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1、沪教版（2020）必修第二册单元训练 期末测试（B卷）学校:姓名：班级：考号：一、填空题. sin a + cos a 一1 .已知二=-2,则tana =.sin a - cos a2 .若复数z = （l + ai）（2-j） （i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为一3 .已知向量d和向量5的夹角为30。，同=2, W =则限5=.4 .函数），=2疝2%的最小正周期为.5 .复数一。）在复平面中所对应点到原点的距离是. i.若函数尸tanhx-M + k, xjo,曰的图象都在x轴上方，则实数k的取值范围为 3 J I 6,6 .已知方程/ 一履+2 = 0 （kwR）的两个虚根为4、
2、x”若|再-$1=2,则 =7 .已知复数4，满足=闫=1,且4 + z2 = 1 +，则平2=.8 .在“18。中，角 A、B、。所对的边分别为 a、b、c, a = 2, 2sinA = sinC.若8为钝角，cos2c则A/WC的面积为49 .在 ABC中，已知AC = 3,NA = 45。，点D满足丽=2丽，且AO = g,则BC 的长为 .二、单选题H.已知复数z = l + i的共枕复数是三，z、三在复平面内对应的点分别是A、B,。为坐 标原点，则”08的面积是（）A. gB. 1C. 2D. 412.设6,乙为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足。与5不共 线，a 1
3、c,|4=H，则Bq的值一定等于（）A.以1, 5为邻边的平行四边形的面积B.以6, 为两边的三角形面积C. 5为两边的三角形面积D.以5, 3为邻边的平行四边形的面积/(x)的值域为一马,所以A不正确：函数的图象如图：1一2兀 一一兀/ 2兀 1迈2J。)是以2九为最小正周期的周期函数，所以B不正确；当x = + 2或x = 2E/eZ)时，取得最大值为1.所以C不正确:当/(%)0时，2E +兀0,8(.-2)0,解得的取值详解：设 z=x+yi(x,yR),则 z+2i=x+(y+2)i.由题意,得 y二-2./.z=x-2i./.7 = - = 1(x-2i)(2 + i) = 1(2
4、x + 2) + 1(x-4)i.Z-l Z-I 3D又三为实数，2-1x=4. z=4-2i./. (z+ai)2=(4-2i+ai)2=( 12+4a-a2)+8(a-2)i.又(z+ai)2的对应点在第一象限，12 + 4* 0,8(如2) 0.12 + 4* 0,8(如2) 0.解得2vav6.工实数a的取值范围是6).点睛：复数的实部和虚部分别对应复平面的x轴和y轴，已知复数位于哪个象限由此列出实 部和虚部的取值范围.16. (1)证明见解析；(2) m=l【解析】（1）由丽=比+函，可求得加=50一5人 结合而=不一5，可得丽=5而， 从而可证明A、B、。三点共线；（2）由向量机万
5、-万与万-痴平行,可知存在实数攵，使得&（流-9=心族成立,进而可 建立等式关系，即可求出出的值.【详解】（1）由题意，Bb=BC + CD = 2a-Sb + 3d + 3b=5a-5b又aB = G-6，所以8Zi = 5A月，故A、B、。三点共线.（2）因为向量、5均为非零向量，且向量疝-5与江-区平行，所以存在实数3使得M，必-5）=在而成立，km = 1则,k = m = .-k = -m故实数”的值为1.17. & = -6或-1.【分析】根据给的两个向量写出第三条边所对应的向量，分别检验三个角是直角时根据判断 向量垂直的充要条件，若数量积为零，能做出对应的值则是，否则不是.【详解
6、】解：炭=丽+/=-2-+ 3+好=+（1）了, E7-7 = O, |F|=|7| = 1,（1）若A为直角，则福/=（2/+ 了）.（3，6） = 6 + 4 = 0n = -6；（2）若8为直角,则Z匣3仁=（27 +力+ （人1）力= l + &=On& = I；（3）若C为直角,则衣比=（3:+6）-口 + （&-1）力=公_4+ 3 =（）=丘0. /的值为-6或-1.18. A = W=迪3【分析】（1）利用三角函数的诱导公式化简两个向量，利用向量垂直的充要条件列出方程, 据特殊角的三角函数值求出角.（2）通过三角函数的平方关系求出角3的正弦，利用三角形中的正弦定理求出边方.【详
