《复变函数全书知识点精选PPT.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复变函数全书知识点精选PPT.ppt（258页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、复变函数全书知识点第1页，讲稿共258张，创作于星期日复数的诞生先从二次方程谈起:公元前400年，巴比伦人发现和使用 则当时无解，当时有解二千多年没有进展：寻找三次方程的一般根式解G.Cardano(1501-1576):怪才，精通数学，医学，语言学，文学，占星学他发现没有根，形式地表为第2页，讲稿共258张，创作于星期日L.Euler(1707-1783):瑞典数学家,13岁入大学，17岁获硕士,30岁右眼失明，60岁完全失明1748年：Euler公式C.Wessel(挪威1745-1818)和R.Argand(法国1768-1822）将复数用平面向量或点来表示K.F.Gauss(德国177
2、7-1855)与W.R.Hamilton(爱尔兰1805-1865)定义复数 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性的怀疑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立和发展R.Descartes(笛卡儿):1596-1650,法国哲学家，坐标几何的创始人1637他称一个负数的开方为虚数(imaginarynumber).1777年：首次使用i表示，创立了复变函数论，并应用到水利学，地图制图学第3页，讲稿共258张，创作于星期日复变函数的理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中平面问题的有力工具。第一章 复数与复变函数1.1 复数及其运
3、算 定义定义 对任意两实数对任意两实数x、y,称称 z=x+iy或或z=x+yi为为复数。复数。1.复数的概念复数的概念第4页，讲稿共258张，创作于星期日A 一般一般,任意两个复数不能比较大小。任意两个复数不能比较大小。复数复数z 的实部的实部 Re(z)=x;虚部虚部 Im(z)=y.(real part)(imaginary part)复数的模复数的模 判断复数相等判断复数相等第5页，讲稿共258张，创作于星期日定义定义 z1=x1+iy1与与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：的和、差、积和商为：z1z2=(x1x2)+i(y1y2)z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1
4、x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)2.代数运算代数运算四则运算四则运算第6页，讲稿共258张，创作于星期日z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.运算规律运算规律复数的运算满足交换律、结合律、分配律。复数的运算满足交换律、结合律、分配律。（与实数相同与实数相同）即，）即，第7页，讲稿共258张，创作于星期日共轭复数的性质共轭复数的性质3.共轭复数共轭复数定义定义 若若z=x+iy,称称 z=x-iy 为为z 的共轭复数的共轭复数.(conjugate)第8页，讲稿
5、共258张，创作于星期日第9页，讲稿共258张，创作于星期日第10页，讲稿共258张，创作于星期日1.点的表示点的表示点的表示：点的表示：A 数数z z与点与点z z同义同义.1.2 复数的几何表示第11页，讲稿共258张，创作于星期日2.向量表示法向量表示法A oxy(z)P(x,y)xy 称向量的长度为复数称向量的长度为复数z=x+iy的的模模或或绝对值绝对值；以正实轴以正实轴 为始边为始边,以以 为终边的角的为终边的角的弧度数弧度数 称为复数称为复数z=x+iy的的辐角辐角.(z0时时)第12页，讲稿共258张，创作于星期日辐角无穷多：辐角无穷多：Arg z=0+2k，kZ，把其中满足把
6、其中满足 的的0称为辐角称为辐角Argz的主值，的主值，记作记作0=argz。A z=0z=0时，辐角不确定。时，辐角不确定。计算计算argz(z0)的公式的公式第13页，讲稿共258张，创作于星期日A 当当z z落于一落于一,四象限时，不变。四象限时，不变。A 当当z z落于第二象限时，加落于第二象限时，加 。A 当当z z落于第三象限时，减落于第三象限时，减 。第14页，讲稿共258张，创作于星期日oxy(z)z1z2z1+z2z2-z1由向量表示法知由向量表示法知3.三角表示法三角表示法4.指数表示法指数表示法第15页，讲稿共258张，创作于星期日例1将下列复数化为三角表示式与指数表示式
