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1、时间序列分析简介时间序列分析简介最早的时间序列分析可以追溯到最早的时间序列分析可以追溯到7000年前年前的古埃及的古埃及l引言引言尼罗河涨落的情况尼罗河涨落的情况古埃及的农业迅速发展古埃及的农业迅速发展埃及灿烂的史前文明埃及灿烂的史前文明按照时间的顺序把随机事件变化发展的过按照时间的顺序把随机事件变化发展的过程记录下来就构成了一个程记录下来就构成了一个时间序列时间序列随机序列：按时间顺序排列的一组随机变量随机序列：按时间顺序排列的一组随机变量l时间序列的定义时间序列的定义观察值序列：随机序列的观察值序列：随机序列的n个有序观察值，称个有序观察值，称之为序列长度为之为序列长度为n的观察值序列的观
2、察值序列l时间序列分析方法时间序列分析方法描述性时序分析描述性时序分析统计时序分析统计时序分析l描述性时序分析案例描述性时序分析案例 太阳黑子的活动太阳黑子的活动l统计时序分析统计时序分析频域分析方法频域分析方法时域分析方法时域分析方法原理原理l时域分析方法时域分析方法事件的发展惯性事件的发展惯性序列值之间的关系序列值之间的关系统计规律统计规律目的目的l时域分析方法时域分析方法寻找统计规律寻找统计规律拟合数学模型拟合数学模型预测未来走势预测未来走势时间序列的预处理时间序列的预处理平稳性检验平稳性检验纯随机性检验纯随机性检验l宽平稳序列宽平稳序列特征统计量特征统计量均值均值方差方差自协方差自协方
3、差自相关系数自相关系数l宽平稳序列宽平稳序列l宽平稳序列的特征宽平稳序列的特征协方差结构的平移不变性协方差结构的平移不变性常数均值常数均值常数方差常数方差实际应用的普遍性实际应用的普遍性l平稳性的检验平稳性的检验 图检验方法图检验方法统计检验方法统计检验方法时序图检验时序图检验自相关图检验自相关图检验单位根检验单位根检验l时序图检验时序图检验 根据平稳时间序列均值、方差为常数的性根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质，平稳序列的时序图应该显示出该序列质，平稳序列的时序图应该显示出该序列始终在一个常数值附近随机波动，而且波始终在一个常数值附近随机波动，而且波动的范围有界、无明显趋势及周期动的范围
4、有界、无明显趋势及周期l自相关图检验自相关图检验 平稳序列通常具有短期相关性。该性质用平稳序列通常具有短期相关性。该性质用自相关系数来描述就是随着延迟期数的增自相关系数来描述就是随着延迟期数的增加，平稳序列的自相关系数会很快地衰减加，平稳序列的自相关系数会很快地衰减向零向零l例子例子 例例1.检验检验1964年年1999年中国纱年产量年中国纱年产量 序列的平稳性序列的平稳性时时序序图图自相关图自相关图l例子例子 例例2.检验检验1962年年1月月1975年年12月平均月平均 每头奶牛月产奶量序列的平稳性每头奶牛月产奶量序列的平稳性时时序序图图自相关图自相关图l例子例子 例例3.检验检验1949
5、年年1998年北京市每年年北京市每年 最高气温序列的平稳性最高气温序列的平稳性时时序序图图自相关图自相关图l纯随机序列纯随机序列没有记忆的序列没有记忆的序列过去的行为对将来的发展丝毫没有影响过去的行为对将来的发展丝毫没有影响纯随机序列是没有任何分析价值的序列纯随机序列是没有任何分析价值的序列l纯随机序列纯随机序列l白噪声序列的性质白噪声序列的性质纯随机性纯随机性方差齐性方差齐性 l例子例子 例例4.随机产生随机产生1000个服从标准正态分布的个服从标准正态分布的 白噪声序列观察值白噪声序列观察值.时时序序图图自相关图自相关图l纯随机性检验纯随机性检验检验原理检验原理Barlett定理定理l纯随
