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1、第六章定积分的应用习题6-2(A)1. 求下列函数与 x 轴所围部分的面积：(1) y = x 2 - 6x + 8,0, 3(2) y = 2x - x2 ,0, 32. 求下列各图中阴影部分的面积： 1.图 6-13. 求由下列各曲线围成的图形的面积：(1) y = ex , y = e- x 与 x = 1;(2) y = ln x 与 x = 0, y = ln a,y = ln b (b a 0);(3) y = 2x - x2与 y = x , y = 0 ; (4) y 2 = 2x ,y 2 = -(x - 1) ;(5) y2 = 4(1 - x) 与 y = 2 - x ,
2、 y = 0 ;(6) y = x2与 y = x , y = 2x ;(7) y = 2 sin x ,y = sin 2x (0 x p ) ;8(8) y = x 22, x 2 + y 2 = 8（两部分都要计算）;4. 求由曲线 y = ln x 与直线 y = 0, x = e -1 , x = e 所围成的图形的面积。5. 求抛物线 y = - x 2 + 4 x - 3 及其在点(0, - 3) 和 (3, 0) 处的切线所围成的图形的面积。6. 求抛物线 y 2 = 2 px 及其在点 ( p2, p) 处的法线所围成的图形 的面积。xya7. 求曲线+=与两坐标轴所围成的图
3、 形的面积。8. 求椭圆 x 2 + y 2a 2b 2= 1 所围图形的面积。9. 求由摆线 x = a(t - sin t), y = a(1 - cos t) 的一拱（0 t 2p ) 与横轴所围图形的面积。10. 求位于曲线 y = e x 下方与由该曲线过原点的切线的左方及 x 轴之间的图形的面积。11. 求由下列各方程表示的曲线围成的图形的面积：(1) r = 2a sin q (a 0) ;(2) r = 2a (2 + cos q)(a 0);(3) r2 = 2 cos 2q （双纽线）;12. 把抛物线 y 2 = 4ax 及直线 x = x(x 0) 所围成的图形绕 x
4、轴旋转，计算所得旋转00抛物体的体积。13. 由 y = x 3 , x = 2 , y = 0 所围成的图形，分别绕 x 轴及 y 轴旋转，计算所得两个旋转体的体积。14. 求下列已知曲线所围成的图形，按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积：(1) y = ach xa与 x = 0 , x = a , y = 0 ,绕 x 轴;(2) y = sin x 与 y = 2x ,绕 x 轴;p(3) y = sin x 与 y = cos x (0 x p ) ,绕 x 轴;2(4) y = ln x , 与 x = 2 , y = 0 绕 y 轴 ;(5) y = 2x - x2与 y = x
5、, y = 0 绕 y 轴 ; (6) (x - 5) 2 + y 2 = 16 ,绕 y 轴;15. 求由抛物线 y 2 = 4(1 - x) 及其在 (0, 2) 处的切线和 x 轴所围的图形绕 x 轴旋转产生的旋转体的体积 。16. 求 x 2 + y 2 4,x 3 y 2 所围图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体 积。17. 一立体以椭圆 x 2100+ y 225 1 为底，垂直于长轴的截 面都是等边三角形 ( 图 6 - 2)，求其体积。818. 求底面是半径为 R 的圆，而垂直于底面上 一条固定直径的所有截 面都是等边三角形的立 体体积。319. 计算曲线 y = ln x 上相应
