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1、基础促思维能力丰素养由金华市中考试题引发的思考金华市青春中学李曙静【内容摘要】中考试题给初中数学教师的课堂教学作出正确的指引，对学生的数学学习有重 要的导向作用.近几年的金华市中考试题在保持一贯的“立足基础重教材 关注思维重能力” 的特色基础上，更突出阐述了教学与评价“如何培养数学学习能力，提升数学核心素养”. 本文尝试通过对一些精彩创新试题的解读，思考并改进初中数学的课堂教学.【关键词】基本素养 核心素养数学思维 学习能力一、近几年金华市中考试题分析(-)整体情况近几年中考试卷都以义务教育.数学课程标准和浙江省初中毕业生升学考试说明 为依据，紧紧围绕“立足基础重教材关注思维重能力”，多层次、
2、多纬度考查考生的数学学 习能力和数学核心素养.主要表达在以几方面：1 .试题注重考查基础知识、基本技能和基本数学活动经验和数学思想方法的同时，更关 注考查学生在数感、符号感和空间观念等方面的领悟程度，同时也关注对数学思维能力、解 决问题、目标达成等状况的考查.2 .试题兼具时代性、探究性、应用性和人文性，重视应用性问题、探索性问题以及数学 知识内在联系等方面的设计，为考生灵活、综合地运用基础知识、基本技能，创造性地解决 问题提供思维台阶和空间.3 .试题重视对数学思想方法的考查，建模思想、函数与方程、转化与化归、数形结合、 分类讨论、类比思想、整体思想、用样本估计总体等重要思想方法，都有较好应
3、用.4 .试卷结构合理，知识覆盖面广，呈现方式多样化，包含开放题、探究题、应用题、信 息分析题等等，图文并茂，类型丰富.中考试题给初中数学教师的课堂教学指引了正确的方向，对初中学生进行有效的数学学 习具有良好导向作用.更为突出的是，以一道道创新试题为载体，很好地阐述了：如何培养 数学学习能力，提升数学核心素养.以下采撷几题为例，解读启思.(-)试题特点1、立足数学基础 紧扣“四基”基本素养试卷按照数学课程标准要求，重点考查了 “四基”：基础知识，基本技能，基本活 动经验，基本思想.在内容上，较好地考查了初中阶段的数式运算、基本图形、函数、方程、 统计概率等重点知识，以及基本运算、分析推理、数据
4、处理、阅读理解、分析问题与解决问 题等基本技能；在方法上，注重通性通法，淡化特殊技巧，防止繁杂的计算.试卷的基础题控制在6070%之间，容易题与中档题占90%,真正做到了 “降低思维起点，面向全体考生”, 考查人人必须学习的数学基础、思维、能力、素养.2、凸显数学思想方法，重视数学思维拓展数学知识的学习表达在数学思维的灵活和思想方法的“内化”，数学思想方法是数学的 精髓，是知识转化为能力的桥梁，是培养学生良好数学观念和创新思维的载体，试题通过呈 现一个个从“认识、理解、解释到应用与拓展”的完整的探究材料，让学生经历动手操作、 探索发现、猜测证明的问题探究过程，激发学生的主动性，培养和促进学生的
5、创新能力在 此过程中充分运用各种数学思想：建模思想、函数与方程、转化与化归、数形结合、分类讨论等等，突出数学本质的理解，提升数学思维能力与核心素养.案例一（2016 金华第 15 题）如图，RtZkABC 纸片中，NC 二 90。，AC 二 6, BC 二 8,点D在边BC上，以AD为折痕将4ABD折叠得到AAB，D,AB，与 边BC交于点E.假设DEB,为直角三角形，那么BD的长是.此题以基本的直角三角形为载体，以折叠操作展示图形变换的产生,的应用，得到相等的线段和相等角，运用分类讨论思想分析得出两种不同的情况，结合相似 性质或三角函数知识表示出相应线段长，最后构造方程解决问题.试题的设计继
6、续保持源于 教材、高于教材，不仅考查初中阶段基础知识和基本技能的理解和掌握程度；不仅仅局限于 对知识点的考查，还将知识的形成过程、知识之间的联系作为考查的一局部.创设思维台阶, 让处在不同的数学开展水平的考生都能较好地表现出自己的数学思维，让各个层次的考生在 数学上都有各自的收获.案例二（2016金华第23题）在平面直角坐标系中，点0为原点，平行于x轴的直线与抛物线L: y=ax?相交于A, B两点（点B在第一象限），点D在AB的延长线上.（1）用1,点B的纵坐标为2.如图1,向右平移抛物线L使该抛物线过点B,与AB的延长线交于点C,求AC的长.如图2,假设BD二，ab,过点B,D的抛物线l_
