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1、第五章第五章 时间序列模型时间序列模型 关关于于标标准准回回归归技技术术及及其其预预测测和和检检验验我我们们已已经经在在前前面面的的章章节节讨讨论论过过了了，本本章章着着重重于于时时间间序序列列模模型型的的估估计计和和定定义义，这这些些分分析析均均是是基基于于单单方方程程回回归归方方法法，第第9章章我们还会讨论时间序列的向量自回归模型。我们还会讨论时间序列的向量自回归模型。这这一一部部分分属属于于动动态态计计量量经经济济学学的的范范畴畴。通通常常是是运运用用时时间间序序列列的的过过去去值值、当当期期值值及及滞滞后后扰扰动动项项的的加加权权和和建立模型，来建立模型，来“解释解释”时间序列的变化规
2、律。时间序列的变化规律。1 在时间序列模型的发展过程中，一个重要的特征是在时间序列模型的发展过程中，一个重要的特征是对统计均衡关系做某种形式的假设，其中一种非常特殊对统计均衡关系做某种形式的假设，其中一种非常特殊的假设就是平稳性的假设。通常一个平稳时间序列能够的假设就是平稳性的假设。通常一个平稳时间序列能够有效地用其均值、方差和自相关函数加以描述。本章首有效地用其均值、方差和自相关函数加以描述。本章首先通过讨论回归方程扰动项通常会存在的序列相关性问先通过讨论回归方程扰动项通常会存在的序列相关性问题，介绍如何应用时间序列数据的建模方法，修正扰动题，介绍如何应用时间序列数据的建模方法，修正扰动项序
3、列的自相关性。进一步讨论时间序列的自回归移动项序列的自相关性。进一步讨论时间序列的自回归移动平均模型（平均模型（ARMA模型），并且讨论它们的具体形式、模型），并且讨论它们的具体形式、估计及识别方法。估计及识别方法。2 由于传统的时间序列模型只能描述平稳时间序由于传统的时间序列模型只能描述平稳时间序列的变化规律，而大多数经济时间序列都是非平稳列的变化规律，而大多数经济时间序列都是非平稳的，因此，由的，因此，由20世纪世纪80年代初年代初Granger提出的协整概提出的协整概念，引发了非平稳时间序列建模从理论到实践的飞念，引发了非平稳时间序列建模从理论到实践的飞速发展。本章还介绍了非平稳时间序列
4、的单位根检速发展。本章还介绍了非平稳时间序列的单位根检验方法、验方法、ARIMA模型的建模方法、协整理论的基本模型的建模方法、协整理论的基本思想及误差修正模型。思想及误差修正模型。35.15.1 序列相关及其检验序列相关及其检验序列相关及其检验序列相关及其检验 第第3章章在在对对扰扰动动项项ut的的一一系系列列假假设设下下，讨讨论论了了古古典典线线性性回回归归模模型型的的估估计计、检检验验及及预预测测问问题题。如如果果线线性性回回归归方方程程的的扰扰动动项项ut 满满足足古古典典回回归归假假设设，使使用用OLS所所得得到到的的估估计计量是线性无偏最优的。量是线性无偏最优的。但但是是如如果果扰扰
5、动动项项ut不不满满足足古古典典回回归归假假设设，回回归归方方程程的的估估计计结结果果会会发发生生怎怎样样的的变变化化呢呢？理理论论与与实实践践均均证证明明，扰扰动动项项ut关关于于任任何何一一条条古古典典回回归归假假设设的的违违背背，都都将将导导致致回回归归方方程程的的估估计计结结果果不不再再具具有有上上述述的的良良好好性性质质。因因此此，必必须须建建立立相相关关的的理理论论，解解决决扰扰动动项项不不满满足足古古典典回回归归假假设设所所带带来的模型估计问题。来的模型估计问题。45.1.15.1.1 序列相关及其产生的后果序列相关及其产生的后果序列相关及其产生的后果序列相关及其产生的后果 对于
6、线性回归模型对于线性回归模型 (5.1.1)随机扰动项之间不相关，即无序列相关的基本假设为随机扰动项之间不相关，即无序列相关的基本假设为 (5.1.2)如果扰动项序列如果扰动项序列ut表现为：表现为：(5.1.3)即即对对于于不不同同的的样样本本点点，随随机机扰扰动动项项之之间间不不再再是是完完全全相相互互独独立立的的，而而是是存存在在某某种种相相关关性性，则则认认为为出出现现了了序序列列相相关关性性(serial correlation)。5 由由于于通通常常假假设设随随机机扰扰动动项项都都服服从从均均值值为为0，同同方方差差的正态分布，则序列相关性也可以表示为：的正态分布，则序列相关性也可
