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1、一一.教材分析教材分析 函数的极值与导数函数的极值与导数是在学习是在学习函数的单调性与导数函数的单调性与导数后学习的，是函数单调性学习的进一步拓展，也是后学习的，是函数单调性学习的进一步拓展，也是函数函数的最值与导数的最值与导数学习的基础之一，为函数最值学习奠定了必学习的基础之一，为函数最值学习奠定了必不可少的知识与方法，起着承上启下的重要作用，是本单元不可少的知识与方法，起着承上启下的重要作用，是本单元乃至整个高中学习中的重要知识。乃至整个高中学习中的重要知识。二二.学情分析学情分析 极值对于学生来说是一个全新的概念，因而在教学中必极值对于学生来说是一个全新的概念，因而在教学中必须清晰明了地
2、向学生介绍极值的概念，不要有所混淆。另一须清晰明了地向学生介绍极值的概念，不要有所混淆。另一方面，极值是根据前一小节所学的函数的单调性与导数的内方面，极值是根据前一小节所学的函数的单调性与导数的内容的延伸，是根据单调性来定义极值并求解极值的，因而学容的延伸，是根据单调性来定义极值并求解极值的，因而学生理解起来并不会太过困难。教师在讲解极值时应数形结合，生理解起来并不会太过困难。教师在讲解极值时应数形结合，这样学生可形象直观的理解极值的定义、特性。这样学生可形象直观的理解极值的定义、特性。三三.教学目标教学目标了解函数极值的定义，会从几何图形中直观理解函数的极值与其导数关了解函数极值的定义，会从
3、几何图形中直观理解函数的极值与其导数关系；掌握利用导数求函数极值的方法；了解函数在某点取得极值的充要系；掌握利用导数求函数极值的方法；了解函数在某点取得极值的充要条件。条件。结合实例，借助函数图形的直观感受，上升到理性认识，让学生体会从结合实例，借助函数图形的直观感受，上升到理性认识，让学生体会从特例到一般的认识过程，培养学生观察、分析、探究、归纳得出概念和特例到一般的认识过程，培养学生观察、分析、探究、归纳得出概念和规律的学习能力。规律的学习能力。通过导数的探究与学习，学生可感受到导数在研究函数性质中的一通过导数的探究与学习，学生可感受到导数在研究函数性质中的一般性和有效性，增强学生数形结合
4、的思维意识，培养学生层层深入、般性和有效性，增强学生数形结合的思维意识，培养学生层层深入、一丝不苟研究事物的科学精神。一丝不苟研究事物的科学精神。四四.教学重点和教学难点教学重点和教学难点理解极大值、极小值；掌握求可导函数的理解极大值、极小值；掌握求可导函数的极值的一般方法。极值的一般方法。函数在某一点取得极值的充要条件。函数在某一点取得极值的充要条件。五五.教法分析教法分析 结合本节课的具体内容，本节课宜采用以学生为主体，教师结合本节课的具体内容，本节课宜采用以学生为主体，教师为引导的为引导的讲解讨论相结合，交流练习互穿插讲解讨论相结合，交流练习互穿插的教学方法。同时，的教学方法。同时，利用
5、多媒体形象动态的演示功能提高教学的直观性和趣味性。利用多媒体形象动态的演示功能提高教学的直观性和趣味性。六、教学过程六、教学过程aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf(x)0f(x)0,x(x-1)0,得得x0 x1x1，则则f(x)单增区间（单增区间（，0 0）,（1 1，+）令令x(x-1)0,x(x-1)0,得得0 x1,0 x0(t)0单调递减单调递减h h(t)0(t)0观察高台跳水运动图象观察高台跳水运动图象演示演示观察下图中观察下图中P点附近图像从左到右的变化趋点附近图像从左到右的变化趋势、势、P点的函数值以及点点的函数值以及点P位置的特点位置的特点o oax1x2x3x
6、4bxyP(x1,f(x1)y=f(x)Q(x2,f(x2)1函数函数y=f(x)在在 等点的函数值与这些点附近的函等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？数值有什么关系？2 y=f(x)在这些点的导数值是多少？在这些点的导数值是多少？3 这这些点附近，这这些点附近，y=f(x)的导数的符号有什么规律？的导数的符号有什么规律？函数的极值定义函数的极值定义设函数设函数f(x)在点在点x0附近有定义，附近有定义，如果对如果对X0附近的所有点，都有附近的所有点，都有f(x)f(x0),则则f(x0)是函数是函数f(x)的一个极小值，记作的一个极小值，记作y极小值极小值=f(x0)；函数的函数的极