6、于 x 的一段弧的长度。20. 计算曲线 y =(3 - x) 上相应于 1 x 3 的一段弧 (6 -3) 的长度。x321. 求对数螺线 r = e aq 相应于 q = 0 到 q = j 的一段弧长。22. 求曲线 rq = 1 相应于 q = 3 到q = 4 的一段弧长。43x = arctant23. 求曲线1上自t = 0 到 t = 1的一段弧长。y =ln(1 + t2)224. 求摆线 x = 1 - cos t, y = t - sin t 上相应于0 t 2p 的一拱的长度。习题6-2(B)1. 求由下列各组曲线围成的图形的公共部分的面积：(1) r =3a 与 r
7、= 2a cos q ;(2) r = 3 cosq 与 r = 1 + cosq ;2(3) r =sin q 与r 2 = cos 2q ;2. 假设曲线 L1: y = 1 - x 2 (0 x 1) 与 x 轴和 y 轴所围区域被曲线 L2: y = ax 2 分成面积相等的两部分( 图 6 - 4)，其中 a 是大于零的常数，试确 定 a 的值。3. 用积分方法证明图 6 - 5 中球缺的体积为V = p H 2(R -H ) . 34. 一铁铸件，其形状为两 抛物线 y = x 2 , y =1 x 2 + 1 与直线 y = 10 围成的图形绕 y 轴旋转1010而成的旋转体，铁
8、的密 度是 7. 8 ( g / cm 3 )，求铸件的质量。x5. 求 y =, y = 2 及 x = 0 所围成的图形 绕(1) x 轴； (2) y 轴； (3) 直线 y = 2； (4) 直线 x = 4旋转而成的旋转体的体 积。6. 求 x 2 + y 2 a 2 , 绕 x = -b (b a 0) 旋转所成旋转体的体积 。7. 求第一象限内由曲线 x = y - y 3 和 y 轴围成的平面图形绕直线 y = 1旋转而成的旋转体的体积。8. 求由摆线 x = a (t - sin t), y = a(1 - cos t) 的一拱（0 t 2p ) 与 x 轴所围图形绕直线y
9、= 2a 旋转而成的旋转体的体积。9. 证明由平面图形 0 a x b, 0 y f (x) 绕 y 轴旋转而成的旋转体的 体积为2p b x f (x) dx .a10. 在摆线 x = a (t - sin t), y = a (1 - cos t) 上求分摆线第一拱的弧段长为1 : 3 的分点坐标。111. 求抛物线 y =x 2 被圆 x 2 + y 2 = 3 所截下的有限部分的弧 长。2212. 计算半立方抛物线 y 2 =(x - 1) 3 被抛物线 y 2 = x 截得的一段弧 的长度。3313. 证明曲线 y = sin x ( 0 x 2p ) 的弧长等于椭圆 x 2 +
10、2 y 2 = 2 的周长。214 .求由星形线 x 32+ y 32= a 3( 或 x = a cos 3 t，y = a sin 3 t , a 0)(1) 所围成的图形的面积；(2) 所围成的图形的绕 x 轴旋转而成的旋转体体 积；(3) 整个弧长。1 + f 2 ( x)15. 利用元素法证明由 xoy 平面上一段曲线弧 y = f ( x) , ( f ( x) 0, 0 x b ) 绕 x 轴旋转一周产生的曲面 （称为旋转曲面）的表 面积（或称为旋转体的侧面 积）为2p baf ( x)dx .并利用此公式证明半径 为 R 的球体的表面积为 4p R 2 .习题6-3(A)1.
