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1、 函数的函数的极值与导数极值与导数 （一）（一）观察下图中观察下图中P点附近图像从左到右的变化趋点附近图像从左到右的变化趋势、势、P点的函数值以及点点的函数值以及点P位置的特点位置的特点问题情境情境o oax1x2x3x4bxyP(x1,f(x1)y=f(x)Q(x2,f(x2)1函数函数y=f(x)在在 等点的函数值与这些点附近的等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？函数值有什么关系？2 y=f(x)在这些点的导数值是多少？在这些点的导数值是多少？3 这些点附近，这些点附近，y=f(x)的导数的符号有什么规律？的导数的符号有什么规律？一般地，设函数一般地，设函数f(x)在在点点x0附近
2、有定义附近有定义，如果对如果对x0附近的所有的点附近的所有的点,都有都有f(x)f(x0),我我们就说们就说f(x0)是函数是函数f(x)的一个的一个极大值极大值,记作记作y极大值极大值=f(x0)；如果对如果对x0附近的所有的点附近的所有的点,都有都有f(x)f(x0)，我们就说我们就说f(x0)是函数是函数f(x)的一的一个极小值，记作个极小值，记作y极小值极小值=f(x0).极大值与极小值同称为极值极大值与极小值同称为极值.函数极值的定义函数极值的定义o oax1x2x3x4bxyP(x1,f(x1)y=f(x)Q(x2,f(x2)（1 1）极值是某一点附近的小区间而言的极值是某一点附近
3、的小区间而言的,是函数是函数的局部性质的局部性质,不是整体的最值不是整体的最值;（2 2）函数的极值不一定唯一函数的极值不一定唯一,在整个定义区间内在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值；可能有多个极大值和极小值；（3 3）极大值与极小值没有必然关系，极大值可极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小能比极小值还小.（4 4）极值点是自变量的值，极值指的是函数值极值点是自变量的值，极值指的是函数值;（5 5）函数的极值点一定在区间的内部，区间的函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点端点不能成为极值点.观察图像并类比于函数的单调性与导数关系观察图像并类比于函数的单调性与
4、导数关系的研究方法的研究方法,看极值与导数之间有什么关系看极值与导数之间有什么关系?讨论o a x0 b x yo a x0 b x y xx0 0左侧左侧 x0 x0 0右侧右侧 f(x)f(x)xx0 0左侧左侧 x0 x0 0右侧右侧 f(x)f(x)增增增增减减减减极大值极大值极小值极小值v若若寻寻找找可可导导函函数数极极值值点点,可可否否只只由由f(x)=0 0求求得得即即可可?思考思考探索探索:x=0是否为函数是否为函数f(x)=x3的极值点的极值点?x yOf(x)x3 3 f(x)=3x2 当f(x)=0时，x=0，而x=0不是该函数的极值点.f(x0)=0 =0 x0 是可导
5、函数是可导函数f(x)的极值点的极值点 x0左右侧导数异号左右侧导数异号 x0 是函数是函数f(x)的极值点的极值点 f(x0)=0=0注意：注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件是函数取得极值的必要不充分条件函数函数y=f(x)的导数的导数y/与函数值和极值之间的关系为与函数值和极值之间的关系为()A、导数、导数y/由负变正由负变正,则函数则函数y由减变为增由减变为增,且有极大值且有极大值B、导数、导数y/由负变正由负变正,则函数则函数y由增变为减由增变为减,且有极大值且有极大值C、导数、导数y/由正变负由正变负,则函数则函数y由增变为减由增变为减,且有极小值且有极小值D、导数