6、机性检验纯随机性检验假设条件假设条件l纯随机性检验纯随机性检验检验统计量检验统计量Q统计量统计量LB统计量统计量l纯随机性检验纯随机性检验判别原则判别原则当检验统计量大于当检验统计量大于 分位点，或该统分位点，或该统计量的计量的P值小于值小于 时，则可以以时，则可以以 的置的置信水平拒绝原假设，认为该序列为非白噪信水平拒绝原假设，认为该序列为非白噪声序列，否则，就接受原假设，即认为该声序列，否则，就接受原假设，即认为该序列为白噪声序列。序列为白噪声序列。l例子例子 例例4.(续续)检验结果检验结果延迟延迟 统计量检验统计量检验统计量值统计量值P值值延迟延迟6期期2.360.8838延迟延迟12
7、期期5.350.9454结论：结论：接受原假设接受原假设即该序列是白噪声序列即该序列是白噪声序列l例子例子 时时序序图图例例5.对对1950年年1998年北京市城乡居民年北京市城乡居民 定期储蓄所占比例序列的平稳性与纯定期储蓄所占比例序列的平稳性与纯 随机性进行检验随机性进行检验 自相关图自相关图检验结果检验结果延迟延迟 统计量检验统计量检验统计量值统计量值P值值延迟延迟6期期75.460.0001延迟延迟12期期82.570.0001结论：结论：拒绝原假设拒绝原假设即该序列是非白噪声序列即该序列是非白噪声序列平稳非白噪声序列的建模及预测平稳非白噪声序列的建模及预测平稳时间序列分析平稳时间序列
8、分析l差分运算差分运算一阶差分一阶差分p阶阶差分差分k步步差分差分l延迟算子延迟算子l延迟算子与差分运算延迟算子与差分运算k阶阶差分差分k步步差分差分l线性差分方程线性差分方程 AR模型（模型（Auto Regression Model）MA模型（模型（Moving Average Model）ARMA模型模型（Auto Regression Moving Average model）lAR模型模型具有具有如下结构的模型称为如下结构的模型称为p阶自回归模型，阶自回归模型，简记为简记为AR(p)lAR(p)序列中心化变换序列中心化变换令令今后都简化为对中心化模型进行分析今后都简化为对中心化模型进
9、行分析lAR模型模型p阶自回归系数多项式阶自回归系数多项式lAR模型平稳性判别模型平稳性判别 图示法图示法特征根判别法特征根判别法平稳域判别法平稳域判别法l例子例子 例例1.考察如下四个模型的平稳性考察如下四个模型的平稳性时时序序图图图示法图示法时时序序图图时时序序图图时时序序图图l特征根判别特征根判别AR(p)模型平稳的充要条件是它的特征根模型平稳的充要条件是它的特征根都在单位圆内都在单位圆内AR(p)模型平稳的充要条件是自回归系数模型平稳的充要条件是自回归系数多项式的根都在单位圆外多项式的根都在单位圆外l平稳域判别平稳域判别AR(p)模型的平稳域模型的平稳域lAR(1)模型的平稳域模型的平
10、稳域lAR(2)模型的平稳域模型的平稳域l例子例子 例例2.考察如下四个模型的平稳性考察如下四个模型的平稳性模模型型特征根判别特征根判别平稳域判别平稳域判别结结论论(1)平稳平稳(2)非非平稳平稳(3)平稳平稳(4)非非平稳平稳l平稳平稳AR模型自相关系数的性质模型自相关系数的性质拖尾性拖尾性呈复指数衰减呈复指数衰减l例子例子 例例3.考察如下考察如下AR模型的自相关图模型的自相关图l平稳平稳AR模型偏自相关系数的模型偏自相关系数的截尾性截尾性例例4.考察如下考察如下AR模型的偏自相关图模型的偏自相关图lMA模型模型具有具有如下结构的模型称为如下结构的模型称为q阶移动平均模型，阶移动平均模型，