7、以表示为：(5.1.4)特别的，如果仅存在特别的，如果仅存在 (5.1.5)称称为为一一一一阶阶阶阶序序序序列列列列相相相相关关关关，这这是是一一种种最最为为常常见见的的序序列列相相关关问问题。题。6 如如果果回回归归方方程程的的扰扰动动项项存存在在序序列列相相关关，那那么么应应用用最最小小二二乘乘法法得得到到的的参参数数估估计计量量的的方方差差将将被被高高估估或或者者低低估估。因因此此，检检验验参参数数显显著著性性水水平平的的t统统计计量量将将不不再再可可信信。可以将序列相关可能引起的后果归纳为：可以将序列相关可能引起的后果归纳为：使使用用OLS公公式式计计算算出出的的标标准准差差不不正正确
8、确，相相应应的的显著性水平的检验不再可信显著性水平的检验不再可信 ；回回归归得得到到的的参参数数估估计计量量的的显显著著性性水水平平的的检检验验不不再可信。再可信。在线性估计中在线性估计中OLS估计量不再是有效的；估计量不再是有效的；7 EViews提提供供了了检检测测序序列列相相关关和和估估计计方方法法的的工工具具。但但首首先先必必须须排排除除虚虚假假序序列列相相关关。虚虚虚虚假假假假序序序序列列列列相相相相关关关关是是是是指指指指模模模模型型型型的的的的序序序序列列列列相相相相关关关关是是是是由由由由于于于于省省省省略略略略了了了了显显显显著著著著的的的的解解解解释释释释变变变变量量量量而
9、而而而引引引引起起起起的的的的。例例如如，在在生生产产函函数数模模型型中中，如如果果省省略略了了资资本本这这个个重重要要的的解解释释变变量量，资资本本对对产产出出的的影影响响就就被被归归入入随随机机误误差差项项。由由于于资资本本在在时时间间上上的的连连续续性性，以以及及对对产产出出影影响响的的连连续续性性，必必然然导导致致随随机机误误差差项项的的序序列列相相关关。所所以以在在这这种种情情况况下下，要要把把显显著的变量引入到解释变量中。著的变量引入到解释变量中。5.1.25.1.2 序列相关的检验方法序列相关的检验方法序列相关的检验方法序列相关的检验方法 8 EViews提供了以下提供了以下3种
10、检测序列相关的方法。种检测序列相关的方法。1 1D_WD_W统计量检验统计量检验统计量检验统计量检验 Durbin-Watson 统统计计量量（简简称称D_W统统计计量量）用用于于检检验验一一阶阶序序列列相相关关，还还可可估估算算回回归归模模型型邻邻近近残残差差的的线线性性联联系。对于扰动项系。对于扰动项ut建立一阶自回归方程：建立一阶自回归方程：(5.1.6)D_W统计量检验的统计量检验的原假设：原假设：原假设：原假设：=0=0，备选假设是，备选假设是，备选假设是，备选假设是 0 0。9 如果序列不相关，如果序列不相关，如果序列不相关，如果序列不相关，D.W.D.W.值在值在值在值在2 2附
11、近。附近。附近。附近。如果存在正序列相关，如果存在正序列相关，如果存在正序列相关，如果存在正序列相关，D.W.D.W.值将小于值将小于值将小于值将小于2 2。如果存在负序列相关，如果存在负序列相关，如果存在负序列相关，如果存在负序列相关，D.W.D.W.值将在值将在值将在值将在2 24 4之间。之间。之间。之间。正正序序列列相相关关最最为为普普遍遍，根根据据经经验验，对对于于有有大大于于50个个观观测测值值和和较较少少解解释释变变量量的的方方程程，D.W.值值小小于于1.5的的情情况况，说说明明残残差差序列存在强的正一阶序列相关。序列存在强的正一阶序列相关。10 Dubin-WastonDub
12、in-Waston统计量检验序列相关有三个主要不足：统计量检验序列相关有三个主要不足：统计量检验序列相关有三个主要不足：统计量检验序列相关有三个主要不足：1D-W统计量的扰动项在原假设下依赖于数据矩阵统计量的扰动项在原假设下依赖于数据矩阵X。2回回归归方方程程右右边边如如果果存存在在滞滞后后因因变变量量，D-W检检验验不不再有效。再有效。3仅仅检验是否存在一阶序列相关。仅仅检验是否存在一阶序列相关。其他两种检验序列相关方法：其他两种检验序列相关方法：Q-统计量和统计量和Breush-Godfrey LM检验克服了上述不足，应用于大多数场合。检验克服了上述不足，应用于大多数场合。11 2.2.相
13、关图和相关图和相关图和相关图和Q Q-统计量统计量统计量统计量 1.1.自相关系数自相关系数自相关系数自相关系数 我我们们还还可可以以应应用用所所估估计计回回归归方方程程残残差差序序列列的的自自相相关关系系数数和和偏偏自自相相关关系系数数来来检检验验序序列列相相关关。时时间间序序列列ut滞滞后后k阶阶的的自自相关系数由下式估计相关系数由下式估计 （5.2.26）其其中中 是是序序列列的的样样本本均均值值，这这是是相相距距k期期值值的的相相关关系系数数。称称rk为为时时间间序序列列ut的的自自相相关关系系数数，自自相相关关系系数数可可以以部部分分的的刻刻画画一一个个随随机机过过程程的的性性质质。
