次项系数和常数项的二次项系数，一次项系数和常数项二次函数的二次函数的几种表达式几种表达式(一般式一般式)(顶点式顶点式)实际问题抽象转化数学问题数学问题运用数学知识问题的解问题的解返回解释检验解决函数应用题的总体思路：解决函数应用题的总体思路：解决函数应用题的具体步骤：解决函数应用题的具体步骤：第二步建立函数的解析式；第二步建立函数的解析式；第三步确定自变量的取值范围；第三步确定自变量的取值范围；第四步根据顶点坐标公式或配方法第四步根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值（在自变量的求出最大值或最小值（在自变量的取值范围内）或者利用函数的其他知识求解。取值范围内）或者利用函数
3、的其他知识求解。第五步验证、答题第五步验证、答题第一步设自变量；第一步设自变量；二次函数的应用非常广泛典型的题型有以下几种：典型的题型有以下几种：1.最优化问题最优化问题2、利用二次函数与一元二次方程两种数、利用二次函数与一元二次方程两种数学模式的转换来解决实际问题。学模式的转换来解决实际问题。3在距离、利润等问题中的函数最值问题在距离、利润等问题中的函数最值问题现有长现有长6米的铝合金条，设问：米的铝合金条，设问：请你用它制成一矩形窗框，请你用它制成一矩形窗框，怎样设计，窗框的透光面积最大？怎样设计，窗框的透光面积最大？x3-xy=x(3-x)=-x2+3x(0 x3)解解:设宽为设宽为x米
4、米,则长为则长为(x-3)米根据题意得米根据题意得,当当x =时时,y有最大值是有最大值是最优化问题最优化问题如果用长为如果用长为6m的铝合金条制成如图的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，问窗框的宽和高各形状的矩形窗框，问窗框的宽和高各是多少米时，窗户的透光面积最大？是多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？最大面积是多少？想一想想一想 做一做：做一做：二次函数二次函数y=ax+bx+c 问题问题2：二次函数与一元二次方程的关二次函数与一元二次方程的关系问题解决实际问题系问题解决实际问题y=0一元二次方程一元二次方程ax+bx+c=0两根为两根为x1=m；x2=n函数与函数与x轴交点坐标为
5、：轴交点坐标为：（m，0）；（）；（n，0）例例2.(连连云港云港)丁丁推丁丁推铅铅球的出手高度球的出手高度为为,在如在如图图 求求k的的值值 所示的直角坐标系中，铅球的运行路线近似为抛物线所示的直角坐标系中，铅球的运行路线近似为抛物线xyO 求求铅铅球的落地点球的落地点与丁与丁 丁的水平距离丁的水平距离 当铅球高度为当铅球高度为1.6米时，铅球与米时，铅球与丁丁的水平距离是多少？丁丁的水平距离是多少？(如图如图)，(0，1.6)A 求求k的的值值xyO解：由图像可知，抛物解：由图像可知，抛物线过点线过点(0,1.6)即当即当x=0时，时，y=1.6,1.6=-0.1k+2.5,k=3.又因为
6、对称轴是在又因为对称轴是在y轴的轴的右侧，右侧，即即x=k0,所以，所以，k=3.2-0.1(-0.1(x-3)+2.5=0-3)+2.5=0，解之得，解之得，x=8,=8,x=-2=-2，所以，所以，OA=8=8，故故铅球的落地点与丁丁的距铅球的落地点与丁丁的距离是离是8米米.221当当y=1.6时，时，1.6=-0.1(x-3)+2.5 x=0,62答，当铅球高度是答，当铅球高度是1.6米事，距离出米事，距离出手点的水平距离为手点的水平距离为0米或米或6米。米。AA例例3 某饮料经营部每天的固定某饮料经营部每天的固定费用费用为为200元元,其其销售的饮料销售的饮料每瓶进价为每瓶进价为5元。
7、销售单价元。销售单价与与日均销售量日均销售量的关系如下的关系如下销售单价销售单价(元元)6789101112日均销售量日均销售量(瓶瓶)480 440 400 360 320 280 240(1)若记销售单价比每瓶进价多若记销售单价比每瓶进价多x元时，日均毛利润元时，日均毛利润(毛利润单个利润毛利润单个利润X销售量固定费用销售量固定费用)为为y元，求元，求y关关于于x的函数解析式和自变量的取值范围；的函数解析式和自变量的取值范围；(2)若要使日均毛利润达到最大，销售单价应定为多若要使日均毛利润达到最大，销售单价应定为多少元少元(精确到精确到0.1元元)？最大日均毛利润为多少？最大日均毛利润为多