11、简记为简记为MA(q)lMA模型模型q阶移动平均系数多项式阶移动平均系数多项式l例子例子 例例5.考察如下考察如下MA模型的相关性质模型的相关性质自自相相关关图图自自相相关关图图偏偏自自相相关关图图偏偏自自相相关关图图lMA模型的可逆性模型的可逆性自相关系数的不唯一性自相关系数的不唯一性自相关系数和模型之间不是一一对应自相关系数和模型之间不是一一对应给模型增加约束条件给模型增加约束条件可逆性条件可逆性条件lMA(q)模型的可逆条件模型的可逆条件特征根判别特征根判别MA(q)模型可逆的充要条件是它的特征根模型可逆的充要条件是它的特征根都在单位圆内都在单位圆内MA(q)模型可逆的充要条件是移动平均
12、系模型可逆的充要条件是移动平均系数多项式的根都在单位圆外数多项式的根都在单位圆外lMA(q)模型的可逆条件模型的可逆条件可逆域判别可逆域判别MA(q)模型的可逆域模型的可逆域lMA(1)模型的可逆域模型的可逆域lMA(2)模型的可逆域模型的可逆域lARMA模型模型具有具有如下结构的模型称为自回归移动平均如下结构的模型称为自回归移动平均模型，简记为模型，简记为ARMA(p,q)lARMA模型模型l平稳条件平稳条件ARMA(p,q)模型的平稳条件模型的平稳条件:l可逆条件可逆条件ARMA(p,q)模型的可逆条件模型的可逆条件:l例子例子 例例6.拟合下列模型拟合下列模型ARMA(1,1),并直观地
13、并直观地 考察该模型自相关系数和偏自相关系考察该模型自相关系数和偏自相关系 数的性质。数的性质。自相关系数拖尾性自相关系数拖尾性自自相相关关图图偏自相关系数拖尾性偏自相关系数拖尾性偏偏自自相相关关图图模型模型自相关系数自相关系数偏自相关系数偏自相关系数AR(p)拖尾拖尾P阶截尾阶截尾MA(q)q阶截尾阶截尾拖尾拖尾ARMA(p,q)拖尾拖尾拖尾拖尾lARMA模型相关性特征模型相关性特征l平稳序列建模平稳序列建模 建模步骤建模步骤模型识别模型识别参数估计参数估计模型检验模型检验模型优化模型优化序列预测序列预测平平稳稳非非白白噪噪声声序序列列计计算算样样本本相相关关系系数数模型模型识别识别参数参数
14、估计估计模型模型检验检验模模型型优优化化序序列列预预测测YNl建模步骤建模步骤 l计算样本相关系数计算样本相关系数样本自相关系数样本自相关系数样本偏自相关系数样本偏自相关系数选择模型选择模型选择模型选择模型拖尾拖尾拖尾拖尾p p阶截尾阶截尾阶截尾阶截尾AR(p)q q阶截尾阶截尾阶截尾阶截尾拖尾拖尾拖尾拖尾MA(q)拖尾拖尾拖尾拖尾拖尾拖尾拖尾拖尾ARMA(p,q)l模型识别模型识别l模型识别的困难模型识别的困难由于样本的随机性，样本的相关系数不会呈现由于样本的随机性，样本的相关系数不会呈现出理论截尾的完美情况，本应截尾的出理论截尾的完美情况，本应截尾的ACF或或PACF仍会呈现出小值振荡的情
15、况仍会呈现出小值振荡的情况由于平稳时间序列通常都具有短期相关性，随由于平稳时间序列通常都具有短期相关性，随着延迟阶数的增加，着延迟阶数的增加，ACF与与PACF都会衰减至零都会衰减至零值附近作小值波动值附近作小值波动当当ACF或或PACF在延迟若干阶之后衰减为小值在延迟若干阶之后衰减为小值波动时，什么情况下该看作相关系数截尾，什么波动时，什么情况下该看作相关系数截尾，什么情况下该看作相关系数在延迟若干阶之后正常衰情况下该看作相关系数在延迟若干阶之后正常衰减到零值附近作拖尾波动呢？减到零值附近作拖尾波动呢？l模型定阶经验方法模型定阶经验方法如果样本如果样本(偏偏)自相关系数在最初的自相关系数在最