7、大值与极小值极大值与极小值统称统称为为极值极值.(极值即极值即峰谷处峰谷处的值）的值）使函数取得极值的使函数取得极值的点点x0称为称为极值点极值点yabx1x2x3x4Ox 练习练习 观察上述图象观察上述图象,试指出该函数的极小值试指出该函数的极小值点点,极小值极小值,极大值点极大值点,极大值极大值.极小值点极小值点:x2,x4.极大值点极大值点:x1,x3.极小值极小值:f(x2),f(x4).极大值极大值:f(x1),f(x3).o oax1x2x3x4bxyP(x1,f(x1)y=f(x)Q(x2,f(x2)（1 1）极值是某一点附近的小区间而言的极值是某一点附近的小区间而言的,是函数是
8、函数的局部性质的局部性质,不是整体的最值不是整体的最值;（2 2）函数的极值不一定唯一函数的极值不一定唯一,在整个定义区间内在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值；可能有多个极大值和极小值；（3 3）极大值与极小值没有必然关系，极大值可极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小能比极小值还小.（4 4）极值点是自变量的值，极值指的是函数值极值点是自变量的值，极值指的是函数值;（5 5）函数的极值点一定在区间的内部，函数的极值点一定在区间的内部，区间的区间的端点不能成为极值点端点不能成为极值点.观察图像并类比于函数的单调性与导数关系观察图像并类比于函数的单调性与导数关系的研究方法的研究
9、方法,看极值与导数之间有什么关系看极值与导数之间有什么关系?o a x0 b x yo a x0 b x y xx0 0左侧左侧 x0 x0 0右侧右侧 f(x)f(x)xx0 0左侧左侧 x0 x0 0右侧右侧 f(x)f(x)增增增增减减减减极大值极大值极小值极小值v若若寻寻找找可可导导函函数数极极值值点点,可可否否只只由由f(x)=0 0求求得得即即可可?思考思考探索探索:x=0是否为函数是否为函数f(x)=x3的极值点的极值点?x yOf(x)x3 f(x)=3x2 当f(x)=0时，x=0，而x=0不是该函数的极值点.f(x0)=0 =0 x0 是可导函数是可导函数f(x)的极值点的
10、极值点 x0左右侧导数异号左右侧导数异号 x0 是函数是函数f(x)的极值点的极值点 f(x0)=0=0注意：注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件是函数取得极值的必要不充分条件函数函数y=f(x)的导数的导数y/与函数值和极值之间的关系为与函数值和极值之间的关系为()A、导数、导数y/由负变正由负变正,则函数则函数y由减变为增由减变为增,且有极大值且有极大值B、导数、导数y/由负变正由负变正,则函数则函数y由增变为减由增变为减,且有极大值且有极大值C、导数、导数y/由正变负由正变负,则函数则函数y由增变为减由增变为减,且有极小值且有极小值D、导数、导数y/由正变负由正变负,则函
11、数则函数y由增变为减由增变为减,且有极大值且有极大值D练习练习 解解:f(x)=x2-4,由由f(x)=0解得解得 x=2=2或或x=-2.=-2.当当x=2=2时时,y极小值极小值=28/3=28/3；当当x=-2-2时时,y极大值极大值=-4/3=-4/3.+0 00 0-+极大值极大值28/3极小值极小值-4/3例例1 f(x)f(x)x(-,-2)(-,-2)-2-2(-2,2)(-2,2)2 2(2,+)(2,+)由由 f(x)0得得x -2或或x2,由由f(x)0得得-2 -2 x2.当当x变化时变化时,f(x)、f(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表：求可导函数极值的步骤：求
