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1、第二节第二节 边缘分布边缘分布边缘分布函数边缘分布函数离散型随机变量的边缘分布律离散型随机变量的边缘分布律连续型随机变量的边缘概率密度连续型随机变量的边缘概率密度课堂练习课堂练习 二维联合分布全面地反映了二维随机变量二维联合分布全面地反映了二维随机变量(X,Y)的取值及其概率规律的取值及其概率规律.而单个随机变量而单个随机变量X,Y也具有自己的概率分布也具有自己的概率分布.那么要问那么要问:二者之间有二者之间有什么关系呢什么关系呢?二维随机变量二维随机变量(X,Y)作为一个整体作为一个整体,具有分布函具有分布函数数而而 和和 都是随机变量都是随机变量,也有各自的分也有各自的分布函数布函数,变量
2、变量(X,Y)关于关于 X 和和 Y的边缘分布函数的边缘分布函数.依次称为依次称为二维随机二维随机一、边缘分布函数一、边缘分布函数分别记为分别记为关系式关系式:记住：记住：一般地，对二维离散型一般地，对二维离散型随机变量随机变量(X,Y)，(X,Y)关于关于X 的边缘分布律的边缘分布律（即（即X的分布律）为的分布律）为:X和和Y 的联合分布律为：的联合分布律为：二、二、二维二维离散型随机变量离散型随机变量(X,Y)的边缘分布律的边缘分布律(X,Y)关于关于 Y 的边缘分布律的边缘分布律（即（即Y的分布律）为的分布律）为:二维离散型随机变量关于二维离散型随机变量关于X 和和Y 的边缘分布函数分的
3、边缘分布函数分别为别为:我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词缘上，由此得出边缘分布这个名词.例例1 已知下列分布律求其边缘分布律已知下列分布律求其边缘分布律.解解注意注意联合分布联合分布边缘分布边缘分布例例2 已知下列分布律求其边缘分布律已知下列分布律求其边缘分布律.二维二维连续型随机变量连续型随机变量(X,Y)的边缘概率密度即的边缘概率密度即X,Y各自的概率密度各自的概率密度,分别记为：分别记为：三、三、二维二维连续型随机变量连续型随机变量(X,Y)的边缘概率密度的边缘概率密度同理由同理由可得关于可得关于 Y 的边缘概
4、率密度的边缘概率密度记住：记住：解解例例3 注 在在求求连连续续型型 r.v 的的边边缘缘密密度度时时，往往往往要要求求联联合合密密度度在在某某区区域域上上的的积积分分.当当联联合合密密度度函函数数是是分分片片表表示示的的时时候候，应应特特别别注注意意所所求求边边缘缘密度应密度应如何分段如何分段以及以及积分限应如何选取积分限应如何选取.上的均匀分布，上的均匀分布，例例4 设设(X,Y)服从服从求求X及及Y边缘概率密度。边缘概率密度。解解（X，Y）的）的概率密度为概率密度为先计算先计算注注 二维均匀分布的边缘分布也为均匀分布。二维均匀分布的边缘分布也为均匀分布。注注 二二维维正正态态分分布布的的
5、两两个个边边缘缘分分布布都都是是一一维维正正态态分分布布,并且不依赖于参数并且不依赖于参数 .由边缘分布一般不能确定联合分布由边缘分布一般不能确定联合分布.也就是说也就是说,对于给定的对于给定的 不同的不同的 对对应应不同的二维正态分布不同的二维正态分布,但它们的边缘分布却都是一样的但它们的边缘分布却都是一样的.此例表明此例表明例例 5 试求二维正态随机变量的边缘概率密度试求二维正态随机变量的边缘概率密度.第三节第三节 条件分布条件分布离散型随机变量的条件分布离散型随机变量的条件分布连续型随机变量的条件分布连续型随机变量的条件分布课堂练习课堂练习 在第一章中，我们介绍了条件概率的概念在第一章中
