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1、方程求根的数值方法第1页，共23页，编辑于2022年，星期日定理：定理：f(x)连续，连续，f(a)与与f(b)异号，异号，ab，则方程，则方程f(x)=0在区间在区间(a,b)内至少有一个根，称内至少有一个根，称(a,b)是该方程的一是该方程的一个有根区间个有根区间。若已知(a,b)内有且仅有一个根，则称(a,b)是一个单根单根区间区间。确定了单根区间(a,b)后，就可用数值求根的方法进行求近似解。常用的方法有逐步搜索法、逐步搜索法、图形放大法、图形放大法、数值迭代逼近法数值迭代逼近法第2页，共23页，编辑于2022年，星期日2 2）图形放大法）图形放大法y=f(x)y=f(x)图象与图象与
2、x轴交点（的横坐标）即为轴交点（的横坐标）即为f(x)=0f(x)=0根。借根。借助计算机，逐步画图，就可得近似根。助计算机，逐步画图，就可得近似根。1）逐步搜索法逐步搜索法适适当当取取一一个个小小正正数数h，逐逐步步计计算算f(a)、f(a+h)、f(a+2h)、f(a+3h)、的的值值，直直到到相相邻邻两两个个值值异异号号，则则取取这这两点的中点为近似根。两点的中点为近似根。第3页，共23页，编辑于2022年，星期日 3）数值迭代逼近法）数值迭代逼近法（1）区间迭代法（缩小有根区间）区间迭代法（缩小有根区间）对分法对分法 就是将已知有根区间就是将已知有根区间a,b一分为二，比较三个一分为二
3、，比较三个数数的正负，根据的正负，根据“介值定理介值定理”确定哪一半有根；重复多次。确定哪一半有根；重复多次。黄金分割法与对分法本质上一致，只不过每次压缩区间的黄金分割法与对分法本质上一致，只不过每次压缩区间的比例不是一半，而是压缩比例为比例不是一半，而是压缩比例为0.618（黄金分割比例）（黄金分割比例）区间迭代法区间迭代法 1 1）对分法）对分法 2 2）黄金分割法）黄金分割法点迭代法点迭代法 1 1）简单迭代法）简单迭代法 2 2）牛顿切线法）牛顿切线法 3 3）单点割线法）单点割线法 4 4）两点割线法）两点割线法 第4页，共23页，编辑于2022年，星期日例例1：用对分法求：用对分法
4、求x4+x-3=0在在(1,2)内的一个根，误内的一个根，误差差0.05。解：设f(x)=x4+x-3。则。则有根区间是(1,2)有根区间(1,1.5)有根区间(1,1.25)有根区间(1.125,1.25)有根区间(1.125,1.1875)第5页，共23页，编辑于2022年，星期日（2 2）点迭代法）点迭代法若数列若数列xxk k 收敛，则极限值就是准确根。满足收敛，则极限值就是准确根。满足x=x=(x)(x)的点称为方程的不动点，此法又称为方程求解的不动点法。的点称为方程的不动点，此法又称为方程求解的不动点法。注意到迭代函数形式不唯一，其迭代差异可能很大。迭注意到迭代函数形式不唯一，其迭
5、代差异可能很大。迭代法需要讨论的基本问题有：代法需要讨论的基本问题有：迭代法函数构造、迭代序迭代法函数构造、迭代序列的收敛性，收敛速度以及误差估计。列的收敛性，收敛速度以及误差估计。一般迭代法一般迭代法：将：将f(x)=0f(x)=0适当变形为适当变形为x=x=(x),(x),在根的邻近在根的邻近找一个点找一个点x x0 0作为初始点，作迭代作为初始点，作迭代第6页，共23页，编辑于2022年，星期日定理（压缩映像原理）设迭代函数设迭代函数 x(x)(x)在闭区间在闭区间a,b上满足：上满足：（1）对任意对任意xa,b，(x)a,b；（2）满足满足Lipschitz条件条件 则则 x(x)(x
6、)在闭区间在闭区间a,b上上 存在唯一解存在唯一解x*，使得对，使得对任意任意xa,b，由，由xk+1=(xk)产生的序列产生的序列xk收敛于收敛于x*。第7页，共23页，编辑于2022年，星期日y=x迭代法的几何意义交点的横坐标即为f(x)=0的根。y=(x)第8页，共23页，编辑于2022年，星期日简单迭代收敛情况的几何解释第9页，共23页，编辑于2022年，星期日 解：由 建立迭代关系：例2：试用迭代法求方程 f(x)=x3-x-1=0在区间(1，2)内的实根。k=0,1,2,3.第10页，共23页，编辑于2022年，星期日但如果由x=x3-1建立迭代公式 xk+1=xk3-1，k=0,
7、1仍取x0=1.5，则有 x1=2.375，x2=12.39，显然结果越来越大，xk 是发散序列。作业：作业：证明函数 在区间1，2上满足迭代收敛条件。第11页，共23页，编辑于2022年，星期日牛顿迭代法牛顿迭代法：方程：方程f(x)=0，求导，求导f(x)，在根的邻近找，在根的邻近找一个点一个点x0 作为初始点，作迭代作为初始点，作迭代以此产生的序列以此产生的序列Xn得到得到f(x)=0的近似解，称为的近似解，称为NewtonNewton法，又叫切线法。法，又叫切线法。当初值x0和方程的根x*接近时，f(x)近似等于f(x0)+f(x0)(x-x0)，则f(x)=0与f(x0)+f(x0)
8、(x-x0)0看作近似同解方程。取x=x-f(x)/f(x)作为迭代函数。第12页，共23页，编辑于2022年，星期日Newton迭代法几何解释第13页，共23页，编辑于2022年，星期日Newton迭代法算法框图第14页，共23页，编辑于2022年，星期日Newton迭代法算法第15页，共23页，编辑于2022年，星期日例例1：用牛顿法求：用牛顿法求x4+x-3=0在在(1,2)内的一个根，初值内的一个根，初值为为1.5。得得到到方方程程的的一一个个近近似似根根1.1640，误误差差小于小于0.0001.解：解：第16页，共23页，编辑于2022年，星期日弦截法 Newton迭代法有一个较强
9、的要求是存在导函数且不等于零。因此，用弦的斜率近似的替代f(x)。第17页，共23页，编辑于2022年，星期日令y=0，解得弦与x轴的交点是坐标x2。定端点弦截法又称单点割线法。第18页，共23页，编辑于2022年，星期日变端点弦截法又称两点割线法第19页，共23页，编辑于2022年，星期日弦截法的几何解释第20页，共23页，编辑于2022年，星期日求解方程f(x)=0的快速弦截法第21页，共23页，编辑于2022年，星期日通常求方程的根时：通常求方程的根时：先分析确定单根区间，保证不漏根；先分析确定单根区间，保证不漏根；再用逐步搜索法或二分法找到误差较小的近再用逐步搜索法或二分法找到误差较小的近似根；似根；最后用牛顿法或弦截法给出高精度的近似最后用牛顿法或弦截法给出高精度的近似根根。作业：求下面方程的数值解。作业：求下面方程的数值解。第22页，共23页，编辑于2022年，星期日谢谢 谢！谢！第23页，共23页，编辑于2022年，星期日