7、.解1)z在第三象限,因此因此第16页，讲稿共258张，创作于星期日2)显然,r=|z|=1,又因此练习：练习：写出的辐角和它的指数形式。解：第17页，讲稿共258张，创作于星期日很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表示;也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定它所表示的平面图形.例1将通过两点z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的直线用复数形式的方程来表示.解通过点(x1,y1)与(x2,y2)的直线可用参数方程表示为因此,它的复数形式的参数方程为z=z1+t(z2-z1).(-t 0为半径的圆为半径的圆|z-z 0|(或或 0|z z 0|0,对任意对任意 z D,均有均有
8、zG=z|z|R，则，则D是有界是有界区域区域；否则无界。；否则无界。闭区域闭区域 区域区域D与它的边界一起构成闭区域与它的边界一起构成闭区域,第37页，讲稿共258张，创作于星期日第38页，讲稿共258张，创作于星期日2.简单曲线（或简单曲线（或Jardan曲线曲线)令令z(t)=x(t)+iy(t)atb;则曲线方程可记为：则曲线方程可记为：z=z(t)，atb有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线。有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线。第39页，讲稿共258张，创作于星期日重点重点 设连续曲线设连续曲线C：z=z(t)，atb，对于对于t1(a，b),t2 a,b,当当t1t2时，
9、若时，若z(t1)=z(t2)，称称z(t1)为曲线为曲线C的重点。的重点。定义定义 称称没有重点没有重点的连续曲线的连续曲线C为简单曲线或为简单曲线或 Jardan曲线曲线;若简单曲线若简单曲线C 满足满足z(a)=z(b)时，则称时，则称此曲线此曲线C是简单是简单闭闭曲线或曲线或Jordan闭闭曲线曲线。z(a)=z(b)简单闭曲线简单闭曲线z(t1)=z(t2)不是简单闭曲线不是简单闭曲线第40页，讲稿共258张，创作于星期日3.单连通域与多连通域单连通域与多连通域简单闭曲线的性质简单闭曲线的性质 任一条简单闭曲线任一条简单闭曲线 C：z=z(t)，ta，b，把复，把复平面唯一地分成三个
10、互不相交的部分：一个是有平面唯一地分成三个互不相交的部分：一个是有界区域，称为界区域，称为C的内部；一个是无界区域，称为的内部；一个是无界区域，称为C的外部；还有一个是它们的公共边界。的外部；还有一个是它们的公共边界。z(a)=z(b)Cz(a)=z(b)内部内部外部外部边界边界定义定义 复平面上的一个区域复平面上的一个区域 B，如果如果B内的任何简单闭曲线的内的任何简单闭曲线的内部总在内部总在B内内，就称，就称 B为单连通为单连通域；非单连通域称为多连通域。域；非单连通域称为多连通域。第41页，讲稿共258张，创作于星期日例如例如|z|0）是单连通的；）是单连通的；0r|z|R是多连通的。是
11、多连通的。单连通域单连通域多连通域多连通域多连通域多连通域单连通域单连通域第42页，讲稿共258张，创作于星期日1.复变函数的定义复变函数的定义与实变函数定义相类似与实变函数定义相类似定义定义A 1.5复变函数第43页，讲稿共258张，创作于星期日第44页，讲稿共258张，创作于星期日例例1例例2第45页，讲稿共258张，创作于星期日oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)在几何上，在几何上，w=f(z)可以看作：可以看作：定义域定义域函数值集合函数值集合 2.映射的概念映射的概念复变函数的几何意义复变函数的几何意义zw=f(z)w第46页，讲稿共258张，创作于星期日A 以下不再区分函数
12、与映射（变换）。以下不再区分函数与映射（变换）。A 在复变函数中用两个复平面上点集之间的在复变函数中用两个复平面上点集之间的 对应关系来表达两对变量对应关系来表达两对变量 u，v 与与 x，y 之间的对应关系，以便在研究和理解复变之间的对应关系，以便在研究和理解复变 函数问题时，可借助于几何直观函数问题时，可借助于几何直观.复变函数的几何意义是一个映射（变换）复变函数的几何意义是一个映射（变换）第47页，讲稿共258张，创作于星期日例例3解解关于实轴对称的一个映射关于实轴对称的一个映射见图见图1-11-2旋转变换旋转变换(映射映射)见图见图2例例4解解第48页，讲稿共258张，创作于星期日ox
