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1、第六章定积分的应用习题6-2(A)1 求下列函数与 x 轴所围部分的面积：(1)y x2 6x 8,0,3(2)y 2x x2,0,32 求下列各图中阴影部分的面积：1.图 6-13求由下列各曲线围成的图形的面积：(1)y ex,y ex与 x 1;(2)y ln x 与 x 0,y ln a,y ln b(b a 0);(3)y 2x x2与 y x,y 0;(4)y2 2x,y2(x 1);(5)y2 4(1 x)与 y 2 x,y 0;(6)y x2与 y x,y 2x;(7)y 2 sin x,y sin 2x(0 x);8)y x2(2,x2 y2 8（两部分都要计算）;14求由曲线
2、 y ln x 与直线 y 0,x e1,x e 所围成的图形的面积。5求抛物线 y x2 4x 3及其在点(0,3)和(3,0)处的切线所围成的图形的面积。6求抛物线 y2 2px 及其在点(p2,p)处的法线所围成的图形 的面积。7求曲线x y a 与两坐标轴所围成的图 形的面积。8求椭圆x2y2a2b2 1 所围图形的面积。9求由摆线 x a(t sint),y a(1 cost)的一拱（0 t 2)与横轴所围图形的面积。10求位于曲线 y ex下方与由该曲线过原点 的切线的左方及 x 轴之间的图形的面积。11求由下列各方程表示的曲线围成的图形的面积：(1)2a sin(a 0);(2)
3、2a(2 cos)(a 0);(3)2 2 cos 2（双纽线）;12.把抛物线 y2 4ax及直线 x x0(x0 0)所围成的图形绕 x 轴旋转，计算所得旋转抛物体的体积。13.由 y x3,x 2,y 0 所围成的图形，分别绕 x 轴及 y 轴旋转，计算所得两个旋转体的体积。14求下列已知曲线所围成的图形，按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积：(1)y achxa与 x 0,x a,y 0,绕 x 轴;(2)y sin x 与 y 2x,绕 x 轴;(3)y sin x 与 y cos x(0 x 2),绕 x 轴;(4)y ln x,与 x 2,y 0 绕 y 轴;(5)y 2x x2与
4、 y x,y 0 绕 y 轴;(6)(x 5)2 y2 16,绕 y 轴;15.求由抛物线 y2 4(1 x)及其在(0,2)处的切线和 x 轴所围的图形绕 x 轴旋转产生的旋转体的体积。16.求 x2 y2 4,x 3y2所围图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体 积。.一立体以椭圆x217100y225 1为底，垂直于长轴的截 面都是等边三角形(图 6 2)，求其体积。218.求底面是半径为 R的圆，而垂直于底面上 一条固定直径的所有截 面都是等边三角形的立 体体积。19.计算曲线 y ln x 上相应于3 x 8 的一段弧的长度。20.计算曲线 y x(3 x)上相应于 1 x 3 的一段弧(
5、6 3)的长度。321.求对数螺线 ea相应于 0 到的一段弧长。22.求曲线 1相应于34到的一段弧长。43x arctant23.求曲线上自t 0 到t 1的一段弧长。12y ln(1 t)224.求摆线 x 1 cost,y t sint 上相应于0 t 2的一拱的长度。习题6-2(B)1求由下列各组曲线围成的图形的公共部分的面积：(1)3a 与 2a cos;(2)3cos与 1 cos;(3)2 sin与2 cos 2;2.假设曲线 L1:y 1 x2(0 x 1)与 x 轴和 y 轴所围区域被曲线 L2:y ax2分成面积相等的两部分(图6 4)，其中a 是大于零的常数，试确 定
6、a 的值。3.用积分方法证明 图 6 5 中球缺的体积为HV H2(R).3x2124.一铁铸件，其形状为两 抛物线 y,y x 1 与直线 y 10 围成的图形绕 y 轴旋转1010而成的旋转体，铁的密 度是 7.8(g/cm3)，求铸件的质量。5.求 y x,y 2 及 x 0 所围成的图形 绕(1)x 轴；(2)y 轴；(3)直线 y 2；(4)直线 x 4旋转而成的旋转体的体 积。6.求 x2 y2 a2,绕 x b(b a 0)旋转所成旋转体的体积。7.求第一象限内由曲线x y y3和 y 轴围成的平面图形绕直线y 1旋转而成的旋转体的体积。38.求由摆线 x a(t sint),y