14、它它告告诉诉我我们们在在序序列列ut的的邻邻近近数数据据之之间间存在多大程度的相关性。存在多大程度的相关性。12 2 2偏自相关系数偏自相关系数偏自相关系数偏自相关系数 偏偏自自相相关关系系数数是是指指在在给给定定ut-1，ut-2，ut-k-1的的条条件件下下，ut与与ut-k之之间间的的条条件件相相关关性性。其其相相关关程程度度用用偏偏自自相相关关系系数数 k,k度量。在度量。在k阶滞后下估计偏相关系数的计算公式如下阶滞后下估计偏相关系数的计算公式如下 （5.2.27）其中：其中：rk 是在是在k阶滞后时的自相关系数估计值。阶滞后时的自相关系数估计值。（5.2.28）这是偏相关系数的一致估
15、计。这是偏相关系数的一致估计。13 要得到要得到 k,k的更确切的估计，需要进行回归的更确切的估计，需要进行回归 t=1,2,T （5.2.29）因此，滞后因此，滞后k阶的偏相关系数是当阶的偏相关系数是当ut 对对ut-1，ut-k 作回作回归时归时 ut-k 的系数。称之为偏相关是因为它度量了的系数。称之为偏相关是因为它度量了k期间距期间距的相关而不考虑的相关而不考虑k-1期的相关。期的相关。14 我我们们还还可可以以应应用用所所估估计计回回归归方方程程残残差差序序列列的的自自相相关关和和偏偏自自相相关关系系数数（在在本本章章5.2.4节节给给出出相相应应的的公公式式），以以及及Ljung-
16、Box Q-统统计计量量来来检检验验序序列列相相关关。Q-统统计计量量的的表表达式为：达式为：(5.1.7)其中：其中：rj是残差序列的是残差序列的 j 阶自相关系数，阶自相关系数，T是观测值的个数，是观测值的个数，p是设定的滞后阶数是设定的滞后阶数。15 p阶阶滞滞后后的的Q-统统计计量量的的原原原原假假假假设设设设是是是是：序序序序列列列列不不不不存存存存在在在在p p阶阶阶阶自相关；备选假设为：序列存在自相关；备选假设为：序列存在自相关；备选假设为：序列存在自相关；备选假设为：序列存在p p阶自相关阶自相关阶自相关阶自相关。如如果果Q-统统计计量量在在某某一一滞滞后后阶阶数数显显著著不不
17、为为零零，则则说说明明序序列列存存在在某某种种程程度度上上的的序序列列相相关关。在在实实际际的的检检验验中中，通通常常会会计计算算出出不不同同滞滞后后阶阶数数的的Q-统统计计量量、自自相相关关系系数数和和偏偏自自相相关关系系数数。如如果果，各各阶阶Q-统统计计量量都都没没有有超超过过由由设设定定的的显显著著性性水水平平决决定定的的临临界界值值，则则接接受受原原假假设设，即即不不存存在在序序列列相相关关，并并且且此此时时，各各阶阶的的自自相相关关和和偏偏自自相相关系数都接近于关系数都接近于0。16 反反之之，如如果果，在在某某一一滞滞后后阶阶数数p，Q-统统计计量量超超过过设设定定的的显显著著性
18、性水水平平的的临临界界值值，则则拒拒绝绝原原假假设设，说说明明残残差差序序列列存存在在p阶阶自自相相关关。由由于于Q-统统计计量量的的P值值要要根根据据自自由由度度p来来估估算算，因因此此，一一个个较较大大的的样样本本容容量量是是保保证证Q-统统计计量量有有效效的的重重要要因因素。素。在在在在EViewsEViews软件中的操作方法：软件中的操作方法：软件中的操作方法：软件中的操作方法：在在方方程程工工具具栏栏选选择择View/Residual Tests/correlogram-Q-statistics。EViews将将显显示示残残差差的的自自相相关关和和偏偏自自相相关关函函数数以以及及对对
19、应应于于高高阶阶序序列列相相关关的的Ljung-Box Q统统计计量量。如如如如果果果果残残残残差差差差不不不不存存存存在在在在序序序序列列列列相相相相关关关关，在在在在各各各各阶阶阶阶滞滞滞滞后后后后的的的的自自自自相相相相关关关关和和和和偏偏偏偏自自自自相相相相关关关关值值值值都都都都接近于零。所有的接近于零。所有的接近于零。所有的接近于零。所有的Q-Q-统计量不显著，并且有大的统计量不显著，并且有大的统计量不显著，并且有大的统计量不显著，并且有大的P P值值值值。17例例例例5.1:5.1:利用相关图检验残差序列的相关性利用相关图检验残差序列的相关性利用相关图检验残差序列的相关性利用相关
20、图检验残差序列的相关性 考虑美国的一个投资方程。美国的考虑美国的一个投资方程。美国的GNP和国内私人总和国内私人总投资投资INV是单位为是单位为10亿美元的名义值，价格指数亿美元的名义值，价格指数P为为GNP的的平减指数平减指数（1972=100），），利息率利息率R为半年期商业票据利息。为半年期商业票据利息。回归方程所采用的变量都是实际回归方程所采用的变量都是实际GNP和实际投资；它们是和实际投资；它们是通过将名义变量除以价格指数得到的，分别用小写字母通过将名义变量除以价格指数得到的，分别用小写字母gnp，inv表示。实际利息率的近似值表示。实际利息率的近似值r则是通过贴现率则是通过贴现率R