6、，我们介绍了条件概率的概念.在事件在事件B发生的条件下事件发生的条件下事件A发生的条件概率发生的条件概率推广到随机变量推广到随机变量 设有两个随机变量设有两个随机变量X,Y，在给定在给定Y取某个或某取某个或某些值的条件下，求些值的条件下，求X的概率分布的概率分布.这种分布就是条件分布这种分布就是条件分布.例如，考虑某大学的全体学生，从其中随机抽取例如，考虑某大学的全体学生，从其中随机抽取一个学生，分别以一个学生，分别以X和和Y 表示其体重和身高表示其体重和身高.则则X和和Y都是随机变量，它们都有一定的概率分布都是随机变量，它们都有一定的概率分布.体重体重X身高身高Y体重体重X的分布的分布身高身
7、高Y的分布的分布 现在若限制现在若限制 1.7Y 0，则称，则称为为在在 Y=yj条件下随机变量条件下随机变量X的条件分布律的条件分布律.PX=xi|Y=yj=，i=1,2,作为作为条件条件的那个随机变量的那个随机变量,认为认为取值是给定的取值是给定的，在此条件下求另，在此条件下求另 一随机变量一随机变量的概率分布的概率分布.类似地可定义在类似地可定义在 X=xi 条件下随机变量条件下随机变量Y 的条件分布律的条件分布律.PY=yj|X=xi=j=1,2,对于对于固定的固定的i,当当PX=xi 0时，称时，称为为在在 X=xi条件下随机变量条件下随机变量Y的条件分布律的条件分布律.PX=xi|
8、Y=yj，i=1,2,PY=yj|X=xi，j=1,2,条件分布是一种概率分布，它具有概率分布的条件分布是一种概率分布，它具有概率分布的一切性质一切性质.正如条件概率是一种概率，具有概率正如条件概率是一种概率，具有概率的一切性质一样的一切性质一样.例如：例如：i=1,2,例例1解解由上述分布律的表格可得由上述分布律的表格可得二、二维连续型随机变量的条件分布二、二维连续型随机变量的条件分布 设设(X,Y)是是二二维维连连续续型型随随机机变变量量，由由于于对对任任意意x,y,PX=x=0,PY=y=0，所所以以不不能能象象离离散散的的一一样样直直接接用用条条件件概概率率公公式式定定义义条条件件分分
9、布布，要要用用到到极极限限的的方方法法，下下面面我我们们直直接接给给出出条条件件概概率率密度的计算公式密度的计算公式.则称则称 为在为在 的条件下的条件下 的的条件概率密度条件概率密度.若对于若对于固定固定的的 ,设设 X 和和 Y 的联合概率密度为的联合概率密度为 关于关于 的边缘概率密度为的边缘概率密度为 ,记为记为称称 为在为在 的条件下的条件下,的的条件分布函数条件分布函数.记为记为定义定义2即即类似地类似地,可以定义在可以定义在 的条件下的条件下Y的的条件概率密度条件概率密度以及以及条件分布函数条件分布函数 例例2 设设(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，概率服从单位圆上的均匀分布，概
10、率密度为密度为求求解解 X的边缘密度为的边缘密度为 由于当由于当|x|1时时,只有当只有当|x|1时时,才有才有故只有当故只有当x取（取（-1,1）中的固定值时，才有）中的固定值时，才有即即 当当|x|1 时时,有有X的取值的取值x已知，已知，即即x是固定常数是固定常数这里是这里是y的取值范围的取值范围X已知的条件下已知的条件下Y 的条件密度的条件密度注注 二维均匀分布的条件分布仍为均匀分布。二维均匀分布的条件分布仍为均匀分布。注注 二维正态分布的条件分布仍为正态分布。二维正态分布的条件分布仍为正态分布。例例3.设设(X,Y)的概率密度的概率密度是是求求 .(X,Y)关于关于 Y 的边缘概率密度为的边缘概率密度为解解当当 时时,综上综上 当当 时时,当当 时时,这一节，我们介绍了条件分布的概念和计这一节，我们介绍了条件分布的概念和计算，并举例说明对离散型和连续型随机变量如算，并举例说明对离散型和连续型随机变量如何计算条件分布何计算条件分布.请课下通过练习进一步掌握请课下通过练习进一步掌握.四、小结四、小结