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1、推广推广(与路径无关与路径无关)结论结论 试验电荷在任何静电场中移动时，静电场力所做试验电荷在任何静电场中移动时，静电场力所做的功只与路径的起点和终点位置有关，而与路径无关。的功只与路径的起点和终点位置有关，而与路径无关。二、静电场的环路定理二、静电场的环路定理abcd即沿任一闭合路径移动电荷时即沿任一闭合路径移动电荷时,静电场力所作的功为零。静电场力所作的功为零。q0沿闭合路径沿闭合路径 acbda 一周电场力所作的功一周电场力所作的功在静电场中，电场强度沿随意闭合环路的线积分在静电场中，电场强度沿随意闭合环路的线积分(环流环流)恒等于零。恒等于零。静电场的环路定理静电场的环路定理静电场的两
2、个基本性质：有源且到处无旋静电场的两个基本性质：有源且到处无旋分析：当检验电荷 从a点移到b点，电场力要做功，而功是能量转化的量度，这说明 从a点移到b点有能量变更。不管 从a点沿哪一条路径移到b点，电场力对电荷 做的功都是相同的，这说明电荷 在ab两点的能量差是确定的，其值由这两点的位置确定。这种由电荷在电场中的位置确定的能量，叫做电势能。明显，电势能是电荷 和电场共同具有的。检验电荷在ab两点的电位能，分别用 表示。三三 电势电势 电势差电势差1、电势能、电势能当电场力要做正功时:由功能原理：当电场力要做负功时:b点电势能点电势能则则ab电场力的功电场力的功Wa属于属于q0及及 系统系统试
3、验电荷试验电荷 处于处于a点电势能点电势能留意留意保守力的功保守力的功=相应势能的削减相应势能的削减所以所以 静电力的功静电力的功=静电势能增量的负值静电势能增量的负值电势能和重力势能一样，也是一个相对量。只有先规定电荷在某一参考点的电势能为零，才能确定电荷在其他位置的电位能，假如选b为参考点，即由上式可知，电荷 在场中某点的电势能，在数值上等于把 从该点移到参考点时，电场力所做的功。理论上通常取无限远处的电势能为零,则 在a点的电势能 电势能可正、可负，电势能的单位为焦耳。说明一点：电荷q在静电场中之所以有电势能，是因为q与场源电荷之间有电力作用的结果。故电势能并非属于电荷q，而是属于q与场
4、源电荷所组成的系统。习惯上，说q在某点的电位能，这是因为在所探讨的问题中，场源电荷的位置不动，系统的能量有变更时，只是可动的摸索电荷q的位置变更的结果。电势能的概念属于带电体系。它反映了电场本身在a点的性质，因此我们定义：电荷在电场中某点的电势能与它的电荷量的比值，叫做该点的电势。2、电势和电势差、电势和电势差它是反映电场本身“能的属性”的物理量，与场中是否存在电荷无关。要留意，电势和电势能是两个不同的概念，不能混为一谈。定义定义电势差电势差 电场中随意两点电场中随意两点 的的电势之差（电压）电势之差（电压）单位正电荷在该点单位正电荷在该点所具有的电势能所具有的电势能单位正电荷从该点到无穷远单
5、位正电荷从该点到无穷远点点(电势零电势零)电场力所作的功电场力所作的功 a、b两点的电势差等于将单位正电荷从两点的电势差等于将单位正电荷从a点移点移到到b时，电场力所做的功。时，电场力所做的功。定义定义电势电势 将电荷将电荷q从从ab电场力的功电场力的功留意留意1、电势是相对量，电势零点的选择是随意的。、电势是相对量，电势零点的选择是随意的。2、两点间的电势差与电势零点选择无关。、两点间的电势差与电势零点选择无关。3、电势零点的选择。、电势零点的选择。依据电场叠加原理场中任一点的依据电场叠加原理场中任一点的1、电势叠加原理、电势叠加原理若场源为若场源为q1、q2 qn的点电荷系的点电荷系场强场
6、强电势电势各点电荷单独存在时在该点电势的各点电荷单独存在时在该点电势的代数和代数和四、电势的计算四、电势的计算1 1）.点电荷电场中的电势点电荷电场中的电势如图如图 P点的场强为点的场强为 由电势定义得由电势定义得探讨探讨 对称性对称性大小大小以以q为球心的同一球面上的点电势相等为球心的同一球面上的点电势相等2、电势的计算、电势的计算由电势叠加原理，由电势叠加原理，P的电势为的电势为点电荷系的电势点电荷系的电势连续带电体的电势连续带电体的电势由电势叠加原理由电势叠加原理P P 依据已知的场强分布，按定义计算依据已知的场强分布，按定义计算 由点电荷电势公式，利用电势叠加原理计算由点电荷电势公式，