13、y(z)x、uy、v(z)、(w)ox、uy、v(z)、(w)o图图1-1图图1-2图图2uv(w)o第49页，讲稿共258张，创作于星期日例例5oxy(z)ouv(w)oxy(z)ouv(w)R=2R=4第50页，讲稿共258张，创作于星期日 3.反函数或逆映射反函数或逆映射例例 设设 z=w2 则称则称 为为z=w2的反函数或逆映射的反函数或逆映射为多值函数为多值函数,2支支.定义定义 设设 w=f(z)的定义集合为的定义集合为G,函数值集合为函数值集合为G*则称则称z=(w)为为w=f(z)的反函数（的反函数（逆映射逆映射）.第51页，讲稿共258张，创作于星期日例例 已知映射已知映射w
14、=z3，求区域，求区域 0argz 在平面在平面w上的象。上的象。例例第52页，讲稿共258张，创作于星期日1.函数的极限函数的极限定义定义uv(w)oAxy(z)o几何意义几何意义:当变点当变点z一旦进一旦进入入z0 的充分小去的充分小去心邻域时心邻域时,它的象它的象点点f(z)就落入就落入A的的一个预先给定的一个预先给定的邻域中邻域中1.6复变函数的极限和连续性第53页，讲稿共258张，创作于星期日A (1)(1)意义中意义中 的方式是任意的的方式是任意的.与一元实变函数相比较要求更高与一元实变函数相比较要求更高.(2)A是复数是复数.2.运算性质运算性质复变函数极限与其实部和虚部极限的关
15、系：复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：定理定理1(3)若若f(z)在在 处有极限处有极限,其极限其极限是唯一的是唯一的.第54页，讲稿共258张，创作于星期日定理定理2A 以上定理用极限定义证以上定理用极限定义证!第55页，讲稿共258张，创作于星期日例例1例例2例例3第56页，讲稿共258张，创作于星期日3.函数的连续性函数的连续性定义定义定理定理3第57页，讲稿共258张，创作于星期日例例4 证明证明f(z)=argz在原点及负实轴上不连续。在原点及负实轴上不连续。证明证明xy(z)ozz第58页，讲稿共258张，创作于星期日 定理定理4 连续函数的和、差、积、商连续函数的和、差、积、
16、商(分母不为分母不为0)仍为连续函数仍为连续函数;连续函数的复合函数仍为连续函数；连续函数的复合函数仍为连续函数；连续函数的模也连续。连续函数的模也连续。有界性：有界性：第59页，讲稿共258张，创作于星期日第二章第二章 解析函数基础解析函数基础2.1复变函数的导数第60页，讲稿共258张，创作于星期日(1)导数定义导数定义定义定义 设函数设函数w=f(z)zD,且且z0、z0+zD，如果极限如果极限 存在，则称函数存在，则称函数f(z)在点在点z0处可导。处可导。称此极限值为称此极限值为f(z)在在z0的导数，的导数，记作记作 如果如果w=f(z)在区域在区域D内处处可导，则称内处处可导，则
17、称f(z)在区域在区域D内可导内可导。第61页，讲稿共258张，创作于星期日A (1)(1)z z00是在平面区域上以任意方式趋于零。是在平面区域上以任意方式趋于零。A (2)(2)z=z=x+iy,x+iy,z=z=x+iy,f=f(z+z)-f(z)x+iy,f=f(z+z)-f(z)例例1第62页，讲稿共258张，创作于星期日(2)求导公式与法则求导公式与法则 常数的导数常数的导数 c=(a+ib)=0.(zn)=nzn-1 (n是自然数是自然数).证明证明 对于复平面上任意一点对于复平面上任意一点z0，有，有-实函数中求导法则的推广实函数中求导法则的推广第63页，讲稿共258张，创作于
18、星期日 设函数设函数f(z),g(z)均可导，则均可导，则 f(z)g(z)=f (z)g(z)，f(z)g(z)=f (z)g(z)+f(z)g(z)第64页，讲稿共258张，创作于星期日复合函数的导数复合函数的导数(f g(z)=f (w)g(z)，其中其中w=g(z)。反函数的导数反函数的导数 ，其中，其中:w=f(z)与与z=(w)互为单值的反函数，且互为单值的反函数，且(w)0。第65页，讲稿共258张，创作于星期日例例3 问：函数问：函数f(z)=x+2yi是否可导？是否可导？例例2解解解解第66页，讲稿共258张，创作于星期日例例4 证明证明 f(z)=zRez只在只在z=0处才
