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1、偏偏 导导 数数 我们已经知道一元函数的导数是一个很重我们已经知道一元函数的导数是一个很重要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该点处函数随自变量变化的快慢程度。对于多元函点处函数随自变量变化的快慢程度。对于多元函数同样需要讨论它的变化率问题。虽然多元函数数同样需要讨论它的变化率问题。虽然多元函数的自变量不止一个，但实际问题常常要求在其它的自变量不止一个，但实际问题常常要求在其它自变量不变的条件下，只考虑函数对其中一个自自变量不变的条件下，只考虑函数对其中一个自变量的变化率，因此这种变化率依然是一元函数变量的变化率，因此这种变化率依然是一元函数的变化
2、率问题，这就是偏导数概念，对此给出如的变化率问题，这就是偏导数概念，对此给出如下定义。下定义。一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法偏导数的求法偏导数的求法 由偏导数的定义可知，求二元函数的由偏导数的定义可知，求二元函数的偏导数并不需要新的方法偏导数并不需要新的方法求求 时把时把 y 视为常数而对视为常数而对 x 求导求导求求 时把时把 x 视为常数而对视为常数而对 y 求导求导这仍然是一元函数求导问题这仍然是一元函数求导问题如如 在在 处处 偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数一般地一般地 设设解解证证原结论成立原结论成立解解不存在不存在证证有关
3、偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：、求分界点、不连续点处的偏导数要用求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；定义求；计算计算 f x (x0 ,y0)时可先将时可先将 y=y0 代代入入 f(x,y)再对再对 x 求导然后代入求导然后代入 x=x0 计算计算 f y (x0 ,y0 )时同时同理理解解3、4、偏导数的实质仍是一元函数求导问题，具体偏导数的实质仍是一元函数求导问题，具体求导时要弄清是对哪个变量求导，其余均视为常求导时要弄清是对哪个变量求导，其余均视为常量，但由于变量较多，易产生混乱量，但由于变量较多，易产生混乱-重要的是重要的是区分清函数的类型区分清函数的类型这是出错的主要
4、原因。这是出错的主要原因。5、若若 f(x,y)=f(y,x)则称则称 f(x,y)关于关于 x,y 具有轮换对称具有轮换对称性性在求在求 时时只需将所求的只需将所求的 中的中的 x,y 互换即可互换即可6、偏导数存在与连续的关系、偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续.偏导数存在偏导数存在 连续连续.7、偏导数的几何意义、偏导数的几何意义如图如图几何意义几何意义:二、高阶偏导数二、高阶偏导数纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数
5、统称为高阶定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数偏导数.观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：函数图象间的关系：原原函函数数图图形形偏偏导导函函数数图图形形偏偏导导函函数数图图形形二二阶阶混混合合偏偏导导函函数数图图形形解解问题：问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？相等？解解三、小结三、小结偏导数的定义偏导数的定义（偏增量比的极限）（偏增量比的极限）偏导数的计算、偏导数的几何意义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数高阶偏导数纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导（相等的条件）（相等的条件）思考题思考题思考题解答思考题解答不能不能.例如例如,练练 习习 题题练习题答案练习题答案