11、由实验知道，弹簧拉伸过程中，需要的力 F（单位：N）与伸长量 s（单位：cm）成正比， 即F = ks （k 是比例系数），计算把弹簧拉伸 6 (cm) 所作的功。2. 直径为 20( cm) ，高为 80 (cm) 的圆柱体内充满压强为 10 (N / cm 2) 的蒸汽，设温度保持不变， 要使蒸汽体积缩小一半，问需作多少功。3. 一物体按规律 x = ct 3 作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比， 计算物体由 x = 0移至 x = a 时，克服阻力所作的功。4. 用铁锤将一铁钉击入木 板，设木板对铁钉的阻 力与铁钉击入木板的深 度成正比，在 击第一次时，将铁钉击 入木板 1 (cm
12、)；如果铁锤每次打击铁 钉所做的功相等，问锤 击第二次时，铁钉又击入 多少？5. 半径为 R ( m) 的半球形水池，其中充满 了水，问把池内的水完 全吸尽，至少做多少功 ？6. 设一正圆锥形贮水池， 深 15 (m)，口径 20 (m)，水面离池口有 1 (m)，若要将水从池口全部吸尽，需要做多少功？7. 设沙的比重为 2 g ( kN / m 3)，现要堆成一个半径为 R (m)，高为 h (m ) 的圆锥形沙堆， 问至少做多少功？8. 一底为 8 (cm)，高为 6 (cm) 的三角形薄片，垂直沉 没在水中，顶在上离水 面 3 (cm)，底在下且底边与水面平行，试求它每面所受 水压力的大
13、小。9. 水坝中有一直立的矩形 闸门，阔 10 (m)，高 6 (cm) ，闸门上边平行于水面 ；(1) 求水面在闸门顶上 8 (m ) 时，闸门所受的水压力 ；(2) 欲使闸门所受的压力加 倍，水面应升高多少？10. 一根长为 l ，线密度为 m 的均匀细直棒，在棒的 一端垂直距离为 a 单位处有一质量为 m 的质点 M，试求这细棒对质点 M 的引力。习题6-3(B)1. 半径为 R (m)的球沉入水中，球的上部 与水面相切，球的比重 与水相同，现将球从水 中取出，需做多少功？若 球的比重是水的两倍， 问所做的功是多少？2. 设有一个由抛物线 y = x 2 绕其对称轴旋转而成的容器，容积为
14、 72p (cm 3 )，盛满了水， 现在要将水抽出 64p (cm 3 )，问需做多少功？3. 等腰三角形薄片垂直沉没在水中，其底与水面 相齐，薄板的高为 h , 底为 a, 水比重为 1(1) 计算薄板一侧所受的水压力；(2) 若倒转薄板，使顶点与水面相齐，而底平行于水面，则水对薄板一侧的压力增加多少？4. 有两根匀质细杆，长度 均为 l ，位于同一直线上，相 间距离为 a ，A 杆密度为 m，B 杆密度为n ，求两细杆之间的引力 。习题6-41. 某产品的边际成本 P 为产量 x 的函数P(x) = 100 + 0.002 x求产量从 1000 到 2000 时成本的增加量。2. 某产品
15、生产 x 个单位时，总收入 R 的变化率（边际收入）为R(x) = 200 -x100， (x 0)(1) 求生产 50 个单位时的总收入；(2) 若已经生产了100 个单位，则求再生产 100 个单位时的总收入。3. 已知某产品的边际收益是 R(x) = 25 - 2x，边际成本是 C (x) = 13 - 4x，固定成本是C0 = 10，求当 x = 5 时的毛利和净利。提示：净利 = 毛利固定成本4. 设某种产品每天生产 x 单位的固定成本为 20 元，边际成本函数为C (x) = 0.4x + 2（元 / 单位），求总成本函数 C(x);如果这种产品规定的销售单价为 18 元，且产品可
16、以全部售出，求总利润函数 L( x)， 并问每天生产多少单位时才能获得最大利润。5 . 设某产品的边际收益是 R( x) = 8 - x（万元 / 百台），边际成本是 C ( x) = 4 +求 (1) 产量从 1 百台增加到 5 百台的与总收入与总成本的增量；(2) 产量为多少时，总利润最大 ？x （万元 / 百台），4(3) 已知不变成本 C (0) = 1（万元），求总成本、总利润与产量 x 的函数关系式；(4) 利润最大时的总成本与总收入。16. 已知某石油公司的收入率（以每年亿元为单位）为 R(t) = 9 - t 3 （时间t 以年为单位）1相应的成本率为 C (t) = 1 +