21、减去价减去价格指数变化率格指数变化率p得到的。样本区间：得到的。样本区间：1963年年1984年，建立年，建立如下线性回归方程：如下线性回归方程：t=1,2,T 18应用最小二乘法得到的估计方程如下应用最小二乘法得到的估计方程如下：t=（-1.32）（154.25）R2=0.80 D.W.=0.94 19 虚线之间的区域是自相关中正负两倍于估计标准差所夹成的。如虚线之间的区域是自相关中正负两倍于估计标准差所夹成的。如果自相关值在这个区域内，则在显著水平为果自相关值在这个区域内，则在显著水平为5%的情形下与零没有显的情形下与零没有显著区别。著区别。本例本例1阶的自相关系数和偏自相关系数都超出了虚
22、线，说明存在阶的自相关系数和偏自相关系数都超出了虚线，说明存在1阶序列相关。阶序列相关。1阶滞后的阶滞后的Q-统计量的统计量的P值很小，拒绝原假设，残差序列值很小，拒绝原假设，残差序列存在一阶序列相关。存在一阶序列相关。选择选择View/Residual test/Correlogram-Q-statistice会产生如下结果：会产生如下结果：203.3.序列相关的序列相关的序列相关的序列相关的LMLM检验检验检验检验 与与D.W.统计量仅检验扰动项是否存在一阶自相关不统计量仅检验扰动项是否存在一阶自相关不同，同，Breush-Godfrey LM检验（检验（Lagrange multipli
23、er，即拉格朗日乘数检验）也可应用于检验回归方程的残即拉格朗日乘数检验）也可应用于检验回归方程的残差序列是否存在高阶自相关，而且在方程中存在滞后差序列是否存在高阶自相关，而且在方程中存在滞后因变量的情况下，因变量的情况下，LM检验仍然有效。检验仍然有效。LMLM检验原假设为：直到检验原假设为：直到检验原假设为：直到检验原假设为：直到p p阶滞后不存在序列相关，阶滞后不存在序列相关，阶滞后不存在序列相关，阶滞后不存在序列相关，p p为预先定义好的整数；备选假设是：存在为预先定义好的整数；备选假设是：存在为预先定义好的整数；备选假设是：存在为预先定义好的整数；备选假设是：存在p p阶自相关。阶自相
24、关。阶自相关。阶自相关。检验统计量由如下辅助回归计算。检验统计量由如下辅助回归计算。21 （1）估计回归方程，并求出残差）估计回归方程，并求出残差et (5.1.8)（2）检验统计量可以基于如下回归得到）检验统计量可以基于如下回归得到 (5.1.9)这是对原始回归因子这是对原始回归因子Xt 和直到和直到p阶的滞后残差的回归。阶的滞后残差的回归。LMLM检验通常给出两个统计量：检验通常给出两个统计量：检验通常给出两个统计量：检验通常给出两个统计量：F F统计量和统计量和统计量和统计量和T T R R2 2统计量统计量统计量统计量。F统计量是对式（统计量是对式（5.1.9）所有滞后残差联合显著性的
25、一种检）所有滞后残差联合显著性的一种检验。验。TR2统计量是统计量是LM检验统计量，是观测值个数检验统计量，是观测值个数 T 乘以回乘以回归方程（归方程（5.1.9）的）的R2。一般情况下，。一般情况下，TR2统计量服从渐进统计量服从渐进的的 2(p)分布。分布。22 在在给给定定的的显显著著性性水水平平下下，如如果果这这两两个个统统计计量量小小于于设设定定显显著著性性水水平平下下的的临临界界值值，说说明明序序列列在在设设定定的的显显著著性性水水平平下下不不存存在在序序列列相相关关；反反之之，如如果果这这两两个个统统计计量量大大于于设设定显著性水平下的临界值，则说明序列存在序列相关性。定显著性
26、水平下的临界值，则说明序列存在序列相关性。在在在在E EViewView软件中的操作方法：软件中的操作方法：软件中的操作方法：软件中的操作方法：选选择择View/Residual Tests/Serial correlation LM Test，一一般般地地对对高高阶阶的的，含含有有ARMA误误差差项项的的情情况况执执行行Breush-Godfrey LM。在在滞滞后后定定义义对对话话框框，输输入入要要检检验验序列的最高阶数。序列的最高阶数。23 LM统计量显统计量显示，在示，在5%的显的显著性水平拒绝原著性水平拒绝原假设，回归方程假设，回归方程的残差序列存在的残差序列存在序列相关性。因序列相
