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1、非线性方程求根方法非线性方程求根方法第1页，此课件共35页哦预备知识预备知识1.Taylor公式公式拉格朗日余项：拉格朗日余项：第2页，此课件共35页哦2.拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理预备知识预备知识若若f(x)在在a,b上连续，且上连续，且f(x)在在(a,b)内可导，则存在内可导，则存在x xa,b，使：，使：或或或或第3页，此课件共35页哦设函数设函数f(x)在区间在区间a,b上连续，在上连续，在(a,b)内可导，则内可导，则f(x)在在a,b上单调递增上单调递增(递减递减)的充要条件是的充要条件是3.函数的单调性函数的单调性预备知识预备知识第4页，此课件共35页哦方程的一般形式：f
2、(x)=0，满足方程的x值通常叫做方程的根或解，也叫函数f(x)的零点。实际问题实际问题n 代数方程代数方程5次以上的方程无求根公式次以上的方程无求根公式 n 超越方程：包含超越函数，如超越方程：包含超越函数，如 sinx,lnx,ex近似求解近似求解第七章第七章 非线性方程求根方法非线性方程求根方法第5页，此课件共35页哦u 求根的隔根区间隔根区间，即确定根所在区间u 根的精确化。粗糙的近似值-满足精度的近似值 方程求根步骤：方程求根步骤：第七章第七章 非线性方程求根方法非线性方程求根方法第6页，此课件共35页哦求根的求根的隔根区间隔根区间设函数f(x)在a,b内连续，严格单调，且有f(a)
3、f(b)0，则在a,b内方程f(x)=0有且仅有一个实根。u 函数函数y=f(x)与横轴与横轴(y=0)交点交点u区间区间a,b内选择内选择x1,x2,x3,x4，根据，根据f(x)在这些在这些 点点上值的符号确定上值的符号确定 第七章第七章 非线性方程求根方法非线性方程求根方法第7页，此课件共35页哦例例1：考察方程：考察方程 注意到注意到 f(0)0，知，知f(x)至少有一个正的实根。至少有一个正的实根。设从设从x=0出发，取出发，取h=0.5为步长向右进行根的扫描，列表记录为步长向右进行根的扫描，列表记录各个结点上函数值的符号。各个结点上函数值的符号。x x0 00.50.51.01.0
4、1.51.5f f(x x)的符号的符号的符号的符号第七章第七章 非线性方程求根方法非线性方程求根方法第8页，此课件共35页哦7.1 方程求根的二分法二分法二分法也称对分区间法、对分法等，是最简单的求根方法，属也称对分区间法、对分法等，是最简单的求根方法，属于区间法求根类型。于区间法求根类型。设函数f(x)在a,b内连续，严格单调，且有f(a)f(b)0，则在a,b内方程f(x)=0有且仅有一个实根。第9页，此课件共35页哦用二分法求用二分法求f(x)=0的根：先将的根：先将a,b等分为两个小区间，用介值定理等分为两个小区间，用介值定理判断根属于哪个小区间，保留有根区间、舍去无根区间；把有根区
5、间判断根属于哪个小区间，保留有根区间、舍去无根区间；把有根区间再次一分为二，进一步判断根属于哪个更小的区间，如此周而复始，再次一分为二，进一步判断根属于哪个更小的区间，如此周而复始，不断缩小隔根区间的长度不断缩小隔根区间的长度.实际中只需求出满足精度要求的根的近似值、实际中只需求出满足精度要求的根的近似值、进行有限步计算即可。进行有限步计算即可。第10页，此课件共35页哦第11页，此课件共35页哦误差估计（定理7.2）对于所给定的精度对于所给定的精度，则可得，则可得7.1 方程求根的二分法第12页，此课件共35页哦例：求方程 在区间1,1.5内的实根,要求计算的近似根准确到小数点后第2位.7.
6、1 方程求根的二分法1.用二分法，a=1,b=1.5，且f(a)0。2.取区间a,b的中点x0=1.25将区间二等分，由于f(x0)0，即f(x0)与f(a)同号，故所求的根必在x0的右侧，这里应令a1=x0=1.25，b1=b=1.5，而得到新的有根区间（a1,b1）。3.对区间（a1,b1）再用中点x1=1.375二分，并进行根的隔离，重复步骤2，直到所求根满足精度。第13页，此课件共35页哦k ka ak kb bk kx xk kf f(x xk k)的符号的符号0 01 11.51.51.251.25-1 11.251.251.51.51.3751.375+2 21.251.251.