17、3t 3 ,试判断该石油公司应连续开发多少年？并问在停止开发时，该公司所获总利润为多少？ ，求需求量 Q 与价格 p 的函数关系。7. 某商品的需求量 Q 为价格 p 的函数，假设该商品的最大需求量为 1000，已知需求量的变化率（边际需求）为 Q( p) = -1000 ln 3 1 p 3 8. 已知某商品的需求量Q 对价格 p 的弹性 h =400，试求需求函数和总收入函数。p，而市场对该商品的最大需求量为4 - p总习题六一、选择题1. 曲线 y = f ( x) 与 x = a, x = b 所围成的图形的面积 A = ().( A)(C)b f ( x)dx ;(B)b f ( x
18、)dx;aabf ( x) dx ;(D)b f ( x)dx - aa00f ( x)dx .2. 连续曲线 y = f1( x) , y = f2(x) ) 与 x = a, x = b 所围图形绕 x 旋转所得旋转体的体积 V = ().( A) p b f 2 ( x) - f 2 ( x) dx ;(B) p b f 2 ( x) - f 2 ( x) dx;2122aa(C) p b f ( x) - f ( x)2 dx ;(D)p bf 2 ( x) - f 2 ( x) dx .2122aacos 2q3. 双纽线 ( x 2 + y 2 ) 2 = x 2 - y 2(r
19、=) 所围成的面积 A = ().(A) ) 2p2 cos2q dq ;0(B) 2p4 cos2q dq ;04cos 2qp(C) ) 2dq ;(D) (D)14 (cos 2q) 2 dq .p0204. 横截面为 S，深为 H 的水池装满水，把水全部抽到离池口高为 h 的水塔上，则所作功 W = ().( A)(C) H S (h + H - y) dy ;0 H S (h - y) dy ;0(B)(D)h S (h + H - y) dy ;0 H + h S (h + H - y) dy .05. x 轴上有一线密度为常数 m 长度为 l 的细杆， 有质量为 m 的质点位于杆
20、的延长线上且到右端的距离为 a，已知引力系数为 k ，则质点和细杆之间的引力大小为 ().( A) 0- lkmm(a - x) 2dx ;(B) l0kmm(a - x) 2dx ;(C) 2 0- l2kmm(a + x) 2dx ;(D) 2lkmm20 (a + x) 2dx .二、填空题1. 曲 线 y = x +1 , x = 2 及 y = 2 所围成的平面图形的面积为.xp2. 曲线 y =3sin 2x (0 x p ) 与 x 轴围成的图形绕 x 轴旋转所成旋转体的体积为.3. 质点以速度 t sin t 2(米 / 秒) 作直线运动，则从时刻 t =1经过的路程为米。秒到
21、 t=p22秒内质点1 - x 24. 函数 y =x 2在区间13, 上的平均值为. 22三、计算题1. 求曲线 y =x2 + x - 2与 x 轴所围部分的面积。x2. 求曲线 y =的一条切线 l , 使该曲线与切线 l 及直线 x = 0, x = 2 所围成图形面积为最小 。3. 考虑函数 y = x 2,0 x 1, 问(1) t 为何值时，图中( 图 6 - 7) 中阴影部分的面积 S 与 S12之 和 S = S + S12最小？(2) t 为何值时，面积 S = S + S12最大？4. 求曲线 y = x 2 - 2x, y = 0, x = 1, x = 3 所围成的平
22、面图形的面积 S，并求该平面图形绕 y 轴旋转所成的旋转体的体积V。5. 求曲线 y = e x 与 x 轴之间位于第二象限的平面图形的面积及此图形绕 y 轴旋转所成的旋转体的体积。6. 设抛物线 y = ax 2 + bx + c 过原点，当 0 x 1, y 0，又已知该抛物线与 x 轴及直线1x = 1 所围图形的面积为为最小。, 试确定 a, b, c, 使此图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的 体积 V37. 求心形线 r = a (1 + cos q) (a 0) 的全长。8. 已知某产品的边际成本函数和边际收入函数分别为C (x) = x 2 - 4x + 5,R(x) = 20 - 2x，求(1) 使总利润最大时的产量；(2) 当产量由 4 减到 2 时，总收入和总成本各减少多少？