19、可导。处才可导。证明证明第67页，讲稿共258张，创作于星期日A (1)(1)复变函数在一点处可导，要比实函数复变函数在一点处可导，要比实函数 在一点处可导要求高得多，也复杂得在一点处可导要求高得多，也复杂得 多，这是因为多，这是因为z z00是在平面区域上是在平面区域上 以任意方式趋于零的原故。以任意方式趋于零的原故。(2)(2)在高等数学中要举出一个处处连续，在高等数学中要举出一个处处连续，但处处不可导的例题是很困难的但处处不可导的例题是很困难的,但在复变函数中，却轻而易举。但在复变函数中，却轻而易举。&思考思考思考思考题题题题第68页，讲稿共258张，创作于星期日解：所以在复平面上除原点
20、外处处不可导。第69页，讲稿共258张，创作于星期日(3)可导与连续可导与连续若若 w=f(z)在点在点 z0 处可导处可导 w=f(z)点点 z0 处连续处连续.?第70页，讲稿共258张，创作于星期日可微定义可微定义:若函数w=f(z)在点z的改变量可写成(4)可导与可微可导与可微第71页，讲稿共258张，创作于星期日可导可导 可微可微易知A(z)=f(z)当f(z)=z时,dz=z.所以常记dw=df(z)=f(z)dz.第72页，讲稿共258张，创作于星期日一一.解析函数的概念解析函数的概念定义定义 如果函数如果函数w=f(z)在在z0及及z0的某个邻域内处处的某个邻域内处处 可导，则
21、称可导，则称f(z)在在z0解析；解析；如果如果f(z)在区域在区域D内每一点都解析，则称内每一点都解析，则称 f(z)在在D内解析，或称内解析，或称f(z)是是D内的解析函数内的解析函数 (全纯函数或正则函数）。全纯函数或正则函数）。如果如果f(z)在点在点z0不解析，就称不解析，就称z0是是f(z)的的奇点奇点。A (1)w=f(z)在在 D 内解析内解析 在在D内可导。内可导。(2)函数函数f(z)在在 z0 点可导，未必在点可导，未必在z0解析。解析。2.2 解析函数第73页，讲稿共258张，创作于星期日例如例如(1)w=z2 在整个复平面处处可导，故是整个复平面在整个复平面处处可导，
22、故是整个复平面 上的解析函数；上的解析函数；(2)w=1/z，除去，除去z=0点外，是整个复平面上的解析点外，是整个复平面上的解析 函数；函数；(3)w=zRez 在整个复平面上处处不解析在整个复平面上处处不解析(见例见例4)；(4)仅在原点可导，故在整个复平面上不解析。仅在原点可导，故在整个复平面上不解析。定理定理1 设设w=f(z)及及w=g(z)是区域是区域D内的解析函数，内的解析函数，则则 f(z)g(z)，f(z)g(z)及及 f(z)g(z)(g(z)0时时)均是均是D内的解析函数。内的解析函数。第74页，讲稿共258张，创作于星期日定理定理 2 设设 w=f(h)在在 h 平面上
23、的区域平面上的区域 G 内解析内解析,h=g(z)在在 z 平面上的区域平面上的区域 D 内解析内解析,h=g(z)的函数值的函数值集合集合 G，则复合函数，则复合函数w=f g(z)在在D内处处解析。内处处解析。第75页，讲稿共258张，创作于星期日如果复变函数如果复变函数 w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定义域在定义域 D内处处可导，则函数内处处可导，则函数 w=f(z)在在 D内解析。内解析。我们将从函数我们将从函数 u(x,y)及及 v(x,y)的可导性，探的可导性，探求函数求函数w=f(z)的可导性，从而给出判别函数解析的的可导性，从而给出判别函数解析的一个充分必要条件，
24、并给出解析函数的求导方法。一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。问题问题 如何判断函数的解析性呢？如何判断函数的解析性呢？第76页，讲稿共258张，创作于星期日二二.解析函数的充要条件解析函数的充要条件第77页，讲稿共258张，创作于星期日第78页，讲稿共258张，创作于星期日第79页，讲稿共258张，创作于星期日A 记忆记忆定义定义 方程方程称为称为Cauchy-Riemann方程方程(简称简称C-R方程方程).第80页，讲稿共258张，创作于星期日C-R方程等价于证明:第81页，讲稿共258张，创作于星期日定理定理1 设设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在在 D 内有定义，内
25、有定义，则则 f(z)在点在点 z=x+iy D处可导的充要条件是处可导的充要条件是 u(x,y)和和 v(x,y)在点在点(x,y)可微，且满足可微，且满足 Cauchy-Riemann方程方程上述条件满足时上述条件满足时,有有第82页，讲稿共258张，创作于星期日证明证明（由由f(z)的可导的可导 C-R方程满足上面已证！只须证方程满足上面已证！只须证 f(z)的可导的可导 函数函数 u(x,y)、v(x,y)可微可微）。）。函数函数 w=f(z)点点 z可导，即可导，即则则 f(z+z)-f(z)=f (z)z+(z)z (1),且且第83页，讲稿共258张，创作于星期日u+iv=(a+