6、、导数y/由正变负由正变负,则函数则函数y由增变为减由增变为减,且有极大值且有极大值D练习 解解:f(x)=x2-4,由由f(x)=0解得解得 x1=2,=2,x2=-2.=-2.当当x变化时变化时,f(x)、f(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表：f(x)f(x)x 当当x=-2=-2时时,y极大值极大值=28/3=28/3；当当x=2 2时时,y极小值极小值=-4/3=-4/3.(-,-2)(-,-2)-2-2(-2,2)(-2,2)2 2(2,+)(2,+)+0 00 0-+28/3-4/3例例1例例2xX1+0-0+极大值极大值极小值极小值所以，当所以，当x=-1是，函数的极大值是
7、是，函数的极大值是-2，当，当x=1时，函数的时，函数的极小值是极小值是2导函数的正负是交替出现的吗？不是不是求可导函数极值的步骤：求可导函数极值的步骤：练习课堂小堂小结1、极值的判定方法、极值的判定方法2、极值的求法、极值的求法注意：注意：1、f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件是函数取得极值的必要不充分条件2、要想知道、要想知道 x0是极大值点还是极小值点就必是极大值点还是极小值点就必须判断须判断 f(x0)=0=0左右侧导数的符号左右侧导数的符号.函数的函数的极值与导数极值与导数 （二）（二）题型题型 1 1：图像与函数的极值：图像与函数的极值12 导函数导函数y=f(x)的图
8、像如图，试找出函数的图像如图，试找出函数y=f(x)的极值点，并指出那些是极大值点，那的极值点，并指出那些是极大值点，那些是极小值点？些是极小值点？XYOax1x2x3x4x5x6bY=f(x)X2,x4为极值点为极值点X2为极大值点为极大值点X4为极小值点为极小值点3 导函数导函数y=f(x)的图像如图，在标记的的图像如图，在标记的点中哪一点处点中哪一点处（1）导函数）导函数y=f(x)有极大值？有极大值？（2）导函数）导函数y=f(x)有极小值？有极小值？（3）函数）函数y=f(x)有极大值？有极大值？（4）函数）函数y=f(x)有极小值？有极小值？x1x2x3x4Y=f(x)XYOX2X
9、4X3x5X54 4已知汽车在笔直的公路上行驶：已知汽车在笔直的公路上行驶：（1 1）如果函数）如果函数y=y=f(xf(x)表示时刻表示时刻t t时汽车与起点的距时汽车与起点的距离，请标出汽车速度等于离，请标出汽车速度等于0 0的点的点（2 2）如果函数）如果函数y=y=f(xf(x)表示时刻表示时刻t t时汽车的速度，那时汽车的速度，那么（么（1 1）中标出点的意义是什么？）中标出点的意义是什么？y=f(t)5 以下图形分别表示一个三次函数及其导数在以下图形分别表示一个三次函数及其导数在同一坐标系中的图像，其中一定不正确的序同一坐标系中的图像，其中一定不正确的序号是（号是（）XYOXYOX
10、YOXYO(1)(2)(3)(4)A(3)(4)B (1)(3)C (2)(4)D(1)(2)A题型型2：含参数的函数：含参数的函数分析：如果函数有极大值又有极小值，说明函数的导数的符分析：如果函数有极大值又有极小值，说明函数的导数的符号有从正变到负和从负变到正的时候，也就是说到导函数有号有从正变到负和从负变到正的时候，也就是说到导函数有两个相异的实根两个相异的实根2 若不等式若不等式 对任意实数对任意实数x都都成立，求实数成立，求实数a的取值范围的取值范围分析：由不等式可以知道分析：由不等式可以知道 ,则要求则要求a的范围，只要的范围，只要a 大于函数大于函数 的最大的最大值即可，问题转化成
11、求函数值即可，问题转化成求函数f(x)的最值的最值课堂小堂小结1 通过图像来观察函数的极值点2 利用极值与导数的关系来求函数中参数的范围 函数的函数的极值与导数极值与导数 （三）（三）目标：目标：根据函数的极值与函数的导数关系来求解函数的解析式 数形结合来解决问题例1题型型3：求解析式求解析式若函数若函数 在在x=-1和和x=3时有极时有极值，则值，则a=_,b=_-3-9a=-3,b=-9,c=2,极小值为极小值为-25(2006年年北京卷北京卷)已知函数已知函数在点在点 处取得极大值处取得极大值5,其导函数其导函数 的图像的图像(如图如图)过点（过点（1,0）,（2,0）,求：求：（1）的值；（的值；（2）a,b,c的值；的值；(1)由图像可知：由图像可知：(2)在在x=2处有极大值，求处有极大值，求常数常数c的值的值 C=6