16、初的d阶明显大于两阶明显大于两倍标准差范围，而后几乎倍标准差范围，而后几乎95的自相关系数都落的自相关系数都落在在2倍标准差的范围以内，而且通常由非零自相关倍标准差的范围以内，而且通常由非零自相关系数衰减为小值波动的过程非常突然。这时，通系数衰减为小值波动的过程非常突然。这时，通常视为常视为(偏偏)自相关系数截尾。截尾阶数为自相关系数截尾。截尾阶数为d。l例子例子 例例7.选择合适的选择合适的ARMA模型拟合模型拟合1950年年 1998年北京市城乡居民定期储蓄年北京市城乡居民定期储蓄 比例序列。比例序列。时时序序图图延迟延迟 统计量检验统计量检验统计量值统计量值P值值延迟延迟6期期75.46
17、0.0001延迟延迟12期期82.570.0001该序列是非白噪声序列该序列是非白噪声序列自相关图自相关图自相关系数拖尾自相关系数拖尾偏自相关图偏自相关图偏自相关系数偏自相关系数1阶截尾阶截尾AR(1)模型模型l例子例子 例例8.选择合适的选择合适的ARMA模型拟合模型拟合美国科罗美国科罗 拉多州某一加油站连续拉多州某一加油站连续57天的天的 OVERSHORT序列序列 时时序序图图自相关图自相关图自相关系数自相关系数1阶截尾阶截尾偏自相关图偏自相关图偏自相关系数拖尾偏自相关系数拖尾MA(1)模型模型矩估计矩估计极大似然估计极大似然估计最小二乘估计最小二乘估计l参数估计参数估计l例子例子 例例
18、7续续.确定确定1950年年1998年北京市城乡年北京市城乡 居民定期储蓄比例序列拟合模型的居民定期储蓄比例序列拟合模型的 口径口径 拟合模型拟合模型:AR(1)估计方法估计方法:极大似然估计极大似然估计模型口径模型口径:l例子例子 例例8续续.确定确定美国科罗拉多州某一加油站连美国科罗拉多州某一加油站连 续续57天的天的OVERSHORTS序列拟合序列拟合 模型的口径模型的口径 拟合模型拟合模型:MA(1)估计方法估计方法:最小二乘估计最小二乘估计模型口径模型口径:l模型检验模型检验模型的显著性检验模型的显著性检验整个模型对信息的提取是否充分整个模型对信息的提取是否充分参数的显著性检验参数的
19、显著性检验模型结构是否最简模型结构是否最简残差项是否含有相关信息残差项是否含有相关信息每一个参数是否显著非零每一个参数是否显著非零l模型的显著性检验模型的显著性检验检验目的检验目的检验模型的有效性检验模型的有效性,对信息的提取是否充分对信息的提取是否充分判定原则判定原则残差序列是否为白噪声序列残差序列是否为白噪声序列检验对象检验对象残差序列残差序列l参数的显著性检验参数的显著性检验检验目的检验目的删除不显著参数使模型结构最精简删除不显著参数使模型结构最精简 判定原则判定原则每一个未知参数是否显著非零每一个未知参数是否显著非零检验对象检验对象模型参数模型参数l例子例子 例例7续续.检验检验195
20、0年年1998年北京市城乡年北京市城乡 居民定期储蓄比例序列拟合模型的居民定期储蓄比例序列拟合模型的 显著性显著性 延迟阶数延迟阶数延迟阶数延迟阶数LBLBLBLB统计量统计量统计量统计量P P P P值值值值检验结论检验结论检验结论检验结论6 6 6 65.835.835.835.830.32290.32290.32290.3229拟合模型拟合模型拟合模型拟合模型显著有效显著有效显著有效显著有效1212121210.2810.2810.2810.280.50500.50500.50500.50501818181811.3811.3811.3811.380.83610.83610.83610.