26、ib)(x+iy)+(1+i 2)(x+iy)=(ax-by+1x-2y)+i(bx+ay+2x+1y)令：令：f(z+z)-f(z)=u+iv，f (z)=a+ib，(z)=1+i 2 故（故（1）式可写为）式可写为因此因此 u=ax-by+1x-2y,v=bx+ay+2x+1y第84页，讲稿共258张，创作于星期日所以所以u(x,y)，v(x,y)在点在点(x,y)处可微处可微.（由函数（由函数u(x,y),v(x,y)在点在点(x,y)处可微及满足处可微及满足 C-R方程方程 f(z)在点在点z=x+iy处可导）处可导）u(x，y)，v(x，y)在在(x，y)点可微，即：点可微，即：第8
27、5页，讲稿共258张，创作于星期日第86页，讲稿共258张，创作于星期日定理定理2 函数函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在在D内解析充要内解析充要 条件是条件是 u(x,y)和和 v(x,y)在在D内内可微，且可微，且 满足满足Cauchy-Riemann方程方程A 由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系.当一个函数可导时当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以求出导数来仅由其实部或虚部就可以求出导数来.A 利用该定理可以判断那些函数是不可导的利用该定理可以判断那些函数是不可导的.第87页，讲稿共258张，创作于星期日使用时使用时:i
28、)判别判别 u(x,y)，v(x,y)偏导数的连续性，偏导数的连续性，ii)验证验证C-R条件条件.iii)求导数求导数：A 前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的,但但是求复变函数的导数时要注意是求复变函数的导数时要注意,并不是两个实函数分别关并不是两个实函数分别关于于x,y求导简单拼凑成的求导简单拼凑成的.推论：第88页，讲稿共258张，创作于星期日三三.举例举例例例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：判定下列函数在何处可导，在何处解析：解解(1)设设z=x+iy w=x-iy u=x,v=-y 则则第89页，讲稿共258张，创作于星期日解
29、解(2)f(z)=ex(cosy+isiny)则则 u=excosy,v=exsiny第90页，讲稿共258张，创作于星期日仅在点仅在点z=0处满足处满足C-R条件，故条件，故解解(3)设设z=x+iy w=x2+y2 u=x2+y2,v=0 则则第91页，讲稿共258张，创作于星期日例例2 求证函数求证函数证明证明 由于在由于在z0处，处，u(x,y)及及v(x,y)都是可微函数，都是可微函数，且满足且满足C-R条件：条件：故函数故函数w=f(z)在在z0处解析，其导数为处解析，其导数为第92页，讲稿共258张，创作于星期日例例3 证明证明第93页，讲稿共258张，创作于星期日例例4 如果如
30、果f(z)=u(x,y)+i v(x,y)是一解析函数，是一解析函数，且且f (z)0，那么曲线族，那么曲线族u(x,y)=C1，v(x,y)=C2必互相正交，这里必互相正交，这里C1、C2常数常数.那么在曲线的交点处，那么在曲线的交点处，i)uy、vy 均不为零时，均不为零时，由隐函数求导法则知曲线族由隐函数求导法则知曲线族 u(x,y)=C1，v(x,y)=C2中任一条曲线的斜率分别为中任一条曲线的斜率分别为 解解利用利用C-R方程方程 ux=vy,uy=-vx 有有k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)=-1，即：两族曲线互相正交，即：两族曲线互相正交.第94页，讲稿共258张，创作
31、于星期日ii)uy，vy中有一为零时，不妨设中有一为零时，不妨设uy=0，则，则k1=，k2=0（由（由C-R方程）方程）即：两族曲线在交点处的切线一条是水平的，另即：两族曲线在交点处的切线一条是水平的，另一条是铅直的一条是铅直的,它们仍互相正交。它们仍互相正交。例如两族分别以直线y=x和坐标轴为渐近线的等轴双曲线x2-y2=c1,2xy=c2互相正交。第95页，讲稿共258张，创作于星期日1-1-1-10-8-6-4-2x2468v=101y-10-8-6-4-2u=02468uv1010-10-10a=2,b=-1,c=-1,d=2练习练习:第96页，讲稿共258张，创作于星期日解析函数退