27、关性。因此，回归方程的此，回归方程的估计结果不再有估计结果不再有效，必须采取相效，必须采取相应的方式修正残应的方式修正残差的自相关性。差的自相关性。例例例例5.15.1(续续续续)序列相关序列相关序列相关序列相关LMLM检验检验检验检验24 例例例例5.2:5.2:含滞后因变量的回归方程扰动项序列相关的检验含滞后因变量的回归方程扰动项序列相关的检验含滞后因变量的回归方程扰动项序列相关的检验含滞后因变量的回归方程扰动项序列相关的检验 考考虑虑美美国国消消费费CS 和和GDP及及前前期期消消费费之之间间的的关关系系，数数据据期期间间：1947年年第第1季季度度1995年年第第1季季度度，数数据据中
28、中已已消消除除了了季节要素，建立如下线性回归方程：季节要素，建立如下线性回归方程：t=1,2,T 应用最小二乘法得到的估计方程如下：应用最小二乘法得到的估计方程如下：t=(1.93)(3.23)(41.24)R2=0.999 D.W.=1.605 25 如如果果单单纯纯从从显显著著性性水水平平、拟拟合合优优度度及及D.W.值值来来看看，这这个个模模型型是是一一个个很很理理想想的的模模型型。但但是是，由由于于方方程程的的解解释释变变量量存存在在被被解解释释变变量量的的一一阶阶滞滞后后项项，那那么么 D.W.值值就就不不能能作作为为判判断断回回归归方方程程的的残残差差是是否否存存在在序序列列相相关
29、关的的标标准准，如如果果残残差差序序列列存存在在序序列列相相关关，那那么么，显显著著性性水水平平、拟拟合合优优度度和和F统统计计量量将将不不再再可可信信。所所以以，必必须须采采取取本本节节中中介介绍绍的的其其他他检检验验序序列列相相关关的的方方法法检检验验残残差差序序列列的的自自相相关关性性。这这里采用里采用 LM 统计量进行检验统计量进行检验(p=2)，得到结果如下得到结果如下：LM统统计计量量显显示示，回回归归方方程程的的残残差差序序列列存存在在明明显显的的序序列相关性。列相关性。26 下面给出残差序列的自相关系数和偏自相关系数，相关图如下：下面给出残差序列的自相关系数和偏自相关系数，相关
30、图如下：本例本例13阶的自相关系数都超出了虚线，说明存在阶的自相关系数都超出了虚线，说明存在3阶序列相关。阶序列相关。各阶滞后的各阶滞后的Q-统计量的统计量的P值都小于值都小于5%，说明在，说明在5%的显著性水平下，的显著性水平下，拒绝原假设，残差序列存在序列相关。拒绝原假设，残差序列存在序列相关。27 5.1.3 5.1.3 扰动项存在序列相关的扰动项存在序列相关的扰动项存在序列相关的扰动项存在序列相关的 线性回归方程的估计与修正线性回归方程的估计与修正线性回归方程的估计与修正线性回归方程的估计与修正 线线性性回回归归模模型型扰扰动动项项序序列列相相关关的的存存在在，会会导导致致模模型型估估
31、计计结结果果的的失失真真。因因此此，必必须须对对扰扰动动项项序序列列的的结结构构给给予予正正确确的的描描述述，以以期期消消除除序序列列相相关关对对模模型型估估计计结结果果带带来来的的不不利影响。利影响。通通常常可可以以用用AR(p)模模型型来来描描述述一一个个平平稳稳序序列列的的自自相相关的结构，定义如下：关的结构，定义如下：(5.1.10)(5.1.11)28 其其中中：ut 是是无无条条件件扰扰动动项项，它它是是回回归归方方程程（5.1.10）的的扰扰动动项项，参参数数 0，1，2，k 是是回回归归模模型型的的系系数数。式式（5.1.11）是是扰扰动动项项ut的的 p 阶阶自自回回归归模模
32、型型，参参数数 1，2，p 是是 p 阶阶自自回回归归模模型型的的系系数数，t 是是无无条条件件扰扰动动项项ut自自回回归归模模型型的的误误差差项项，并并且且是是均均值值为为0，方方差差为为常常数数的的白白噪噪声声序序列列，它它是是因因变变量量真真实实值值和和以以解解释释变变量量及及以以前前预预测测误误差为基础的预测值之差。差为基础的预测值之差。下下面面将将讨讨论论如如何何利利用用AR(p)模模型型修修正正扰扰动动项项的的序序列列相相关关，以以及及用用什什么么方方法法来来估估计计消消除除扰扰动动项项后后方方程程的的未未知知参数。参数。29 1 1修正一阶序列相关修正一阶序列相关修正一阶序列相关
33、修正一阶序列相关 最最简简单单且且最最常常用用的的序序列列相相关关模模型型是是一一阶阶自自回回归归AR(1)模模型型。为为了了便便于于理理解解，先先讨讨论论一一元元线线性性回回归归模模型型，并并且且具具有有一一阶序列相关的情形，即阶序列相关的情形，即p=1的情形：的情形：(5.1.12)(5.1.13)把式（把式（5.1.13）带入式（）带入式（5.1.12）中得到）中得到 (5.1.14)30然而，由式（然而，由式（5.1.12）可得）可得 (5.1.15)再把式（再把式（5.1.15）代入式（）代入式（5.1.14）中，并整理）中，并整理 (5.1.16)令令 ，代入式（，代入式（5.1.