21、8361残差白噪声检验残差白噪声检验检验参数检验参数检验参数检验参数t t t t统计量统计量统计量统计量P P P P值值值值结论结论结论结论均值均值均值均值46.1246.1246.1246.120.00010.00010.00010.0001显著显著显著显著6.726.726.726.720.00010.00010.00010.0001显著显著显著显著参数显著性检验参数显著性检验l例子例子 例例8续续.对对OVERSHORTS序列的拟合模型序列的拟合模型 进行检验进行检验 检验参数检验参数检验参数检验参数t t t t统计量统计量统计量统计量P P P P值值值值结论结论结论结论均值均值
22、均值均值3.753.753.753.750.00040.00040.00040.0004显著显著显著显著10.6010.6010.6010.600.00010.00010.00010.0001显著显著显著显著延迟阶数延迟阶数延迟阶数延迟阶数LBLBLBLB统计量统计量统计量统计量P P P P值值值值结论结论结论结论6 6 6 63.153.153.153.150.67720.67720.67720.6772模型显著模型显著模型显著模型显著有效有效有效有效121212129.059.059.059.050.61710.61710.61710.6171残差白噪声检验残差白噪声检验参数显著性检验参
23、数显著性检验l模型优化模型优化问题提出问题提出当一个拟合模型通过了检验，说明在一当一个拟合模型通过了检验，说明在一定的置信水平下，该模型能有效地拟合定的置信水平下，该模型能有效地拟合观察值序列的波动，但这种有效模型并观察值序列的波动，但这种有效模型并不是唯一的。不是唯一的。优化目的优化目的选择相对最优模型选择相对最优模型 l例子例子 例例9.拟合某一化学反应序列拟合某一化学反应序列时时序序图图白噪声检验结果白噪声检验结果自相关系数自相关系数2阶截尾阶截尾MA(2)模型模型偏自相关系数偏自相关系数1阶截尾阶截尾AR(1)模型模型检验参数检验参数检验参数检验参数t t t t统计量统计量统计量统计
24、量P P P P值值值值结论结论结论结论均值均值均值均值39.8439.8439.8439.840.00010.00010.00010.0001显著显著显著显著2.662.662.662.660.00990.00990.00990.0099显著显著显著显著-2.54-2.54-2.54-2.540.01340.01340.01340.0134显著显著显著显著延迟阶数延迟阶数延迟阶数延迟阶数LBLBLBLB统计量统计量统计量统计量P P P P值值值值结论结论结论结论6 6 6 62.282.282.282.280.68420.68420.68420.6842模型显著模型显著模型显著模型显著有效
25、有效有效有效121212124.464.464.464.460.92420.92420.92420.92421818181810.7910.7910.7910.790.82250.82250.82250.82252424242413.7113.7113.7113.710.91150.91150.91150.9115模型一的残差白噪声检验模型一的残差白噪声检验模型一的参数显著性检验模型一的参数显著性检验MA(2)有效有效检验参数检验参数检验参数检验参数t t t t统计量统计量统计量统计量P P P P值值值值结论结论结论结论均值均值均值均值55.5555.5555.5555.550.00010
26、.00010.00010.0001显著显著显著显著-3.67-3.67-3.67-3.670.00050.00050.00050.0005显著显著显著显著延迟阶数延迟阶数延迟阶数延迟阶数LBLBLBLB统计量统计量统计量统计量P P P P值值值值结论结论结论结论6 6 6 64.604.604.604.600.46700.46700.46700.4670模型显著模型显著模型显著模型显著有效有效有效有效121212127.007.007.007.000.79910.79910.79910.79911818181814.4514.4514.4514.450.63470.63470.63470.6
27、3472424242418.2418.2418.2418.240.74430.74430.74430.7443模型二的残差白噪声检验模型二的残差白噪声检验模型二的参数显著性检验模型二的参数显著性检验AR(1)有效有效AIC准则准则SBC准则准则l模型优化模型优化l例子例子 例例9续续.用用AIC准则和准则和SBC准则评判例准则评判例9 中两个拟合模型的相对优劣中两个拟合模型的相对优劣 模型模型AICAICSBCSBCMA(2)MA(2)536.4556536.4556543.2011543.2011AR(1)AR(1)535.7896535.7896540.2866540.2866AR(1)模型优于模型优于MA(2)模型模型l序列预测序列预测预测方差最小原则预测方差最小原则