32、化为常数的几个充分条件解析函数退化为常数的几个充分条件：(a)函数在区域内解析且导数恒为零；(b)解析函数的实部、虚部、模或辐角中有一个恒为常数；(c)解析函数的共轭在区域内解析。第97页，讲稿共258张，创作于星期日定义定义定理定理2.3 调和函数调和函数第98页，讲稿共258张，创作于星期日证明：证明：设设f(z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域在区域D内解析，则内解析，则第99页，讲稿共258张，创作于星期日即即u及及v 在在D内满足拉普拉斯内满足拉普拉斯(Laplace)方程方程:定义定义第100页，讲稿共258张，创作于星期日上面定理说明：上面定理说明：由解析的概念得：由解析的
33、概念得：现在研究反过来的问题：现在研究反过来的问题：第101页，讲稿共258张，创作于星期日如如第102页，讲稿共258张，创作于星期日第103页，讲稿共258张，创作于星期日定理定理第104页，讲稿共258张，创作于星期日A 公式不用强记！可如下推出：公式不用强记！可如下推出：类似地，类似地，然后两端积分得，然后两端积分得，第105页，讲稿共258张，创作于星期日A 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中都有重要应用。本节介绍了调和函数与解问题中都有重要应用。本节介绍了调和函数与解析函数的关系。析函数的关系。第106页，讲稿共258张，创作于星期日例例
34、1解解曲线积分法曲线积分法第107页，讲稿共258张，创作于星期日故故A 第108页，讲稿共258张，创作于星期日又解又解凑凑全全微微分分法法第109页，讲稿共258张，创作于星期日又解又解偏偏积积分分法法第110页，讲稿共258张，创作于星期日又解又解不不定定积积分分法法第111页，讲稿共258张，创作于星期日2.4 初等函数初等函数 本节将实变函数的一些常用的初等函数推广到本节将实变函数的一些常用的初等函数推广到复变函数情形，研究这些初等函数的性质，并说明复变函数情形，研究这些初等函数的性质，并说明它的解析性。它的解析性。第112页，讲稿共258张，创作于星期日一一.指数函数指数函数它与实
35、变指数函数有类似的性质它与实变指数函数有类似的性质：定义定义第113页，讲稿共258张，创作于星期日第114页，讲稿共258张，创作于星期日A 这个性质是实变指数函数所没有的。这个性质是实变指数函数所没有的。第115页，讲稿共258张，创作于星期日A 例例1例例2例例3第116页，讲稿共258张，创作于星期日二二.对数函数对数函数定义定义 指数函数的反函数称为对数函数。即，指数函数的反函数称为对数函数。即，(1)对数的定义对数的定义第117页，讲稿共258张，创作于星期日故故第118页，讲稿共258张，创作于星期日特别特别A 第119页，讲稿共258张，创作于星期日(2)对数函数的性质对数函数
36、的性质第120页，讲稿共258张，创作于星期日例例4第121页，讲稿共258张，创作于星期日例5解下列方程：解第122页，讲稿共258张，创作于星期日三三.乘幂乘幂 与幂函数与幂函数 q 乘幂乘幂ab定义定义A 多值多值一般为多值一般为多值第123页，讲稿共258张，创作于星期日q支支第124页，讲稿共258张，创作于星期日(2)当当b=1/n(n正整数正整数)时时，乘幂乘幂ab与与a 的的 n次根意义一致。次根意义一致。A (1)当当b=n(正整数正整数)时时，乘幂乘幂ab与与a 的的n次幂次幂 意义一致。意义一致。第125页，讲稿共258张，创作于星期日解解例例6第126页，讲稿共258张
37、，创作于星期日q 幂函数幂函数zb定义定义当当b=n(正整数正整数)w=z n 在整个复平面上是单值解析函数在整个复平面上是单值解析函数第127页，讲稿共258张，创作于星期日 除去除去b为正整数外，多值函数，为正整数外，多值函数，当当b为无理数或复数时，无穷多值。为无理数或复数时，无穷多值。第128页，讲稿共258张，创作于星期日四四.三角函数和双曲函数三角函数和双曲函数推广到复变数情形推广到复变数情形定义定义第129页，讲稿共258张，创作于星期日q正弦与余弦函数的性质正弦与余弦函数的性质第130页，讲稿共258张，创作于星期日思考题思考题第131页，讲稿共258张，创作于星期日第132页