34、16）中有）中有 (5.1.17)如如果果已已知知 的的具具体体值值，可可以以直直接接使使用用OLS方方法法进进行行估估计计。如如果果 的的值值未未知知，通通常常可可以以采采用用GaussNewton迭迭代代法法求求解解，同时得到同时得到 ，0，1的估计量。的估计量。31 2 2修正高阶序列相关修正高阶序列相关修正高阶序列相关修正高阶序列相关 通通常常如如果果残残差差序序列列存存在在p阶阶序序列列相相关关，误误差差形形式式可可以以由由AR(p)过过程程给给出出。对对于于高高阶阶自自回回归归过过程程，可可以以采采取取与与一一阶阶序序列列相相关关类类似似的的方方法法，把把滞滞后后误误差差逐逐项项代
35、代入入，最最终终得得到到一一个个误误差差项项为为白白噪噪声声序序列列，参参数数为为非非线线性性的的回回归归方方程程，并并且采用且采用Gauss-Newton迭代法求得非线性回归方程的参数。迭代法求得非线性回归方程的参数。例例如如，仍仍讨讨论论一一元元线线性性回回归归模模型型，并并且且扰扰动动项项序序列列具具有有3阶序列相关的情形，即阶序列相关的情形，即p=3的情形：的情形：32(5.1.18)(5.1.19)按按照照上上面面处处理理AR(1)的的方方法法，把把扰扰动动项项的的滞滞后后项项代代入入原原方程中去，得到如下表达式：方程中去，得到如下表达式：(5.1.20)通通过过一一系系列列的的化化
36、简简后后，仍仍然然可可以以得得到到参参数数为为非非线线性性，误误差差项项 t 为为白白噪噪声声序序列列的的回回归归方方程程。运运用用非非线线性性最最小小二二乘乘法法，可以估计出回归方程的未知参数可以估计出回归方程的未知参数 0,1,1,2,3。33 我们可以将上述讨论引申到更一般的情形：对于非线我们可以将上述讨论引申到更一般的情形：对于非线性形式为性形式为 f(xt,)的非线性模型，的非线性模型，xt=1,x1t,x2t,xkt，=0,1,k，若扰动项序列存在，若扰动项序列存在p阶序列阶序列相关，相关，(5.1.21)(5.1.22)也也可可用用类类似似方方法法转转换换成成误误差差项项 t为为
37、白白噪噪声声序序列列的的非非线线性回归方程，以性回归方程，以p=1为例，为例，(5.1.23)使用使用Gauss-Newton算法来估计参数。算法来估计参数。34 3.3.在在在在EviewsEviews中的操作：中的操作：中的操作：中的操作：打打开开一一个个方方程程估估计计窗窗口口，输输入入方方程程变变量量，最最后后输输入入ar(1)ar(2)ar(3)。针对例。针对例5.2定义方程为：定义方程为：35 需需要要注注意意的的是是，输输入入的的ar(1)ar(2)ar(3)分分别别代代表表3个个滞滞后后项项的的系系数数，因因此此，如如果果我我们们认认为为扰扰动动项项仅仅仅仅在在滞滞后后2阶和滞
38、后阶和滞后4阶存在自相关，其他滞后项不存在自相关，即阶存在自相关，其他滞后项不存在自相关，即则估计时应输入：则估计时应输入：cs c gdp cs(-1)ar(2)ar(4)EViews在在消消除除序序列列相相关关时时给给予予很很大大灵灵活活性性，可可以以输输入入模模型型中中想想包包括括的的各各个个自自回回归归项项。例例如如，如如果果有有季季度度数数据据而而且且想想用用一一个个单单项项来来消消除除季季节节自自回回归归，可可以以输输入入：cs c gdp cs(-1)ar(4)。36 例例例例5.3 5.3 用用用用AR(p)AR(p)模型修正回归方程残差序列的自相关（模型修正回归方程残差序列的
39、自相关（模型修正回归方程残差序列的自相关（模型修正回归方程残差序列的自相关（1 1）例例5.1中中检检验验到到美美国国投投资资方方程程的的残残差差序序列列存存在在一一阶阶序序列列相相关。这里将采用关。这里将采用AR(1)模型来修正投资方程的自相关性：模型来修正投资方程的自相关性：t=1,2,T 回归估计的结果如下：回归估计的结果如下：t=(1.79)（55.36）t=(4.45)R2=0.86 D.W.=1.47 37 再对新的残差序列进行再对新的残差序列进行LM检验检验(p=2)，最终得到的检，最终得到的检验结果如下：验结果如下：检验结果不能拒绝原假设，即修正后的回归方程的残检验结果不能拒绝
