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1、二、典型例题分析与解答二、典型例题分析与解答 其次、三章机动 书目 上页 下页 返回 结束 一元函数微分学(34)一、学问点与考点一、学问点与考点 机动 书目 上页 下页 返回 结束 一、学问点与考点一、学问点与考点(一)导数与微分若令1.导数定义:则2.左右导数:左导数:右导数:机动 书目 上页 下页 返回 结束 导函数简称导数,且有函数 y=f(x)在点4.导数的几何意义:处的导数表示曲线y=f(x)在点处的切线斜率.即有曲线的切线方程为3.导函数的定义:曲线的法线方程为 是 x0时比x 高阶的无穷小量,并称Ax为f(x)在其中A是与x 无关的量,若函数的增量可表示为y=Ax+,则称 y=
2、f(x)在点 x 处可微,机动 书目 上页 下页 返回 结束 记为dy,即dy=Ax.5.微分的定义:由于x=dx,所以6.微分的几何意义:点 x 处的微分,当y是曲线y=f(x)上点的纵坐标的增量时,dy表示曲线的切线纵坐标的增量.7.基本定理定理1(导数存在的判定定理)定理2(函数可导与连续的关系)机动 书目 上页 下页 返回 结束 可导函数必连续,但连续函数未必可导.可导定理4.(函数与其反函数的导数的关系)可微反函数的导数等于干脆函数导数的倒数.定理3.(函数一阶可导与可微的关系)机动 书目 上页 下页 返回 结束(5)(6)(7)设 及(4)均为可导函数,则复合函数 可导,且或(微分
3、形式不变性)8.运算法则(1)(3)(2)9.基本初等函数的导数与微分公式(3)(1)(2)(4)(8)机动 书目 上页 下页 返回 结束(5)(6)(7)(9)机动 书目 上页 下页 返回 结束(10)(11)(14)(15)(12)(13)(16)(17)10.二阶导数机动 书目 上页 下页 返回 结束 11.方程确定的隐函数的导数例例1.设函数 y=y(x)由方程确定,求解法1:方程两边对x 求导数得:解得方程两边微分得:解法2:解得:12.参数方程确定的函数的导数例例2.设求机动 书目 上页 下页 返回 结束 解:13.对数求导法:求“幂指函数”及多个因子相乘除函数的导数时用对数求导法
4、.例例3.设解法解法1:取对数取对数机动 书目 上页 下页 返回 结束 等式两边对 x 求导数:则有:例例3.设解法解法2:作作指数对数恒等变形指数对数恒等变形:机动 书目 上页 下页 返回 结束 例例4.设则有解解 取对数等式两边对 x 求导数:(二)中值定理机动 书目 上页 下页 返回 结束 1.罗尔定理(1)在闭区间a,b上连续;(3)且 f(a)=f(b);成立.(2)在开区间(a,b)内可导;若函数 f(x)满足条件:则在开区间(a,b)内至少存在一点 使2.拉格朗日中值定理 若函数 f(x)满足条件:(1)在闭区间a,b上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;则在开区间(a,b)内
5、至少存在一点 使等式3.柯西中值定理机动 书目 上页 下页 返回 结束 成立.若函数 f(x),F(x)满足条件:(1)在闭区间a,b上连续;(2)在开区间(a,b)内可导且则在开区间(a,b)内至少存在一点 使等式(三)导数的应用定理1 设函数 f(x)在(a,b)内可导,1.函数的单调性若对都有则称 f(x)在(a,b)内单调增(减).2.函数的极值设函数 f(x)在内有定义,x 为该邻域内异于机动 书目 上页 下页 返回 结束 的随意一点,若恒有(或则称为 f(x)在该邻域的极大(小)值.极大值与微小值统称为函数的极值,方程使函数取得极值的点称为极值点.定理2.(函数取得极值的必要条件)
6、的根称为函数 f(x)的驻点.则有设函数 f(x)在点 处可导,(可导函数的极值点必为驻点)且在该点处取得极值,定理3.机动 书目 上页 下页 返回 结束(函数取得极值的第一充分条件)设函数 f(x)在内可导,(或 f(x)在点处连续但不行导).(1)若当x 由左至右经过时由“+”变“”,则为函数的极大值.(2)若当x由左至右经过时由“-”变“+”,(3)若当x由左至右经过为函数的微小值.则则不变号,不是时函数的极值.定理4机动 书目 上页 下页 返回 结束(函数取得极值的其次充分条件)设函数 f(x)在处(1)若则为函数 f(x)的极大值.(2)若则为函数 f(x)的微小值.3.函数的最值求
7、连续函数 f(x)在a,b上的最值的步骤:(1).求 f(x)在(a,b)内的驻点及导数不存在的点;(2).求出这些点的函数值及区间端点的函数值;(3).比较上述函数值,其中最大者为最大值,最小者为最大值.机动 书目 上页 下页 返回 结束 恒有(弧在弦的下方)(或则称曲线 f(x)在(a,b)内为凹(凸)弧.曲线上凹弧与凸弧的分界点4.函数曲线的凹凸性和拐点设函数 f(x)在(a,b)内连续,若对于(a,b)内随意两点(弧在弦的上方)称为曲线的拐点.定理1.(曲线凹凸性的判定定理)若在(a,b)上机动 书目 上页 下页 返回 结束 则曲线 y=f(x)在当x 自左至右经过定理2.(曲线拐点的