7、解】（1）解：庆= （G,cos（7t-A）- 1） = （G,-cosA - 1）, /i = fcos J =（sinA,l）._ _ _ . ( A 1* m n V3sin A - cos A - 1 = 0 sm A 三= k 6/2,.兀 ，兀 57r, 7T 7T 0 An , . A - y /2 =.3jr19. (I)/(a) = 2sin(2x + -).（2）伙乃一匕T + |j,Z.【分析】试题分析：（1）观察图象可知，周期T = 2 （=一经）=4,.& = = 2, 12127T根据点（苧，。）在函数图象上，得到Asin （2x + /） = 0,结合。求得。=g
8、; 12122o再根据点（0, 1）在函数图象上，求得A = 2,即得所求.(2)首先将g (x)化简为2sin (2x-y),利用“复合函数单调性”， 7T . 7t 7T. /口 . 7T .57r由+ 2k/r K 2x + 2k/r, k e z , 得 k/r W x K k/r +1 ？,得出函数g(x)=f(x)-f(x+)的单调递增区间为k/T-,k +占Mez.【详解】(1)由图象可知，周期T = 2 (=一空)=,.0 = 至 = 2, 1212n.点(当,0)在函数图象匕.Asin (2x当+ M =。，,.sin (竺+。) = 0,解得 1212657r.+ 0 =笈
9、 + 21乃, = 2k;r + , k e z ,66 ：6/3cos2x = 2sin (2x-), 2237T71 7T71StT由+ 2k7r 2xh2k, k g z ,得 k4 x /2sin（ + -） 9 + 4夜4所以OC的最大值为2& + 1.【点睛】本题考查三角形中正弦定理和余弦定理的实际应用，考查函数与方程思想、转化与 化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意模型化思想和三角函数有界性的 应用.AB1 = 0AAB = AC,：.OC2 = OA2 + AC2 -2OA AC-cos(900+0) = 4 + 5 -4cos a + 2 x 2 x j5-4
10、cosa sin p= 9-4cosa+4sina= 9 + 4/2sin（ + -） 9 + 4夜4所以OC的最大值为2& + 1.【点睛】本题考查三角形中正弦定理和余弦定理的实际应用，考查函数与方程思想、转化与 化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意模型化思想和三角函数有界性的 应用. +01? - 2OA (?ficosa = 4+ l-2x2xlcosa = 5-4cosa ,/： V5-4cosa 1所以 AB = j5-4cosa , 所以：= ,sin a sin p13.下列是关于复数的类比推理：复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；由实数绝对值的性质=
11、 V类比得到复数Z的性质M = Z2 ；己知 a, /?eR,若。一/?0,贝类比得已知 z?, 2, g C ,若马一z? 0,贝 1J4 2?；由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义.其中推理结论正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4/、 fsinx,sinxcosx14.对于函数/ x）=,下列命题中正确的是（）cos x, sin x cos xA.该函数的值域是1B.当且仅当x = 2E + （AeZ）时，函数取得最大值1C.该函数以兀为最小正周期D.当且仅当2E +兀x2E +与（&wZ）时 /（x）的对应点在第一象限，求实数a的取值范围.2-116 .已知向
12、量）、方均为非零向量，且M与方不平行.（1）若福=江一5，BC = 2a-Sb，CD = 3a + 3b，求证：A、B、。三点共线；（2）若向量*-5与力平行，求实数机的值.17 .在直角坐标系中，j分别是与x轴，y轴平行的单位向量，若直角三角形A4C中，A月=2： + /，XC = 37 + 4/ 求人的值.18 .已知A&C是d3。的内角，。也c分别是其对边长，向量比= （/5,cos（兀-A）-1b求角A的大小；若。=2, cos B = 求的长.319 .已知函数/（x） = Asin（t + 0）（x R,0 0,0 。$的部分图象如图所示.y(l)求函数/*)的解析式；求函数ga)
