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1、 1.3 1.3 相似三角形的判定及性质相似三角形的判定及性质第一讲第一讲 相似三角形的判定及有关性质相似三角形的判定及有关性质相似三角形的定义相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形相似三角形.相似三角形对应边的比值叫做相相似三角形对应边的比值叫做相似比似比(或相似的系数或相似的系数).复习回顾BACA C B 判定两个三角形相似的简单方法判定两个三角形相似的简单方法(1)(1)两角对应相等两角对应相等,两三角形相似两三角形相似;(2)(2)两边对应成比例且夹角相等两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似两三角形相似;(3)(3
2、)三边对应成比例三边对应成比例,两三角形相似两三角形相似.BACACB如何证明？1.31.3 相似三角形的判定及性质相似三角形的判定及性质EBACDA=AADEABCDE/BCADE=BAED=C在在ABC中，中，D、E分别是分别是AB、AC边上的点，且边上的点，且DEBC，则在，则在ABC中有：中有：1.31.3 相似三角形的判定及性质相似三角形的判定及性质EAD=CABADE=ABCAED=ACBEF/DBED/BCFBDE为ED=FBAECBDF作作 E F/D B交交CB延延长长线线于于FADEABC 1.31.3 相似三角形的判定及性质相似三角形的判定及性质预备定理平行于三角形一边的
3、直线和其他两边平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的或两边的延长线延长线)相交相交,所构成的三角形与原三角形相似所构成的三角形与原三角形相似.AECBDEBACD 1.31.3 相似三角形的判定及性质相似三角形的判定及性质判定定理1 对于任意两个三角形对于任意两个三角形,如果一个三角形的两如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这那么这两个三角形相似两个三角形相似.简述简述:两角对应相等两角对应相等,两三角形相似两三角形相似CBA已知已知,如图如图,在在ABC和和A B C 中中,A=A,B=B,求证求证:ABCA B C ABCDE证明
4、:在在ABC的边的边AB(或或AB的延长线的延长线)上上,截截取取AD=AB,过点过点D作作DE/BC,交交AC于点于点E.由由预备定理得预备定理得:ADEABCADE=B,B=B ADE=B A=A,AD=A B ADEA B C A B C ABCABCCBADE例 如图,在ABC,AB=AC,D是AC边上一点,BD=BC.求证:BC2=ACCD分析:遇到线段的比例问题可以考虑三角形的相似证明:ABC是等腰三角形A=180-2CBCD是等腰三角形DBC=180-2CDBC=A又C为公共角ABCBDC即 BC2=ACCDBCDA 如图,圆内接ABC角平分线CD延长后交圆于一点E.分析:遇到线
5、段的比例问题可以考虑三角形的相似根据线段所在三角形考虑证EBDECB练一练DEABC证明：由已知条件，可得证明：由已知条件，可得ACE=BCE。ACE与与ABE是同弧上的圆周角，是同弧上的圆周角，ACE=ABE BCE=ABE。又又 BED=CEB。EBDECB判定定理2 对于任意两个三角形对于任意两个三角形,如果一个三角形的两如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例边和另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角并且夹角相等相等,那么这两个三角形相似那么这两个三角形相似.简述简述:两边对应成比例且夹角相等两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似两三角形相似ABCCBADE已知:如图,在AB
6、C和ABC中,A=A,求证:ABCABCADEABCDE/BCABCADECBADE已知:如图ABC中,点D、E分别在AB、AC上，且求证：DE/BCE证明:作 DE/BC,交AC于EAE=AE因此因此E与点与点E 重合即重合即DE 与与DE重合重合,所以所以 DE/BC采用了“同一法”的间接证明引理引理 如果一条直线截三角形的两边如果一条直线截三角形的两边(或两边的延或两边的延长线长线)所得的对应线段成比例所得的对应线段成比例,那么这条直线平行那么这条直线平行于三角形的第三边于三角形的第三边.当一个命题的条件和结论所指的概念唯一存在时，若直接证明有困难，就不妨改为去证它的逆否命题，然后根据唯
7、一性的原理断言命题为真，这种解题方法叫做同一法 用同一法解题一般有三个步骤先作出一个符合结论的图形，然后推证出所先作出一个符合结论的图形，然后推证出所作的图形符合已知条件；作的图形符合已知条件；根据唯一性，证明所作出的图形与已知的图根据唯一性，证明所作出的图形与已知的图形是全等的或重合的；形是全等的或重合的；从而说明已知图形符合结论从而说明已知图形符合结论 例 如图,在ABC内任取一点D,连接AD和BD.点E在ABC外,EBC=ABD,ECB=DAB.求证:DBEABC.BACDE分析:好容易得出ABC=DBE只需要再证明 即证只要证明ABDCBE判定定理3对于任意两个三角形,如果一个三角形的
8、三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.简述:三边对应成比例,两三角形相似ABCCBA已知:如图,在ABC和ABC中求证:ABCABC证明:在ABC的边AB(或延长线)上截取AD=AB,过点D作DE/BC,交AC于点E.DEADEABC AD=ABADEABCABCABC例 如图,已知D、E、F分别是ABC三边、BC、CA、AB的中点.求证：DEFABCFDEBAC证明:线段EF、FD、DE都是ABC的中位线DEFABC直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.(1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么它们相似;(2)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似.例如图，已知AD、BE分别是ABC中BC边和AC边上的高，H是AD、BE的交点求证：(1)ADBC=BEAC (2)AHHD=BHHE分析:(1)只要证明RtADCRtBEC (2)只要证明RtAHERtBHD小结相似三角形的概念预备定理判定定理3判定定理2判定定理1直角三角形判定定理