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1、上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回第四节第四节 函数展开成幂级数函数展开成幂级数一、泰勒级数一、泰勒级数二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数三、小结三、小结 思考题思考题 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回一、泰勒级数上节例题上节例题存在幂级数在其收敛存在幂级数在其收敛域内以域内以f(x)为和函数为和函数问题问题:1.如果能展开如果能展开,是什么是什么?2.展开式是否唯一展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数在什么条件下才能展开成幂级数?上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回证明证明上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回泰勒系数是唯
2、一的泰勒系数是唯一的,逐项求导任意次逐项求导任意次,得得泰勒系数泰勒系数上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回问题问题泰勒级数在收敛区间是否收敛于泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?不一定不一定.nnnxnf =0)(!)0(称为称为)(xf在点在点00=x的的麦克劳林级数麦克劳林级数.定义定义上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回可见可见在在x=0点任意可导点任意可导,上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回证明证明必要性必要性上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回充分性充分性上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回证明证明上页上页下页下页返回
3、返回上页上页下页下页返回返回二、函数展开成幂级数1.1.直接法直接法(泰勒级数法泰勒级数法)步骤步骤:上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例1解解由于由于M的任意性的任意性,即得即得上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例2解解上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例3解解上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回两边积分两边积分得得上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回即即牛顿二项式展开式牛顿二项式展开式注意注意:上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回双阶乘双阶乘上页上页下页下页返
4、回返回上页上页下页下页返回返回2.2.间接法间接法根据唯一性根据唯一性,利用常见展开式利用常见展开式,通过通过变量代换变量代换,四则运算四则运算,恒等变形恒等变形,逐项求导逐项求导,逐项积分逐项积分等方等方法法,求展开式求展开式.例如例如上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例4解解上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回三、小结1.如何求函数的泰勒级数如何求函数的泰勒级数;2.泰勒级数收敛于函数的条件泰勒级数收敛于函数的条件;3.函数展开成泰勒级数的方法函数展开成泰勒级数的方法.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回思考题思考题什么叫幂级数的间接展开法？什么叫幂级数的间接展开法？上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回思考题解答思考题解答 从已知的展开式出发从已知的展开式出发,通过变量代换、四则运通过变量代换、四则运算或逐项求导、逐项积分等办法算或逐项求导、逐项积分等办法,求出给定函数求出给定函数展开式的方法称之展开式的方法称之.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回练练 习习 题题上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回练习题答案练习题答案上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回