40、原假设，即修正后的回归方程的残差序列不存在序列相关性。因此，用差序列不存在序列相关性。因此，用AR(1)模型修正后的回模型修正后的回归方程的估计结果是有效的。归方程的估计结果是有效的。38例例例例5.4 5.4 用用用用AR(p)AR(p)模型修正回归方程残差序列的自相关模型修正回归方程残差序列的自相关模型修正回归方程残差序列的自相关模型修正回归方程残差序列的自相关 例例5.2中中检检验验到到带带有有滞滞后后因因变变量量的的回回归归方方程程的的残残差差序序列列存存在在明明显显的的序序列列自自相相关关。而而且且从从相相关关图图看看到到，可可以以采采用用AR(3)模型来修正回归方程的自相关性。模型
41、来修正回归方程的自相关性。回归估计的结果如下：回归估计的结果如下：39 模型建立如下：模型建立如下：t=(-3.9)(7.29)（13.54）t=(4.85)(3.07)（3.03）R2=0.999 D.W=1.94 40 再对新的残差序列再对新的残差序列 进行进行LM检验，最终得到的检验结果如下：检验，最终得到的检验结果如下：给出纠正后的残差序列的给出纠正后的残差序列的Q-统计量和序列相关图，在直观上认识统计量和序列相关图，在直观上认识到消除序列相关后的残差序列是一个随机扰动序列。到消除序列相关后的残差序列是一个随机扰动序列。41含有含有含有含有ARAR项模型的估计输出项模型的估计输出项模型
42、的估计输出项模型的估计输出 当当估估计计某某个个含含有有AR项项的的模模型型时时，在在解解释释结结果果时时一一定定要要小小心心。在在用用通通常常的的方方法法解解释释估估计计系系数数、系系数数标标准准误误差差和和t-统统计计量量时时，涉涉及及残残差差的的结结果果会会不不同同于于OLS的的估估计计结果。结果。要要理理解解这这些些差差别别，记记住住一一个个含含有有AR项项的的模模型型有有两两种残差：种残差：第一种是第一种是无条件残差无条件残差无条件残差无条件残差 通过原始变量以及估计参数通过原始变量以及估计参数 算出。在用同期信息对算出。在用同期信息对 yt 值进行预测时，这些残差是可以观测出的误差
43、，但要忽值进行预测时，这些残差是可以观测出的误差，但要忽略滞后残差中包含的信息。略滞后残差中包含的信息。42 第第二二种种残残差差是是估估计计的的一一一一期期期期向向向向前前前前预预预预测测测测误误误误差差差差 。如如名所示，这种残差代表预测误差。名所示，这种残差代表预测误差。对对于于含含有有AR项项的的模模型型，基基于于残残差差的的回回归归统统计计量量，如如R2(回回归归标标准准误误差差)和和D-W值值都都是是以以一一期期向向前前预预测测误误差差 为为基基础础的的。含含有有AR项项的的模模型型独独有有的的统计量是估计的统计量是估计的AR系数系数 。43 对对于于简简单单AR(1)模模型型，是
44、是无无条条件件残残差差 的的序序列列相相关关系系数数。对对于于平平稳稳AR(1)模模型型，1 在在-1（极极端端负负序序列列相相关关）和和+1（极极端端正正序序列列相相关关）之之间间。一一一一般般般般AR(AR(p p)平平平平稳条件是：滞后算子多项式的根的倒数在单位圆内。稳条件是：滞后算子多项式的根的倒数在单位圆内。稳条件是：滞后算子多项式的根的倒数在单位圆内。稳条件是：滞后算子多项式的根的倒数在单位圆内。EViews在回归输出的底部给出这些根：在回归输出的底部给出这些根：Inverted AR Roots。如果存在虚根，根的模应该小于。如果存在虚根，根的模应该小于1。44 另另外外：EVi