7、 a(1 cost)的一拱（0 t 2)与x轴所围图形绕直线y 2a 旋转而成的旋转体的体积。9.证明由平面图形 0 a x b,0 y f(x)绕 y 轴旋转而成的旋转体的 体积为2bax f(x)dx.10.在摆线 x a(t sint),y a(1 cost)上求分摆线第一拱的弧 段长为1:3 的分点坐标。11.求抛物线 y 12x被圆 x2 y2 3 所截下的有限部分的弧 长。212.计算半立方抛物线 y22x(x 1)3被抛物线 y2截得的一段弧 的长度。3313.证明曲线y sin x(0 x 2)的弧长等于椭圆 x2 2y2 2 的周长。2x3232a314.求由星形线 y(或
8、x a cos3t，y a sin3t,a 0)(1)所围成的图形的面积；(2)所围成的图形的绕 x 轴旋转而成的旋转体体 积；(3)整个弧长。15.利用元素法证明由 xoy 平面上一段曲线弧y f(x),(f(x)0,0 x b)绕 x 轴旋转一周产生的曲面（称为旋转曲面）的表 面积（或称为旋转体的侧面 积）为2baf(x)1 f2(x)dx.并利用此公式证明半径 为 R 的球体的表面积为 4R2.习题6-3(A)1.由实验知道，弹簧拉伸过程中，需要的力 F（单位：N）与伸长量 s（单位：cm）成正比，即F ks（k 是比例系数），计算把弹簧拉伸 6(cm)所作的功。2.直径为 20(cm)
9、，高为 80(cm)的圆柱体内充满压强为 10(N/cm2)的蒸汽，设温度保持不变，要使蒸汽体积缩小一半，问需作多少功。3.一物体按规律 x ct3作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由 x 0移至 x a 时，克服阻力所作的功。4.用铁锤将一铁钉击入木 板，设木板对铁钉的阻 力与铁钉击入木板的深 度成正比，在击第一次时，将铁钉击 入木板 1(cm)；如果铁锤每次打击铁 钉所做的功相等，问锤 击第二次时，铁钉又击入 多少？5.半径为 R(m)的半球形水池，其中充满 了水，问把池内的水完 全吸尽，至少做多少功？6.设一正圆锥形贮水池，深15(m)，口径 20(m)，水面离池口有 1
10、(m)，若要将水从池口全部吸尽，需要做多少功？7.设沙的比重为 2g(kN/m3)，现要堆成一个半径为R(m)，高为 h(m)的圆锥形沙堆，问至少做多少功？48.一底为 8(cm)，高为 6(cm)的三角形薄片，垂直沉 没在水中，顶在上离水 面 3(cm)，底在下且底边与水面 平行，试求它每面所受 水压力的大小。9.水坝中有一直立的矩形 闸门，阔 10(m)，高 6(cm)，闸门上边平行于水面；(1)求水面在闸门顶上 8(m)时，闸门所受的水压力；(2)欲使闸门所受的压力加 倍，水面应升高多少？10.一根长为 l，线密度为的均匀细直棒，在棒的 一端垂直距离为 a 单位处有一质量为 m 的质点
11、M，试求这细棒对质点 M 的引力。习题6-3(B)1.半径为 R(m)的球沉入水中，球的上部 与水面相切，球的比重 与水相同，现将球从水 中取出，需做多少功？若 球的比重是水的两倍，问所做的功是多少？2.设有一个由抛物线 y x2绕其对称轴旋转而成的容器，容积为 72(cm3)，盛满了水，现在要将水抽出 64(cm3)，问需做多少功？3.等腰三角形薄片垂直沉 没在水中，其底与水面 相齐，薄板的高为 h,底为 a,水比重为 1(1)计算薄板一侧所受的水 压力；(2)若倒转薄板，使顶点与 水面相齐，而底平行于 水面，则水对薄板一侧 的压力增加多少？4.有两根匀质细杆，长度 均为 l，位于同一直线上
12、，相 间距离为 a，A 杆密度为，B 杆密度为，求两细杆之间的引力。习题6-41.某产品的边际成本 P 为产量 x 的函数P(x)100 0.002x求产量从 1000 到 2000 时成本的增加量。2.某产品生产 x 个单位时，总收入 R 的变化率（边际收入）为R(x)200 x100，(x 0)(1)求生产 50 个单位时的总收入；(2)若已经生产了100 个单位，则求再生产 100 个单位时的总收入。3.已知某产品的边际收益是 R(x)25 2x，边际成本是 C(x)13 4x，固定成本是C0 10，求当 x 5 时的毛利和净利。提示：净利 毛利固定成本4.设某种产品每天生产 x 单位的