38、，讲稿共258张，创作于星期日由正弦和余弦函数的定义得由正弦和余弦函数的定义得其它三角函数的定义其它三角函数的定义第133页，讲稿共258张，创作于星期日第134页，讲稿共258张，创作于星期日定义定义称为双曲正弦和双曲余弦函数称为双曲正弦和双曲余弦函数q双曲正弦和双曲余弦函数的性质双曲正弦和双曲余弦函数的性质第135页，讲稿共258张，创作于星期日第136页，讲稿共258张，创作于星期日 五五.反三角函数与反双曲函数反三角函数与反双曲函数详见详见P55A 重点：重点：指数函数、对数函数指数函数、对数函数、乘幂、乘幂第137页，讲稿共258张，创作于星期日第三章第三章 复变函数的积分复变函数的
39、积分第138页，讲稿共258张，创作于星期日1.有向曲线有向曲线3.1 复变函数积分的概念复变函数积分的概念第139页，讲稿共258张，创作于星期日CA(起点起点)B(终点终点)CC第140页，讲稿共258张，创作于星期日 2.积分的定义积分的定义定义定义DBxyo第141页，讲稿共258张，创作于星期日A 第142页，讲稿共258张，创作于星期日3.积分存在的条件及其计算法积分存在的条件及其计算法定理定理A 第143页，讲稿共258张，创作于星期日证明证明第144页，讲稿共258张，创作于星期日A 第145页，讲稿共258张，创作于星期日由曲线积分的计算法得由曲线积分的计算法得第146页，讲
40、稿共258张，创作于星期日例例1解解又解又解Aoxy第147页，讲稿共258张，创作于星期日oxy例例2解解第148页，讲稿共258张，创作于星期日例例3解解oxyrC第149页，讲稿共258张，创作于星期日 =-=-=-+0002)()(01010nnizzdzzzdzrzznCnp pA 第150页，讲稿共258张，创作于星期日 4.积分性质积分性质由积分定义得：由积分定义得：第151页，讲稿共258张，创作于星期日例题4证明：例如练习第152页，讲稿共258张，创作于星期日 3.2 柯西积分定理实变函数的线积分:若D为单连通区域,P(x,y),Q(x,y)在D具有一阶连续偏导数,则 再由
41、Green公式知道 第153页，讲稿共258张，创作于星期日问题:复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)满足什么条件在单连通区域D内沿闭路径的积分为零?要使只要这只须u与v具有一阶连续偏导数且ux=vy,uy=-vx.第154页，讲稿共258张，创作于星期日Cauchy 定理定理第155页，讲稿共258张，创作于星期日Cauchy-Goursat基本定理：基本定理：A BC也称也称Cauchy定理定理第156页，讲稿共258张，创作于星期日(3)定理中曲线定理中曲线C不必是简单的！如下图。不必是简单的！如下图。BBC推论推论 设设f(z)在单连通区域在单连通区域B内解析，则对任意内解析
42、，则对任意两点两点z0,z1B,积分积分c f(z)dz不依赖于连接起点不依赖于连接起点z0与终点与终点z1的曲线，的曲线，即积分与路径无关即积分与路径无关。Cz1z0C1C2C1C2z0z1第157页，讲稿共258张，创作于星期日二、原函数与不定积分二、原函数与不定积分推论：如果函数 f(z)在单连通域D内处处解析,C属于D，与路径无关仅与起点和终点有关。其中C：。固定z0,z1=z在D内变化,于是 在D内确定了关于z的单值函数:变上限积分。第158页，讲稿共258张，创作于星期日定理2 如果函数 f(z)在单连通域D内解析,则F(z)在D内也是解析的，且证明：第159页，讲稿共258张，创
43、作于星期日因f(z)在D内解析，故f(z)在D内连续第160页，讲稿共258张，创作于星期日定义定义 若函数若函数 (z)在区域在区域B内的导数等于内的导数等于f(z)，即，即 ,称称 (z)为为f(z)在在B内的原函数内的原函数.上面定理表明上面定理表明 是是f(z)的一个的一个原函数。原函数。设设H(z)与与G(z)是是f(z)的任何两个原函数，的任何两个原函数，这表明：这表明：f(z)的任何两个原函数相差一个常数。的任何两个原函数相差一个常数。(见第二章见第二章22例例3)3)第161页，讲稿共258张，创作于星期日2.积分计算公式积分计算公式定义定义 设设F(z)是是f(z)的一个原函
44、数，称的一个原函数，称F(z)+c(c为为任意常数任意常数)为为f(z)的不定积分，记作的不定积分，记作定理定理 设设f(z)在单连通区域在单连通区域B内解析，内解析，F(z)是是f(z)的一个原函数，则的一个原函数，则A 此公式类似于微积分学中的牛顿莱布尼兹公式此公式类似于微积分学中的牛顿莱布尼兹公式.A 但是要求函数是但是要求函数是解析解析的的,比以前的比以前的连续连续条件要强条件要强第162页，讲稿共258张，创作于星期日例例1 计算下列积分：计算下列积分：解解1)第163页，讲稿共258张，创作于星期日解解2)第164页，讲稿共258张，创作于星期日例例3 计算下列积分：计算下列积分：