7、利用电势叠加原理计算电势计算的两种电势计算的两种方法方法：例例1、求电偶极子电场中任一点求电偶极子电场中任一点P的电势的电势由叠加原理由叠加原理其中其中课堂练习：课堂练习：已知正方形顶点有四个等量的电点荷已知正方形顶点有四个等量的电点荷r=5cm求求将将求该过程中电势能的改变求该过程中电势能的改变 从从从从电场力所作的功电场力所作的功电势能电势能 例例2、求匀整带电圆环轴线、求匀整带电圆环轴线 上的电势分布。上的电势分布。已知：已知：R、q解解:方法一方法一 微元法微元法方法二方法二 定义法定义法由电场强度的分布由电场强度的分布例例3、求匀整带电球面电场中电势的分布，已知、求匀整带电球面电场中
8、电势的分布，已知R，q解解:方法一方法一 叠加法叠加法(微元法微元法)任一圆环任一圆环由图由图由图由图 方法二方法二 定义法定义法由高斯定理求出场强分布由高斯定理求出场强分布由定义由定义课堂练习课堂练习：1.求等量异号的同心带电球面的电势差求等量异号的同心带电球面的电势差 已知已知+q、-q、RA、RB解解:由高斯定理由高斯定理由电势差定义由电势差定义 求单位正电荷沿求单位正电荷沿odc 移至移至c ，电场力所作的功，电场力所作的功 将单位负电荷由将单位负电荷由 O O电场力所作的功电场力所作的功2.如图已知如图已知+q、-q、R五、五、等势面等势面等势面等势面：电场中电势相等的点组成的曲面电
9、场中电势相等的点组成的曲面+电偶极子的等势面电偶极子的等势面电平行板电容器电平行板电容器电场的等势面电场的等势面+等势面的性质等势面的性质何谓等势面？电场中电势相同的点组成的曲面叫做等势面。等势面有以下重要性质：1在等势面上随意两点间移动电荷，电场力不做功；2、等势面到处与电力线垂直；3、电力线指向电位减小的方向 4若在画等势面时规定相邻两等势面的电势差相等，则等势面密处场强大，疏处场强小。等势面的性质等势面的性质令令q在面上有元位移在面上有元位移沿电力线移动沿电力线移动 a,b为等势面上随意两点移动为等势面上随意两点移动q,从从a到到b六、电势与场强的微分关系六、电势与场强的微分关系 如图所
10、示，设如图所示，设A、C为两个靠的很近的等位面，电位分为两个靠的很近的等位面，电位分别为别为U和和U+U，在两等位面之间沿法线方向取一线段，在两等位面之间沿法线方向取一线段ac，其长度为其长度为n.因为很短，其上各点场强可以认为相等。由电因为很短，其上各点场强可以认为相等。由电位差的定义，位差的定义，a、c两点电位差为：两点电位差为：UU+UABacbEnl叫做沿叫做沿n方向的方向导数，它表示方向的方向导数，它表示U的空间的空间变化率，即沿变化率，即沿n方向单位长度上方向单位长度上U的增量。的增量。上式表示，电场中某点的场强等于该点电位沿等位面法线方向（即场强方向）的方向导数的负值，负号表示场
11、强方向沿电位着陆方向。从上式可以看出，对于确定的从上式可以看出，对于确定的U，若，若n短，则场短，则场强大；若强大；若n长，则场强小。这说明等位面密处场长，则场强小。这说明等位面密处场强大，疏处场强小。强大，疏处场强小。单位正电荷从单位正电荷从 a到到 b电场力的功电场力的功电场强度沿某电场强度沿某一方向的重量一方向的重量沿该方向电势的沿该方向电势的变更率的负值变更率的负值一般一般所以所以方向上的分量方向上的分量 在在或或u的梯度的梯度:的方向与的方向与u的梯度反向，即指向的梯度反向，即指向u降落的方向降落的方向物理意义：电势梯度是一个矢量，它的大小为电势沿物理意义：电势梯度是一个矢量，它的大小为电势沿等势面法线方向的变更率，它的方向沿等势面法线方等势面法线方向的变更率，它的方向沿等势面法线方向且指向电势增大的方向。向且指向电势增大的方向。例例1利用场强与电势梯度的关系，利用场强与电势梯度的关系，计算匀整带电计算匀整带电细圆环轴线上一点的场强。细圆环轴线上一点的场强。解解:例例2计算电偶极子电场中任一点的场强计算电偶极子电场中任一点的场强解：解：B点点(x=0)A点点(y=0)