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1、随机事件的概率一、概率.在相同条件下，大量重复进行同一试验，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A 发生的频率具有稳定性.我们把这个常数叫做随机事件A的概率.记作P(A).1 .频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但是频率是随机的,而概率是一个确定的值,通常人们用概 率来反映随机事件发生的可能性的大小.有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.二、事件的关系与运算三、概率的几个基本性质定义符号表示包含关系如果事件A发生 ，则事件B 一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B3 A （或 Ac B）相等关系若且那么称事件A与事件B相等.A = B并事件(和 事件
2、)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,称此事 件为事件A与事件B的并事件(或和事件)AUB 或 A+B交事件(积 事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此 事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)ACB 或 AB互斥事件若为不可能事件,那么事件A与事件B互斥A n b=0对立事件若APB为不可能 事件,AU3为必然事件，那么称事 件A与事件8互为对立事件1.概率的取值范围：OWP(A)=l, 到尸+0(0=总.(O+p(d)=5解：分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件A、B、C、D由于A、B、C、。为互斥事件，根据已知得( 1P(3)F解得1尸=/.得到黑球、黄球、绿
3、球的概率分别为，春、p(0 41 .应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和.2 .求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式求解.如果采用方法一，一定 要将事件拆分成若干个互斥事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易 出现错误.3 .对立事件一定是互斥事件.互斥事件不一定是对立事件，可借助于集合思想去找准对立事件.4 .若A、B互斥且对立.则P(A) + P(B)=L例10：某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙均属于次品，若生产中出现乙
4、级品的概率为0.03,丙级品的概率为0.01,则对成品抽查一件，恰好得正品的概率为（）A. 0.99B. 0.98C. 0.97D. 0.96解：P= 1-0.03-0.01 =0.96.例11： 一个袋中有4个大小质地都相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地 取球，每次随机取一个.求连续取两次都是白球的概率；若取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0分，求连续取两次分数之和大于1分的概率.解：（1）连续取两次所包含的基本事件有：（红，红），（红，白1）,（红，白2）,（红，黑）；（白1,红），（白1,白1）,（白1,白2）,（白1,黑）；（白2,红），（白2
5、,白1）,（白2,白2）,（白2,黑）；（黑，红），（黑，白1）,（黑，白2）,（黑，黑）所以基本事件的总数加=16.设事件A：连续取两次都是白球，则事件A所包含的基本事件有：（白1,白1）,（白1,白2）,（白2,白1）,41（白2,白2）共4个，所以。（4）=讳=不法一：由连续取两次的事件总数为M=16,设事件&连续取两次分数之和为0分，则P（8）=上；41设事件C连续取两次分数之和为1分，则P（O=?设事件连续取两次分数之和大于1分，则 p（r）=i-p（B）-p（c）=1|o法二：设事件B：连续取两次分数之和为2分，则尸（8）=假；设事件C连续取两次分数之和为3分，则41尸。）=而；设
6、事件D：连续取两次分数之和为4分,则尸（。）=而；设事件E：连续取两次分数之和大于1分，则 P（E） = P（3） + P（C） + P（0=。Li例12：如图，A地到火车站共有两条路径L和L2,现随机抽取100位从一二火车站A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间（分钟）10-2020-3030-4040 5050 60选择L的人数612181212选择办的人数0416164试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；分别求通过路径Li和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车 站，试通过计算说明
7、，他们应如何选择各自的路径.解：（1）由已知共调查了 100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44人，用频率估计 相应的概率为0.44.（2）选择Li的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为：所用时间（分钟）10-2020 3030 4040-5050 60L的频率0.10.20.30.20.2L?的频率00.10.40.40.1（3）Ai，A2分别表示甲选择Li和L2时,在40分钟内赶到火车站；Bi，Bz分别表示乙选择Li和L2时,在50分钟内赶到火车站.由（2）知P（Ai）=0.l+0.2+0.3=06P（A2）=0.1+0.4=0.5, P（Ai）P（
8、A2）,甲应选择 LI； P（Bi） = 0.1 +0.2+03+0.2=0.8,P（B2）=0.1 + 0.4+0.4=0.9, P（B2）P（Bi）,，乙应选择 L2.例13：甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75, 则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为.解：=10. 2X0. 25 = 0.95.答案：0.95。例14：已知向量=（x、y）, /?=（!, -2）,从6张大小相同、分别标有号码1、2、3、4、5、6的卡片中， 有放回地抽取两张，X、y分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码.求满足b= l的概率；(2)求满足。
9、匕0的概率.解：设(羽y)表示一个基本事件，则两次抽取卡片的所有基本事件有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(1,6)、(2,1)、(2,2)(6,5)、(6,6),共36个.用A表示事件=1”,即2y= -L则A包含的基本事件31有(1,1)、(3,2)、(5,3),共 3 个,尸.(2)乃0,即x2y0,在中的36个基本事件中，满足九一2y0的事件有(3)、(4)、(5,1)、(6)、(5,2)、(6,2),共6个，所以所求概率例15：某次会议有6名代表参加，A、3两名代表来自甲单位，C、。两名代表来自乙单位，E、尸两名代表 来自丙单位，现随机选出两名代表发言，问
10、：(1)代表A被选中的概率是多少？(2)选出的两名代表“恰有1 名来自乙单位或2名都来自丙单位”的概率是多少？解：(1)从这6名代表中随机选出2名，共有C；=15种不同的选法，其中代表A被选中的选法有C；=5种，则代表A被选中的概率为9=：,随机选出的2名代表“恰有1名来自乙单位”的结果有CC； =8种，概率 C6Q1为已 随机选出的2名代表“都来自丙单位”的结果有1种，概率为七则“恰有1名来自乙单位或2名都来自 丙单位”这一事件的概率为表+*=*例16：盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球.规定取出1个红色球得1分, 取出1个白色球得。分，取出1个黑色球得一1分.现
11、从盒内一次性取3个球.则取出的3个球得分之和恰 好为1分的概率是.解：记“取出1个红色球，2个白色球”为事件A, “取出2个红色球，1个黑色球”为事件 则取出3个球 得分之和为1的事件为十的 则夕(4 + 8) =。04) +。(3)=崎+等=看例17：从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是() 13-9A 诃B.而C.g解：从5个球中任取3个共有C；=10种方法,又“所取的3个球中至少有1个白球”的对立事件是“所取 的3个球都不是白球”因而所求概率p=l 一4=义.C；10本例条件不变，求所取的3个球中最多有1个白球的概率是多少？C3C2 cl7解：
12、“最多有一个白球分两类：一是三个都是红球，二是三个中一个白球2个红球，故。=+=2=木.d d 10例18： 2016年奥运会在里约热内卢举行，期间从来自A大学的2名志愿者和来自8大学的4名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A大学志愿者的概率是解：利用对立事件“2名大学生全来自3大学”去求，P=1与=*Cl 5例19：已知7件产品中有2件次品，现逐一不放回地进行检验，直到2件次品都能被确认为止.(1)求检验次数为3的概率；(2)求检验次数为5的概率.解：记“在3次检验中，前2次检验中有1次检到次品，第3次检验到次品”为事件A,则检验次数为3 的概率为P(A) = (2)记“在5次检验中，前4次检验中有1次检到次品，第5次检验到次品”为事件3,记“在5次检验中，没 有检到次品”为事件C,则检验次数为5的概率为P=P+尸(。=翟.七+冷端