13、=f(x一自一 /a+自的单调递增区间.20 .如图，某市管辖的海域内有一圆形离岸小岛，半径为1公里，小岛中心。到岸边 AM的最近距离04为2公里.该市规划开发小岛为旅游景区，拟在圆形小岛区域边界上 某点B处新建一个浴场，在海岸上某点C处新建一家五星级酒店，在A处新建一个码 头，且使得与4C满足垂直且相等，为方便游客，再建一条跨海高速通道0。连接 酒店和小岛，设4O6 = a(0a/5x = 3.故答案为：3.4.冗【分析】先利用二倍角公式对函数解析式进行化简整理，进而利用三角函数最小正周期公式 可得函数的最小正周期.【详解】解：由题意可得：y = 2sin2,v = 2x1C2x = -co
14、s2a + 1,可得函数的最小正周期为：年=乃， 故答案为：).【点睛】本题主要考查二倍角的化简求值和三角函数周期性的求法，属于基础知识的考查.5. 2【解析】利用复数代数形式的乘除运算进行化简，求出复数所对应的点的坐标，借助两点间 的距离公式即可得解.【详解】(1-0(1 + /) = 1=111=2 = 2/=2/=_2. i i i i i2所以，复数+ 在复平面内,对应点的坐标为(0,-2),所以，复数人:卢”在夏平面中所对应点到原点的距离为匹询 =2.故答案为：2.【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算及复数所对应的点的坐标，其中涉及到两点 间的距离公式，属于基础题.6.【分析】
15、由题意可得)，=呵2扑火。对于川呜恒成立，分离k转化为最值问题即 可求解.【详解】因为函数片叫2一扑仁川呜的图象都在x轴上方, 所以y = tan 2工-)+ A 0对于x (),包恒成立, 所以A-tan(2.r 1对于xc。高恒成立,(-5/3,oj,(-5/3,oj,因为仪唱，所以2冶十利 所以- tan(2x5)e(0,/3j ,所以 所以实数攵的取值范围为G,+8), 故答案为：6，长0).7. 2【解析】由题意设百= +此 巧=。-阳利用根与系数的关系结合以电1=2求得与的值，则攵可求.【详解】解：.方程程W 一丘+ 2 = 0的两个虚根为毛、巧，可设xi = a + bi, x2
16、=a-bi(a,be R)./.xi+x2=2ci = k t .qw =J + =2 ,.1X1-七|=2 , .,J 2bi |= 2 , 联立解得：b = , a = .故答案为：2.【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力, 属于基础题.8.+四2 2【分析】设4=a + Ai, z.r+MmAc/eR),根据1211Tz= 1和个z?=上手可构造方程组求得不Z?,由此可计算得到结果.向【详解】设 Z|=a +历，马=c+M(a,Z?,c,deR) ,Z+z2 =e + c) + (/? + d)i = 2 +苧i;,又=闫=1，a1 +b2 =c
17、2 +d2 =1a + c = 2b + d = 2a1 +b2 =c2 +d2 =1a + c = 2b + d = 2解得:1 a =2b =与或.c = 1d = 02Tx/3.由正弦定理sin A sinC可得：。=丝吧 = 2。= 4sin Az. = + 2z2 = I故答案为: 【详解】.32C = 2毋C = f 0C, ,-.sinC = 4a = 2 , 2sinA = siC/ COS2C = 2cos2 -1 =,0C|z|2=2, z2=（l + if=l + 2i + i2=2iH2,所以|z|4z2.故不正确，对于：已知Z1, z2gC,若马-4。，例如Z1 =2
18、 + i,Z2 = l + i ,则马-z? = 1 （）,但是复数 4=2 + i,Z2 = l + i无大小关系，则马 马不成立，故错;由向量加法的几何意义可以类比得到好数加法的几何意义.故正确.故结论正确的个数是2.故选：B.13. D【分析】/（）为分段函数，由己知分别解出自变量的范围，从而求得八户的值域为当A/（X）取得最大值1时，得x = + 2阮或x = 2E（ZeZ）,画出函数的图象，判断函数/（幻的最 小正周期周期，计算出兀不是“X）的最小正周期，经过验证第四个命题是对的.【详解】解：.,sinxNcosx, + 2E, keZ443 716,兀 C , r,.,sin.tcosx,F2atcxF2kti , keZ4 4JeZ,sinx,xe(x) = COS X,X G + 2/at, + 2k7i44- - + 2knt + 2kn、44