7、2,其顶点M在x轴上，求该抛物线的函 2数表达式.（2）如图3,假设BD=AB,过0,B,D三点的抛物线L3,顶点为P,对应函数的二次项系数为a?.过点P作PEx轴，交抛物线L于E,F两点，求与的值，并直接写出国的值.aEF第（1）题考查当a=l时点的坐标和平移的对应点之间的线段长；题通过线段长度变化，利用抛物线的轴对称性，求出顶点坐标，选用顶点式求二次函数表达式.第（2）小题 通过改变（1）中a的值和对应线段的长短，逐步过渡到一般情况，通过求函数表达式的方 法求二次函数系数的比值，进一步求出线段的比值.这种“由静及动”的变化，要求考生能 够用“灵动”的眼光观察、分析，把特殊情况的求解思路迁移
8、到一般情况的求解方法，整个 思考过程中，把二次函数图像的对称特性和解析式的灵活求法数形结合，增加了试题能力立 意的含量.以上两题都充分地从知识、能力、素养角度进行考查，展示了数学思维能力：围绕数学 核心知识和图形的本质特征，进行迁移、综合、灵活转化.3、彰显数学应用价值，关注数学建模能力新课标强调，要使学生初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实，解决日常生活中的问题，增强应用数学的意识.先通过抽象思维进行深入理解和透彻分析，再利用简化思维把复杂问题进行简化，使本质凸显.抓住主要因素，舍弃次要因素，找到问题的本质，最后运用批判性思维，对所建立的数学模型进行评价和改进.数学建模作为数学核心素养
9、之一，正是培养学生灵活运用数学知识解决实际中问题的能力，表达数学的应用价值.案例三（第9题图）（第9题图）（2016金华第9题）足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门48的张角大小时，张角越大，射门越好.如图的正方形网格中，点4区均在格点上球员带球沿 切方向进攻，最好的射点在（）A.点CB.点。或点EC.线段灰（异于端点）上一点 D.线段（异于端点）上一点以足球射门的最正确射点位置探究为背景，要求学生结合文字信息，在其示意图中，通过“联系知识，画图操作，探究猜测”来确定最好的射点，这就是一种建模能力.此题为学 生提供了探究、发现、思考的空间，很好地考查学生对圆知识的理解、掌握和灵活运用的程
10、 度，以及学生的空间观念、空间想象与活动经验，突出对数形结合思想和合情推理能力的重 视.另外，背景用网格，防止了学生作图过程中繁琐的过程，充分利用内在的图形位置关系、 数量关系，来考查学生对数学本质的理解层次.在此过程中，表达了对图形的感知能力、估 测能力、转化能力、运用数学工具（圆、直角三角形）的能力，展示了运用数学知识解决问 题的基本步骤：观察、联想、转化.案例四（2016金华第16题）由6根钢管首尾顺次较接而成六边形钢架力及为防 相邻两钢管可以转动. 各钢管的长度为AFDFl米，BC二CD二EF二F归2米.BCD（铁接点长度忽略不计）（1）转动钢管得到三角形钢架，如图1,那么点4 之间的
11、距离是 米.（2）转动钢管得到如图2所示的六边形钢架，有N尔NQN/N7120。,现用三根钢条连 接顶点使该钢架不能活动，那么所用三根钢条总长度的最小值是 米.选用考生熟悉的书本例题图形进行设计，通过六边形钢架的转动，得到不同的状态图. 解决方法是将六边形的不稳定性转化为三角形的稳定性问题.这个问题难点在于理解，边长 确定的四边形具有不稳定性，但当其中一个内角确定时，此四边形就唯一确定.此题一是含 有“情景”，创设了问题情景，紧密联系考生的生活、学习，让每个考生都能参与到数学化 过程中；二是关注“运用”，在运用数学知识解决问题过程中，关注核心内容，抽象出的几 何图形，有三角形、四边形及不同图形
12、的组合，容易与勾股定理，三角形相似等核心知识联 系一起；三是表达“思维”，关注思想方法，侧重对问题的分析，让考生经历以“观察、发 现、猜测和验证”为活动主线的问题探究过程.以上两题都是通过真实的生活情景，创设数学情境，引导学生在已有知识体系中进行分 析、研究，从而探索、归纳得出结论，很好地渗透了 PISA理念.这种拓展延伸、步步递进 的探索过程，有利于增强学生对数学知识的理解以及应用数学知识的能力和信心.4.围绕数形核心内容，展示数学核心素养试卷完美压轴，往往是动态与探究相结合，着眼于对“数学深层思维”的考查,表达学 科本质，特别是最后一小题的设问，关注核心知识，蕴含数形结合、方程思想、分类讨
13、论、 转化思想等重要数学思想方法，融观察、操作、探究和计算于一体，需要学生分析运动过程, 分类画出相应状态图,通过转化得到问题解决,实现对学生探究能力、实践能力和创新能力等 数学素养的考查.案例五(2016金华第24题)在平面直角坐标系中，点0为原点，点A的坐标为(-6, 0) .如图1, 正方形0BCD的顶点B在x轴的负半轴上，点C在第二象限.现将正方形0BCD绕点0顺时针旋 转角a得到正方形0EFG.(1)如图2,假设a =60 ,0E=0A,求直线EF的函数表达式.(2)假设a为锐角，tancr=-,当AE取得最小值时，求正方形0EFG的面积.2(3)当正方形0EFG的顶点F落在y轴上时