45、ews可可以以估估计计带带有有AR误误差差项项的的非非非非线线线线性性性性回回回回归模型归模型归模型归模型。例例如如：将将例例5.4中中的的模模型型变变为为如如下下的的非非线线性性模模型型，估估计如下带有附加修正项计如下带有附加修正项AR(3)的非线性方程：的非线性方程：用公式法输入：用公式法输入：cs=c(1)+gdpc(2)+c(3)*cs(-1)+ar(1)=c(4),ar(1)=c(4),ar(2)=c(5),ar(2)=c(5),ar(3)=c(6)ar(3)=c(6)45 输出结果显示为：输出结果显示为：46 5.2 5.2 平稳时间序列建模平稳时间序列建模平稳时间序列建模平稳时间
46、序列建模 本本节节将将不不再再仅仅仅仅以以一一个个回回归归方方程程的的扰扰动动项项序序列列为为研研究究对对象象，而而是是直直接接讨讨论论一一个个平平稳稳时时间间序序列列的的建建模模问问题题。在在现现实实中中很很多多问问题题，如如利利率率波波动动、收收益益率率变变化化及及汇汇率率变变化化等等通通常常是是一一个个平平稳稳序序列列，或或者者通通过过差差分分等等变变换可以化成一个平稳序列。换可以化成一个平稳序列。本本 节节 中中 介介 绍绍 的的 ARMA模模 型型(autoregressive moving average models)可可以以用用来来研研究究这这些些经经济济变变量量的的变变化化规
47、规律律，这这样样的的一一种种建建模模方方式式属属于于时时间间序序列列分分析析的的研究范畴。研究范畴。47 经济时间序列不同于横截面数据存在重复抽样经济时间序列不同于横截面数据存在重复抽样的情况，它是一个随机事件的惟一记录，如中国的情况，它是一个随机事件的惟一记录，如中国1980年年2004年的进出口总额是惟一的实际发生的年的进出口总额是惟一的实际发生的历史记录。从经济的角度看，这个过程是不可重复历史记录。从经济的角度看，这个过程是不可重复的。横截面数据中的随机变量可以非常方便地通过的。横截面数据中的随机变量可以非常方便地通过其均值、方差或生成数据的概率分布加以描述，但其均值、方差或生成数据的概
48、率分布加以描述，但是在时间序列中这种描述很不清楚。因此，经济时是在时间序列中这种描述很不清楚。因此，经济时间序列需要对均值和方差给出明晰的定义。间序列需要对均值和方差给出明晰的定义。5.2.1 5.2.1 平稳时间序列的概念平稳时间序列的概念平稳时间序列的概念平稳时间序列的概念 48 如果随机过程如果随机过程 的均值和方差、自协方差都不取决于的均值和方差、自协方差都不取决于 t，则称，则称ut是协方差是协方差平稳的或弱平稳的：平稳的或弱平稳的：注意，如果一个随机过程是弱平稳的，则注意，如果一个随机过程是弱平稳的，则 ut 与与 ut-s 之间之间的协方差仅取决于的协方差仅取决于s，即仅与观测值
49、之间的间隔长度，即仅与观测值之间的间隔长度s有关，有关，而与时期而与时期t 无关。一般所说的无关。一般所说的“平稳性平稳性”含义就是上述的弱含义就是上述的弱平稳定义。平稳定义。对所有的对所有的 t 对所有的对所有的 t 对所有的对所有的 t 和和 s(5.2.1)(5.2.2)(5.2.3)495.2.2 ARMA5.2.2 ARMA模型模型模型模型 1.1.自回归模型自回归模型自回归模型自回归模型AR(AR(p p)p 阶自回归模型记作阶自回归模型记作AR(p)，满足下面的方程：，满足下面的方程：(5.2.4)其其中中：参参数数 c 为为常常数数；1,2,p 是是自自回回归归模模型型系系数数
50、；p为为自自回回归归模模型型阶阶数数；t 是是均均值值为为0，方方差差为为 2 的的白白噪噪声声序列。序列。50 2.2.移动平均模型移动平均模型移动平均模型移动平均模型MA(MA(q q)q 阶阶移移动动平平均均模模型型记记作作MA(q)，满满足足下下面面的的方方程：程：(5.2.5)其其中中：参参数数 为为常常数数；参参数数 1,2,q 是是 q 阶阶移移动动平平均均模模型型的的系系数数；t 是是均均值值为为0，方方差差为为 2的的白白噪噪声序列。声序列。51 3.ARMA(3.ARMA(p p,q q)模型模型模型模型 (5.2.6)显显然然此此模模型型是是模模型型(5.2.4)与与(5