7、3751.3751.31251.3125-3 31.31251.31251.3751.3751.34381.3438+4 41.31251.31251.34381.34381.32811.3281+5 51.31251.31251.32811.32811.32031.3203-6 61.32031.32031.32811.32811.32421.3242-7.1 方程求根的二分法预先估计一下二分的次数：第14页，此课件共35页哦基本思想：逐次逼近粗糙的初值粗糙的初值校正后的近似值校正后的近似值迭代公式END满足精度不满足精度7.2 简单迭代法第15页，此课件共35页哦 迭代公式迭代公式7.2
8、简单迭代法 迭代函数迭代函数选取方程的某一近似根选取方程的某一近似根可得序列可得序列 xk:x0,x1,x2,x3,且当且当k时时,序列序列xk有极限有极限x*,则则x*是方程是方程f(x)=0的根的根如果如果g(x)是连续函数是连续函数迭代序列迭代序列xk收敛，则迭代法收敛；反之，则发散收敛，则迭代法收敛；反之，则发散第16页，此课件共35页哦用迭代法求下列方程在区间用迭代法求下列方程在区间2,4的根。的根。取取x0=4，则，则收敛收敛7.2 简单迭代法第17页，此课件共35页哦取取x0=4，则，则发散发散7.2 简单迭代法迭代法收敛的充分条件以及迭代序列的误差估计由迭代法收敛的充分条件以及
9、迭代序列的误差估计由定理定理7.3表述表述(P98)：第18页，此课件共35页哦若迭代函数若迭代函数 g(x)满足两个条件满足两个条件n 对任意对任意 x a,b，都有，都有ag(x x)b；n 区间区间a,b上上g(x)存在，且存在，且|g(x)|L 1;则有如下结论：则有如下结论：u对任意对任意x0 a,b，迭代格式，迭代格式xk+1=g(xk)产生的迭代序列产生的迭代序列都收敛于都收敛于方程方程x=g(x)在区间在区间a,b上的唯一实根上的唯一实根 x*；u 定理定理定理定理2.12.1证明过程证明过程(P100-101)如下如下:第19页，此课件共35页哦第20页，此课件共35页哦第2
10、1页，此课件共35页哦区间区间2,4第22页，此课件共35页哦几何意义几何意义7.2 简单迭代法第23页，此课件共35页哦y2=g(x)y2=g(x)第24页，此课件共35页哦7.3 牛顿迭代法和割线法牛顿迭代公式第25页，此课件共35页哦局部收敛性设方程设方程 x=g(x)有根有根x，且在，且在 x*的某个领域的某个领域 S=x|x x*-d d,x*+d d内存在一阶连续导数，则内存在一阶连续导数，则u 当当|g(x*)|1时，迭代格式时，迭代格式xk+1=g(xk)发散发散 7.3 牛顿迭代法和割线法第26页，此课件共35页哦牛顿迭代法的局部收敛性7.3 牛顿迭代法和割线法第27页，此课
11、件共35页哦例 用牛顿迭代法求（c 0）f(x)=2x，迭代公式为7.3 牛顿迭代法和割线法设 f(x)=x2-c，（x 0）则 就是f(x)=0的正根。第28页，此课件共35页哦例：用以上公式求7.3 牛顿迭代法和割线法2.000000 2.5000002.7500002.6250002.6875002.6562502.6406252.6484382.6445312.6464842.6455082.6459962.6457522.6456302.6456912.6457212.6457372.6457442.6457482.6457502.6457512.6457511.0000004.00
12、00002.8750002.6548912.6457672.6457512.645751牛顿迭代法二分法3.0000002.6666672.6458332.6457512.645751第29页，此课件共35页哦几何意义几何意义第30页，此课件共35页哦x2x0 x1xx*牛顿迭代法牛顿迭代法牛顿迭代法牛顿迭代法x3y=f(x)y=f(x)第31页，此课件共35页哦7.3 牛顿迭代法和割线法第32页，此课件共35页哦例：用割线法求方程x3-x-1=0在x=1.5附近的根，使绝对误差精确到10-4。7.3 牛顿迭代法和割线法取初值x0=1.5，x1=1.4，得迭代格式 x2=1.33522x3=1.32541x4=1.32472x5=1.32472 第33页，此课件共35页哦xk-1xkxk+1xk+2xx*割线法割线法割线法割线法y=f(x)y=f(x)第34页，此课件共35页哦 作 业实验七实验七7.1(1)-二分法、简单迭代法二分法、简单迭代法(x0=1.5)、牛顿迭代法、牛顿迭代法(x0=1.5)习题七习题七7.3第35页，此课件共35页哦