14、，直线AE与直线FG相交于点P, AOEP的其中 两边之比能否为J5：i?假设能，求点p的坐标；假设不能，试说明理由.此题作为压轴题，以等腰直角三角形结合抛物线平移为入手点的探究题，形式朴实，而 内涵丰富，渗透了函数与方程、数形结合、分类讨论等重要的数学思想方法，考查层次清楚, 不同水平的学生可以充分展示自己不同的探究深度，展示学生运用数学思想方法探索规律、 获取新知以及运用知识解决问题的能力.第(3)小题以全等三角形为背景求点的存在性问题, 型图，等腰(等腰直角)三角形等基本图形为学生所熟悉，解题方法相对较多，从而 使得整题在考查学生思维的灵活性、广阔性方面具有较高的效度.学生在解决这一系列
15、问题 的数学活动过程中，可以表现出自己在观察、分析、猜测、数学表达、逻辑推理，数学运算 等方面的能力，充分展示数学核心素养.二、由试题研究引发对课堂教学的思考对于近几年中考试题中展现的原那么：“立足基础，重视思维，关注能力，表达素养。以及表达出来的“基础性、应用性、实践性、开放性、探究性”等特征，指引我们在平时的 课堂教学中，不仅要重视学生基础知识的夯实和数学思维的拓展，更要关注学生的数学学习 能力和数学核心素养的开展.(-)立足教材资源，回归基础知识近几年中考的试题命题导向明确：注重学生对基础知识、基本技能的理解和掌握,多数 试题都来源于教材中的例题与习题，通过改编进行适度拓展和延伸.因此，
16、教学要立足于教 材，重视数学的基础知识、基本能力和基本思想方法等核心内容的教学，要尊重教材体系和 结构，注重挖掘教材资源的特色，回归基础，经历知识的形成过程，并掌握法那么、公理、定 理等基本技能，进行熟练的运算，推理，真正夯实基础,掌握了基础知识、基本运算、基本 能力和基本思想方法，具备了数学基本素养，才能进一步促进数学思维的开展.（二）关注方法提升，提升数学思维在数学教学中，往往过于关注解题，而忽视了数学思想方法的整理和反思,所以，要重 视着意关注思想方法的引导，提升学生的思维品质.例如案例一的折叠问题，背景可以是三 角形、四边形等多边形、也可以是圆，并且存在很多的探究方向，解题方法也可以多
17、角度， 但是，追根溯源，都是把折叠问题转化为轴对称变换，抓住轴对称性质解决问题,而折叠后 产生的ADEB，假设是直角三角形，那么需要学生的空间想象和分类意识，才能思考完整，再运 用方程思想解题.再如案例二，结合抛物线的平移，和线段的位置、数量关系，解决有关系 数问题，有很大的创新性，需要学生抓住二次函数图像本质的对称性，并有“从特殊到一般” 的迁移转化能力和“动静结合”分析能力解决问题.这些方法、意识、能力，都需要平时的 课堂学习中逐渐形成.教师要经常引导学生进行归纳反思，理解其中所蕴含的数学本质，引 领学生数学思维向高层次开展.（三）加强应用意识，提高综合能力数学来源于实践，又应用于实践，教
18、学中要不断渗透应用意识，让学生体会到数学的应 用价值.能力的提升离不开数学活动的实践与经验，数学素养的形成更需要学习者自身的领 悟、内省、提炼.教师应通过多角度、多方式的数学活动，挖掘生活中的情境，创设探究问 题，感受问题解决的过程,例如案例三，让学生在熟悉的趣味性背景中，寻找最正确足球射点， 感受“问题情景一建立模型一求解一应用”的基本过程,形成研究问题的方法和经验,并对相 关数学知识有较深刻的理解和运用能力，培养解决问题的能力.又如四边形的不稳定性与三 角形的稳定性，对于很多学生，只是表层了解，但是放入案例四这样的问题情境中，就会深 刻理解并体会它们的应用价值.在“情景”与“运用”中经历数学化过程，提高综合能力.（四）重视活动过程，开展核心素养数学核心素养，指数学抽象、空间观念、数据分析、推理能力、运算能力和模型思想. 也可以说，是能从数学的角度看问题，有条理地进行理性思维、严密求证、逻辑推理和清晰 准确地表达的意识与能力.数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志.所以，要有 意识地通过“综合与实践”进行积累，引导学生在活动过程中体验和培养自己的观察、提出 问题、实验探究、数据分析、将实际问题转化为数学问题建立数学模型等能力，开展核心素养,这也是数学教学的重要目标.参考文献:【1】2011年义务教育数学课程标准