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1、方程求根的数值方法方程求根的数值方法有有少少数数方方程程f(x)=0可可以以用用传传统统的的数数学学表表达达式式推推演演而而得得到到准准确确根根，求求根根很很容容易易，如如：方方程程x2+x-2=0有有两两个个根根，是是1、-2；方方程程lnx=0有有一一个个根根，是是1。但但这这样样的的方方法法只只能能解解极极少少数数简简单单方方程程；对对于于大大量量的的由由实实际际问问题题而而产产生生的的方方程程，例例如如下下面面的的方方程程就就求求不不出出准准确确根根（即即：一点一点误误差都没有的根），只能用数差都没有的根），只能用数值值解法求近似根解法求近似根.定理：定理：f(x)连续，连续，f(a)
2、与与f(b)异号，异号，ab，则方程，则方程f(x)=0在区间在区间(a,b)内至少有一个根，称内至少有一个根，称(a,b)是是该方程的一个有根区间该方程的一个有根区间。若已知(a,b)内有且仅有一个根，则称(a,b)是一个单根区间单根区间。确定了单根区间(a,b)后，就可用数值求根的方法进行求近似解。常用的方法有逐步搜索法、逐步搜索法、图形放大法图形放大法、数值迭代逼近法数值迭代逼近法2 2）图形放大法图形放大法y=f(x)y=f(x)图象与图象与x轴交点（的横坐标）即为轴交点（的横坐标）即为f(x)=0f(x)=0根。根。借助计算机，逐步画图，就可得近似根。借助计算机，逐步画图，就可得近似
3、根。1）逐步搜索法逐步搜索法适适当当取取一一个个小小正正数数h，逐逐步步计计算算f(a)、f(a+h)、f(a+2h)、f(a+3h)、的的值值，直直到到相相邻邻两两个个值值异异号，则取这两点的中点为近似根。号，则取这两点的中点为近似根。3）数值迭代逼近法数值迭代逼近法（1）区间迭代法）区间迭代法（缩小有根区间）缩小有根区间）对分法对分法 就是将就是将已知有根区间已知有根区间a,b一分为二，比较三一分为二，比较三个数个数的正负，根据的正负，根据“介值定理介值定理”确定哪一半有根；重复多次。确定哪一半有根；重复多次。黄金分割法与对分法本质上一致，只不过每次压缩区黄金分割法与对分法本质上一致，只不
4、过每次压缩区间的比例不是一半，而是压缩比例为间的比例不是一半，而是压缩比例为0.618（黄金分割（黄金分割比例）比例）区间迭代法区间迭代法 1 1）对分法）对分法 2 2）黄金分割法）黄金分割法点迭代法点迭代法 1 1）简单迭代法）简单迭代法 2 2）牛顿切线法）牛顿切线法 3 3）单点）单点割线法割线法 4 4）两点）两点割线法割线法 例例1：用对分法求：用对分法求x4+x-3=0在在(1,2)内的一个根，内的一个根，误差误差0.05。解：设f(x)=x4+x-3。则。则有根区间是(1,2)有根区间(1,1.5)有根区间(1,1.25)有根区间(1.125,1.25)有根区间(1.125,1
5、.1875)（2 2）点迭代法）点迭代法若数列若数列xxk k 收敛，则极限值就是准确根。收敛，则极限值就是准确根。满足满足x=(x)x=(x)的的点称为方程的不动点，点称为方程的不动点，此法此法又称为又称为方程方程求解的不动点法求解的不动点法。注意到注意到迭代函数迭代函数形式不唯一，其迭代差异可能很大形式不唯一，其迭代差异可能很大。迭代法需要讨论的基本问题有：迭代法需要讨论的基本问题有：迭代法函数构造、迭代法函数构造、迭代序列的收敛性，收敛速度以及误差估计。迭代序列的收敛性，收敛速度以及误差估计。一般迭代法一般迭代法：将：将f(x)=0f(x)=0适当变形为适当变形为x=(x),x=(x),
6、在根的在根的邻近找一个点邻近找一个点x x0 0作为初始点，作迭代作为初始点，作迭代定理（压缩映像原理）设迭代函数设迭代函数 x(x)(x)在闭区间在闭区间a,b上满足：上满足：（1）对任意对任意xa,b，(x)a,b；（2）满足满足Lipschitz条件条件 则则 x(x)(x)在闭区间在闭区间a,b上上 存在唯一解存在唯一解x*，使使得对任意得对任意xa,b，由，由xk+1=(xk)产生的序列产生的序列xk收敛于收敛于x*。y=x迭代法的几何意义交点的横坐标即为f(x)=0的根。y=(x)简单迭代收敛情况的几何解释 解：由 建立迭代关系：例2：试用迭代法求方程 f(x)=x3-x-1=0在
7、区间(1，2)内的实根。k=0,1,2,3.但如果由x=x3-1建立迭代公式 xk+1=xk3-1，k=0,1仍取x0=1.5，则有 x1=2.375，x2=12.39，显然结果越来越大，xk 是发散序列。作业：作业：证明函数 在区间1，2上满足迭代收敛条件。牛顿迭代法牛顿迭代法：方程：方程f(x)=0，求导，求导f(x)，在根的，在根的邻近找邻近找一个点一个点x0 作为初始点，作迭代作为初始点，作迭代以此产生的序列以此产生的序列Xn得到得到f(x)=0的近似解，称为的近似解，称为NewtonNewton法，又叫切线法。法，又叫切线法。当初值x0和方程的根x*接近时，f(x)近似等于f(x0)
8、+f(x0)(x-x0)，则f(x)=0与f(x0)+f(x0)(x-x0)0看作近似同解方程。取x=x-f(x)/f(x)作为迭代函数。Newton迭代法几何解释Newton迭代法算法框图Newton迭代法算法例例1：用牛顿法求：用牛顿法求x4+x-3=0在在(1,2)内的一个根，内的一个根，初值为初值为1.5。得得到到方方程程的的一一个个近近似似根根1.1640，误差小于误差小于0.0001.解：解：弦截法 Newton迭代法有一个较强的要求是存在导函数且不等于零。因此，用弦的斜率近似的替代f(x)。令y=0，解得弦与x轴的交点是坐标x2。定端点弦截法又称单点割线法。变端点弦截法又称两点割线法弦截法的几何解释求解方程f(x)=0的快速弦截法通常求方程的根时：通常求方程的根时：先分析确定单根区间，保证不漏根；先分析确定单根区间，保证不漏根；再用逐步搜索法或二分法找到误差较小的再用逐步搜索法或二分法找到误差较小的近似根；近似根；最后用牛顿法或弦截法给出高精度的近似最后用牛顿法或弦截法给出高精度的近似根根。作业：求下面方程的数值解。作业：求下面方程的数值解。谢谢 谢！谢！