13、固定成本为 20 元，边际成本函数为C(x)0.4x 2（元/单位），求总成本函数 C(x);如果这种产品规定的销售单价为 18元，且产品可以全部售出，求总利润函数 L(x)，并问每天生产多少单位时才能获得最大利润。55.设某产品的边际收益是 R(x)8 x（万元/百台），边际成本是 C(x)4 求(1)产量从 1 百台增加到 5 百台的与总收入与总成本的增量；(2)产量为多少时，总利润最大？x（万元/百台），4(3)已知不变成本 C(0)1（万元），求总成本、总利润与产量 x 的函数关系式；(4)利润最大时的总成本与总收入。6.已知某石油公司的收入率（以每年亿元为单位）为 R(t)9 相应的
14、成本率为 C(t)1 13t31t3（时间t 以年为单位）,试判断该石油公司应连续开发多少年？并问在停止开发时，该公司所获总利润为多少？7.某商品的需求量 Q 为价格 p 的函数，假设该商品的最大需求量为 1000，已知需求量的p1变化率（边际需求）为 Q(p)1000 ln 3 ，求需求量 Q与价格 p 的函数关系。38.已知某商品的需求量Q 对价格 p 的弹性400，试求需求函数和总收入函数。p，而市场对该商品的最大需求量为4 p总习题六一、选择题1.曲线 y f(x)与 x a,x b 所围成的图形的面积 A ().(A)(C)bababaf(x)dx;(B)f(x)dx;f(x)dx
15、f(x)dx;(D)b0a0f(x)dx.2.连续曲线 y f1(x),y f2(x)与 x a,x b 所围图形绕 x 旋转所得旋转体的体积 V ().(A)(C)baba f22(x)f12(x)dx;(B)baba f22(x)f22(x)dx;f22(x)f22(x)dx.f2(x)f1(x)2dx;(D)3.双纽线(x2 y2)2 x2 y2(cos 2)所围成的面积 A ().(A)220cos2d;cos 2d;(B)240cos2d;40(C)2401(D)2(cos 2)2d.64.横截面为 S，深为 H 的水池装满水，把水全部抽到离池口高为 h 的水塔上，则所作功 W (A
16、)(C).(B)(D)H0H0S(h H y)dy;S(h y)dy;0h0S(h H y)dy;S(h H y)dy.H h5.x 轴上有一线密度为常数长度为 l 的细杆，有质量为 m 的质点位于杆的延长线上且到右端的距离为 a，已知引力系数为 k，则质点和细杆之间的引力大小为().(A)0lkm(a x)l20dx;2dx;(B)l0km(a x)2dx;dx.(C)2km(a x)2(D)2lkm20(a x)2二、填空题1.曲线 y x 2.曲线 y 3sin21,x 2 及 y 2 所围成的平面图形的面积为 _.xx(0 x)与 x 轴围成的图形绕 x 轴旋转所成旋转体的体积为 _.
17、3.质点以速度 t sin t2(米/秒)作直线运动，则从时刻 t1经过的路程为 _ 米。4.函数 y x21 x22秒到 t2秒内质点13在区间,上的平均值为_.22三、计算题1.求曲线 y x2 x 2与 x 轴所围部分的面积。2.求曲线 y x 的一条切线 l,使该曲线与切线 l 及直线 x 0,x 2 所围成图形面积为最小。3考虑函数 y x2,0 x 1,问(1)t 为何值时，图中(图6 7)中阴影部分的面积 S1与 S2之和 S S1 S2最小？(2)t 为何值时，面积 S S1 S2最大？4.求曲线 y x2 2x,y 0,x 1,x 3 所围成的平面图形的面 积 S，并求该平面图形绕 y 轴旋转所成的旋转体的体积V。5.求曲线 y ex与 x 轴之间位于第二象限的 平面图形的面积及此图 形绕 y 轴旋转所成的旋转体的体积。76.设抛物线 y ax2 bx c 过原点，当 0 x 1,y 0，又已知该抛物线与 x 轴及直线x 1 所围图形的面积为13,试确定 a,b,c,使此图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的 体积 V为最小。7.求心形线 a(1 cos)(a 0)的全长。8.已知某产品的边际成本函数和边际收入函数分别为C(x)x2 4x 5,R(x)20 2x，求(1)使总利润最大时的产量；(2)当产量由 4 减到 2 时，总收入和总成本各减少多少？8