8、判定定理)若在处时变号,则是曲线y=f(x)的拐点.(a,b)上为凹(凸)弧.二二典型例题分析与解答应填1.已知则机动 书目 上页 下页 返回 结束 解解:注释注释:本题考查导数的定义.例例5.设例例6.在在处可导处可导,求求分析分析应满足在应满足在处处连续连续且且可导可导,即即解解 1.由由由由再代入再代入(1)得得2.例例7.设f(x)可导,则是F(x)在x=0可导的().(A)充分必要条件;机动 书目 上页 下页 返回 结束(B)充分条件但非必要条件;(C)必要条件但非充分条件;解解:干脆计算解此题.由于A(D)既非充分条件又非必要条件.而f(x)可导,所以F(x)的可导性与的可导性相同
9、.故选项(A)正确.(x)在 x=0 处可导的充分必要条件是机动 书目 上页 下页 返回 结束 注释注释:即f(0)=0.本题考查函数在一点处可导的充要条件.令由导数的定义知解题过程中化简题目的解题技巧应留意驾驭.例例8曲线在点(0,1)处的切线方程是_.曲线在点(0,1)的切线方程为解解:机动 书目 上页 下页 返回 结束 注释注释:两边对x求导得:即为将 x=0,y=1 代入式得:本题考查隐函数求导数及导数的几何意义.例例9 设函数设函数由方程由方程确定确定,求求解解 由由由原方程得由原方程得代入代入(1)得得再将再将代入代入(2)得得注释注释 本题考查求隐函数在求隐函数在一点一点处的一阶
10、、二阶导数处的一阶、二阶导数.留意求导数时留意求导数时,不必写出导函数不必写出导函数.机动 书目 上页 下页 返回 结束 例例10.处().设y=f(x)是方程则函数f(x)在点且机动 书目 上页 下页 返回 结束(C)某邻域内单调增加;(B)取得微小值;的一个解,(A)取得极大值;解解:(D)某邻域内单调削减.由于y=f(x)是方程的一个解,所以有即有将代入上式得所以函数f(x)在点处取得极大值.A选项(A)正确.机动 书目 上页 下页 返回 结束 例例11.且设 f(x)有二阶连续导数,则().(A)f(0)是 f(x)的极大值;(B)f(0)是 f(x)的微小值;(C)(0,f(0)是曲
11、线y=f(x)的拐点;(D)f(0)不是 f(x)的极值点,(0,f(0)也不是曲线y=f(x)的拐点.解解:由于由极限的保号性知存在 x=0的某去心邻域,在此邻域内有即有B即有机动 书目 上页 下页 返回 结束 由于当x 0时,由极值的第一充分条件知 f(x)在 x=0 处取得微小值.即有 又由极限的保号性有注释注释:本题考查极限的保号性和极值的判定法则.函数 f(x)单调增.故选项(B)正确.例例12.由于x=1 是(x)在(0,+)机动 书目 上页 下页 返回 结束 则(x)在x=1处取得微小值.又(1)=0,即则当x 0 时,则(x)在x=1处取得区间(0,+)试证:当x 0 时,证证
12、:令 易知(1)=0.内的唯一的微小值点,上的最小值.证毕.例例13.求机动 书目 上页 下页 返回 结束 解法一解法一原式=则注释注释:本题考查洛必达法则求未定式极限.由于x0时,解法二解法二原式=解法2先对分母用等价无穷小代换,再用洛必达法则.例例14.原式=解解:机动 书目 上页 下页 返回 结束 注释注释:本题考查洛必达法则求未定式极限.应填解题过程中应特殊留意应用无穷小代换以简化计算.添空题 设函数 f(x)在闭区间0,1上可微,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内,机动 书目 上页 下页 返回 结束 例例15.对于0,1证明在(0,1)区间内有且仅有一个x,使得 f(x)=x.证
13、法证法1:由题设知 F(x)在0,1上连续,又 F(0)=f(0)0,F(1)=f(1)1 0,由连续函数的零点定理知,使 F(x)=0,即 f(x)=x.上的每一个 x,以下证明唯一性:用反证法,假设使得 f(x)=x 的 x 不不妨设为机动 书目 上页 下页 返回 结束 唯一,则至少应有两个,由罗尔使即这与原题设这就证明白根的唯一性.冲突.证毕.证法证法2:定理知满足f(x)=x 的 x 的存在性证法与上面相同.而唯一性可利用结论:则方程f(x)=0在(a,b)内最多有n个根”.由于则F(x)=0 在(0,1)内最多有一个根,原命题得证.“若在(a,b)内例例16.(1)存在机动 书目 上
14、页 下页 返回 结束 试证明:(1)令且则(x)在0,1上连续,使得已知函数 f(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,且 f(0)=0,f(1)=1.(2)存在两个不同的点 证证:所以存在使得使得其次节 书目 上页 下页 返回 结束 注释注释:证毕.本题(2)考查拉格朗日中值定理的应用.本题(1)考查连续函数零点定理的应用;(2)由拉格朗日中值定理,存在若函数 f(x)在a b上连续,机动 书目 上页 下页 返回 结束 例例17.()证明拉格朗日中值定理:在(a b)内可导,使得()若函数 f(x)在 x=0 处连续,则存在在(0,)内可导,且则存在,且证证:令协助函数依题设条件知 F(x)在a b 上连续,据罗尔定理,使()在(a b)内可导,且机动 书目 上页 下页 返回 结束 即有也即有()对于随意的 t(0,),函数 f(x)在0,t 上连续,由右导数定义及拉格朗日中值定理,其中由于时,所以故且当证毕.在(0,t)内可导,存在,且证毕.注释注释:本题考查拉格朗日中值定理的证明及其应用.