12、可导函数极值的步骤：1.确定函数的定义域；.极小值左负，右正.极大值如果左正，右负.)(.4号在方程根左右的值的符检查xf0)(.3的全部实根；求=xf)(.2；求导函数xf变式变式求下列函数的极值求下列函数的极值:解解:令令 解得解得 列表列表:x0f(x)+单调递增单调递增单调递减单调递减 所以所以,当当 时时,f(x)有极小值有极小值求下列函数的极值求下列函数的极值:解解:解得解得 列表列表:x(,3)3(3,3)3(3,+)00f(x)+单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增单调递增所以所以,当当 x=3 时时,f(x)有极大值有极大值 54;当当 x=3 时时,f(x)有极小值有极
13、小值 54.求下列函数的极值求下列函数的极值:解解:解得解得 所以所以,当当 x=2 时时,f(x)有极小值有极小值 10;当当 x=2 时时,f(x)有极大值有极大值 22.解得解得 所以所以,当当 x=1 时时,f(x)有极小值有极小值 2;当当 x=1 时时,f(x)有极大值有极大值 2.2 导函数导函数y=f(x)的图像如图，试找出函数的图像如图，试找出函数y=f(x)的极值点，并指出那些是极大值点，那的极值点，并指出那些是极大值点，那些是极小值点？些是极小值点？XYOax1x2x3x4x5x6bY=f(x)3 导函数导函数y=f(x)的图像如图，在标记的的图像如图，在标记的点中哪一点
14、处点中哪一点处（1）导函数）导函数y=f(x)有极大值？有极大值？（2）导函数）导函数y=f(x)有极小值？有极小值？（3）函数）函数y=f(x)有极大值？有极大值？（4）函数）函数y=f(x)有极小值？有极小值？x1x2x3x4Y=f(x)XYOX2X4、x1X3x5X54 4已知汽车在笔直的公路上行驶：已知汽车在笔直的公路上行驶：（1 1）如果函数）如果函数y=f(x)y=f(x)表示时刻表示时刻t t时汽车与起点的距时汽车与起点的距离，请标出汽车速度等于离，请标出汽车速度等于0 0的点的点（2 2）如果函数）如果函数y=f(x)y=f(x)表示时刻表示时刻t t时汽车的速度，那时汽车的速
15、度，那么（么（1 1）中标出点的意义是什么？）中标出点的意义是什么？y=f(t)解解:解得解得 列表列表:x(,1)1(1,0)0(0,1)1(1,+)000f(x)+所以所以,当当 x=0 时时,f(x)有极小有极小值值 1.例例:求函数求函数 的极的极值值.求解函数极值的一般步骤：求解函数极值的一般步骤：（1）确定函数的定义域）确定函数的定义域（2）求方程）求方程f(x)=0的根的根（3）用方程）用方程f(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格若干个开区间，并列成表格（4）由）由f(x)在方程在方程f(x)=0的根左右的符号，来判断的根左右
16、的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况在这个根处取极值的情况总结总结例1(2006年年北京卷北京卷)已知函数已知函数在点在点 处取得极大值处取得极大值5,其导函数其导函数 的图像的图像(如图如图)过点（过点（1,0）,（2,0）,求：求：（1）的值；（的值；（2）a,b,c的值；的值；(1)由图像可知：由图像可知：(2)(2006年年北京卷北京卷)已知函数已知函数题型一题型一例例1:1:下列函数中，下列函数中，x=0 x=0是极值点的函数是极值点的函数 是是()()A.y=A.y=x x3 3 B.B.y=xy=x2 2 C.y=xC.y=x2 2x x D.y=1/xD.y=1/xB例例2 2：图像与函数的极值：图像与函数的极值1 （2 2）.是是f f（x x）的导函数，）的导函数，f f/（x x）的图象如下图）的图象如下图,则则f f（x x）的图象只可能是（的图象只可能是（）DABCD题型题型2 2：含参数的函数：含参数的函数分析：如果函数有极大值又有极小值，说明函数的导数的符分析：如果函数有极大值又有极小值，说明函数的导数的符号有从正变到负和从负变到正的时候，也就是说到导函数有号有从正变到负和从负变到正的时候，也就是说到导函数有两个相异的实根两个相异的实根1设函数 （1）求的单调区间和极值；（2）若关于x的方程 有3个不同实根，求实数a的取值范围;