8、少？问题问题3：距离、利润等问题中的函数最值问题距离、利润等问题中的函数最值问题销售单价销售单价(元元)6789101112日均销售量日均销售量(瓶瓶)480440400360320280240例例3某饮料经营部每天的固定成本为某饮料经营部每天的固定成本为200元元,其其销售的饮料每瓶进价为销售的饮料每瓶进价为5元。销售元。销售单价单价与与日均销售量日均销售量的关系如下的关系如下(1)若记销售单价比每瓶进价多若记销售单价比每瓶进价多x元时，日均毛利润元时，日均毛利润(毛利润售价进价固定毛利润售价进价固定成本成本)为为y元，求元，求y关于关于x的函数解析式和自变量的取值范围的函数解析式和自变量的
9、取值范围解解:(1)由题意由题意,销售单价每增加销售单价每增加1元元,日均销售量就减少日均销售量就减少40瓶瓶.当销售当销售单价比进价多单价比进价多X元时元时,与销售单价与销售单价6元时相比元时相比,日均销售量为日均销售量为 （瓶瓶）.销售单价销售单价(元元)6789101112日均销售量日均销售量(瓶瓶)480440400360320280240例例3某饮料经营部每天的固定某饮料经营部每天的固定费用费用为为200元元,其其销售的饮料每瓶进价为销售的饮料每瓶进价为5元。销售元。销售单价单价与与日均销售量日均销售量的关系如下的关系如下(2)若要使日均毛利润达到最大，销售单价应定为多少元若要使日均
10、毛利润达到最大，销售单价应定为多少元(精确到精确到0.1元元)？最大日均毛利润为多少？最大日均毛利润为多少？解解:(2)由第由第(1)题题,得得答答:若要使日均毛利润达到最大若要使日均毛利润达到最大,销售单价应定为销售单价应定为11.5元元,最大日均毛利润为最大日均毛利润为1490元元.1.数形结合是本章主要的数学思想，通过画图将二次函数直观表数形结合是本章主要的数学思想，通过画图将二次函数直观表示出来，根据函数图象，就能知道函数的开口方向、顶点坐标、示出来，根据函数图象，就能知道函数的开口方向、顶点坐标、对称轴、变化趋势、与坐标轴的交点、函数的最值等问题对称轴、变化趋势、与坐标轴的交点、函数
11、的最值等问题.2.待定系数法是本章重要的解题方法，要能通过三个条件确定二待定系数法是本章重要的解题方法，要能通过三个条件确定二次函数的关系式；灵活根据题中的条件，设出适合的关系式次函数的关系式；灵活根据题中的条件，设出适合的关系式.3.建模思想在本章有重要的应用，将实际问题通过设自变量，建模思想在本章有重要的应用，将实际问题通过设自变量，建立函数关系，转化为二次函数问题，再利用二次函数的性质建立函数关系，转化为二次函数问题，再利用二次函数的性质解决问题解决问题.回顾反思：回顾反思：1、.解答函数应用题时，要充分地对题目所提解答函数应用题时，要充分地对题目所提供的信息进行梳理，提取有效信息加以分
12、析，供的信息进行梳理，提取有效信息加以分析，对问题的原始形状进行抽象、联想和概括，构对问题的原始形状进行抽象、联想和概括，构建相应的数学模型即函数关系，并利用已学过建相应的数学模型即函数关系，并利用已学过的数学知识加以解决。的数学知识加以解决。2、对一些函数应用题常常要结合已知条件写出自变、对一些函数应用题常常要结合已知条件写出自变量的取值范围，以此确定这些函数区间的最值情况，量的取值范围，以此确定这些函数区间的最值情况，利用函数知识解决实际问题时，答案要结合实际问题利用函数知识解决实际问题时，答案要结合实际问题的意义进行检验。的意义进行检验。归纳总结：归纳总结：1 1、已知有一张边长为已知有
13、一张边长为10cm10cm的正三角形的正三角形纸板，若要从中剪一个面积最大的矩形纸板，纸板，若要从中剪一个面积最大的矩形纸板，应怎样剪？最大面积为多少？应怎样剪？最大面积为多少？A AAB B BC CCD DDE E EF F FK KK2、利用函数图象判断下列利用函数图象判断下列方程有没有解，有几个解。方程有没有解，有几个解。若有解，求出它们的解（精若有解，求出它们的解（精确到确到0.1）。）。X=2x-1 2x-x+1=0 2x-4x-1=0课后思考课后思考3、在矩形荒地、在矩形荒地ABCD中，中，AB=10，BC=6,今今在四边上分别选取在四边上分别选取E、F、G、H四点，且四点，且AE=AH=CF=CG=x，建一个花园，如何设计，建一个花园，如何设计，可使花园面积最大？可使花园面积最大？DCABGHFE106解：设花园的面积为解：设花园的面积为y则则 y=60-x2-（10-x）（）（6-x）=-2x2+16x（0 x6）=-2(x-4)2+32所以当所以当x=4时时 花园的最大面积为花园的最大面积为32同学们：作业布置，课后另行安排同学们：作业布置，课后另行安排