45、第165页，讲稿共258张，创作于星期日这里D为复连通域。第166页，讲稿共258张，创作于星期日小结小结 求积分的方法求积分的方法第167页，讲稿共258张，创作于星期日可将柯西积分定理推广到多连通域的情况，有定理定理2 假设C及C1为任意两条简单闭曲线,C1在C内部,设函数 f(z)在C及C1所围的二连域D内解析,在边界上连续，则证明：取这说明一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内这说明一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的积分值，只要在变形过程中曲线不经作连续变形而改变它的积分值，只要在变形过程中曲线不经过的过的f(z)的不解析点的不解析点.闭路变形原
46、理闭路变形原理第168页，讲稿共258张，创作于星期日推论（复合闭路定理）：(互不包含且互不相交)，所围成的多连通区域，第169页，讲稿共258张，创作于星期日例题2C为包含0与1的任何正向简单闭曲线。解：（由闭路变形原理）第170页，讲稿共258张，创作于星期日第171页，讲稿共258张，创作于星期日例例解解C1C21xyo第172页，讲稿共258张，创作于星期日分析分析DCz0C13.3 Cauchy积分公式积分公式第173页，讲稿共258张，创作于星期日DCz0C1猜想积分猜想积分第174页，讲稿共258张，创作于星期日定理定理(Cauchy 积分公式积分公式)证明证明第175页，讲稿共
47、258张，创作于星期日第176页，讲稿共258张，创作于星期日A 第177页，讲稿共258张，创作于星期日A 一个解析函数在圆心处的值等于它在一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值圆周上的平均值.第178页，讲稿共258张，创作于星期日例例1解解第179页，讲稿共258张，创作于星期日例例2解解CC1C21xyo第180页，讲稿共258张，创作于星期日例例3解解 第181页，讲稿共258张，创作于星期日形式上，形式上，以下将对这些公式的正确性加以证明。以下将对这些公式的正确性加以证明。3.4 解析函数的高阶导数解析函数的高阶导数第182页，讲稿共258张，创作于星期日定理定理证明证明
48、用数学归纳法和导数定义。用数学归纳法和导数定义。第183页，讲稿共258张，创作于星期日令为令为I第184页，讲稿共258张，创作于星期日第185页，讲稿共258张，创作于星期日依次类推，用数学归纳法可得依次类推，用数学归纳法可得第186页，讲稿共258张，创作于星期日一个解析函数的导数仍为解析函数。一个解析函数的导数仍为解析函数。第187页，讲稿共258张，创作于星期日例例1解解第188页，讲稿共258张，创作于星期日第189页，讲稿共258张，创作于星期日第190页，讲稿共258张，创作于星期日第四章 级数1 复数项级数与幂级数第191页，讲稿共258张，创作于星期日 1.复数列的收敛与发
49、散复数列的收敛与发散定义定义又设复常数：又设复常数：定理定理1证明证明第192页，讲稿共258张，创作于星期日第193页，讲稿共258张，创作于星期日2.复数项级数复数项级数级数的前面级数的前面n项的和项的和-级数的部分和级数的部分和不收敛不收敛-无穷级数无穷级数定义定义设复数列：设复数列：第194页，讲稿共258张，创作于星期日例例1解解定理定理2证明证明第195页，讲稿共258张，创作于星期日A 由定理由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为，复数项级数的收敛问题可归之为 两个实数项级数的收敛问题。两个实数项级数的收敛问题。性质性质定理定理3证明证明第196页，讲稿共258张，创作于星期日A
50、?定义定义由定理由定理3的证明过程，及不等式的证明过程，及不等式定理定理4第197页，讲稿共258张，创作于星期日解解例例2第198页，讲稿共258张，创作于星期日例例3解解练习：练习：第199页，讲稿共258张，创作于星期日3.幂级数幂级数定义定义设复变函数列：设复变函数列：-称为复变函数项级数称为复变函数项级数级数的最前面级数的最前面n项的和项的和-级数的部分和级数的部分和第200页，讲稿共258张，创作于星期日若级数若级数(1)在在D内处处收敛，其和为内处处收敛，其和为z的函数的函数-级数级数(1)的和函数的和函数特殊情况，在级数特殊情况，在级数(1)中中称为幂级数称为幂级数第201页，