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1、最短路径问题专题训练一、将军饮马问题 特征：定直线上找一动点到两定点距离之和最小.解法:做不动点对称点如图，在直线上找一点P使得+P3最小?折点例L （一动点两定点）如图，在等边ABC中，AB=6, N为AB上一点、且BN=2AN, 3C的高线AD交3C 于点。，M是AD上的动点，连结3M, MN,则8W+MN的最小值是.例2.（一定点两动点）如图，点尸是NA03内任意一点，ZAOB=30, 0尸=8,点M和点N分别是射线04 和射线。8上的动点，则PMN周长的最小值为.例3.（一定点两动点）已知。为NA03内部一定点，在。4、。3上分别取M、N使得PM+MN最小。二、费马点问题若点P满足NR
2、U?=N8PC=NCR1=12O。，贝！J RL+P3+PC值最小，尸点称为该三角形的费马点.在小ABC内找一点H 使得PA+PB+PC最小.A例1.如图，在A5C中，ZBAC=90, AB=AC=K P是5c内一点，求以1+P3+PC的最小值.例2.如图，已知矩形A5CD AB=4, 5。=6,点M为矩形内一点，点为BC 边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为.三、胡不归问题从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回 家.根据“两点之间线段最短、虽然从他此刻位置A到家3之间是一片砂 石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫 及失声痛哭.邻居
3、告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不B归？（“胡”同何”）【模型建立】如图，一动点尸在直线MN外的运动速度为山，在直线MN上运动的速度为匕，且W上，A、8为定点，点。在直线上，确定点C的位置使这+生% 乂V.“4 V2 C的值最小.CH 、方sina- =k 、*M-、葭CH=kAC【问题分析】ACACBC 1BC +，记左=匕,即求3C+AAC的最小值.【问题解决】构造射线使得 s沅ND4N4, CH/AC=k, CH=kAC.将问题转化为求3C+C”最小值，过8点作交于点C,交于H点，此时8C+C”取到最小 值，即8C+O1C最小.dU5例1.如图，43C中，AB=AC=O,
4、 tanA=2, 8EJ_AC于点E,。是线段BE上的一个动点，则。+的最小值是例2.如图，平行四边形ABCO中，ZDAB=60, AB=6, BC=2,尸为边CD上的一动点，则P8 +走PQ的 2最小值等于总结：在求形如“出+在肥的式子的最值问题中，关键是构造与祝3相等的线段，将“巩+Z尸歹型问题转化为 “F4+PC 型.四、瓜豆原理引例：如图，P是圆。上一个动点，A为定点，连接AP,。为AP中点.考虑：当点P在圆。上运动时，。点轨迹是？ 考虑到。点始终为AP中点，连接49,取A。中点M,则M点即为。点轨迹圆圆心，半径是0P一半，任意时亥Ij,均有AMQs/xaop, QM:PO=AQ:AP
5、=:2.【模型总结】为了便于区分动点P、Q,可称点尸为“主动点”，点。为“从动点力此类问题的必要条件：两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（/出。是定值）;主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）.【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角:ZBQ=ZOAM；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：APAQ=AOAM,也等于两圆半径之比.按以上两点即可确定从动点轨迹圆，。与尸的关系相当于旋转+伸缩.例1如图，点尸（3,4）,圆P半径为2, A （2.8,0）, 5 （5.6,0）,点M是圆P上的动点，点。是M3的中 点，则AC
6、的最小值是.例2如图，正方形A8CD中，AB = 25。是边的中点，点是正方形内一动点，OE=2,连接DE,将线段。石绕点。逆时针旋转90。得。凡 连接 值.AE. CF.求线段Ob长的最小五、辅助圆（轨迹圆/隐圆）定直线对定角/四点共圆例1如图，已知圆。的半径为3,圆外一定点。满足OC=5,点P为圆。上一动点，经过点。的直线/ 上有两点A、B,且04=08, ZAPB=9Q, /不经过点C,则AB的最小值为.例2如图，在边长为2的菱形45co中，ZA=6Q,加是AO边的中点，N是45边上的一动点，将 AMN 沿MN所在直线翻折得到 A，MN,连接4C,则AC长度的最小值是.例3 如图，在等腰
7、&A3C中，ZBAC=9Q, AB=AC, BC=4y2，点。是AC边上一动点，连接80,以 AD为直径的圆交BD于点E,则线段CE长度的最小值为.例4如图，乙408=45。，边04、08上分别有两个动点。、D,连接CZ),以CO为直角边作等腰心CDE,且CD=CE,当CD长保持不变且等于2c机时，0E最大值为.综合练习1 .如图，菱形A3CO中，AB=2, NA=120。，点P, Q, K分别为线段BC, CD, 3。上的任意一点，则PK+QK 的最小值为.2 .如图，在放 ABC中，ZC=90, AB=17, AC=8,。为48边上的一动点，E、歹分别为AC、8c上两点， M DELDF,
8、则尸的最小值为.3 .如图，/MON=90。,矩形A5CO的顶点4、B分别在边OM, ON上,当8在边ON上运动时，A随之在 0M上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2, BC=L运动过程中，点D到点0的最大距离为.已知正方形A3c。内一动点E到A、B、。三点的距离之和的最小值为吸+加，则正方形的边长D.如图，在四边形中，AB=2, BC=5,若且NACZ)=60。，则当对角线取得最大值时，对 角线AC的长是.4 .在等边ABC中，AB=4,点。是8C的中点，连接A。，P为AD上一动点，则 最小值为.5 .如图，在等腰直角ABC中，BC=8,。为8c中点，为。C中点，P为AO上一动点
9、，则2PE+Vi4P 的最小值.J5.如图，在ABC中，AB=AC=10. tanZA=2, 3EJ_A。于点,。是线段3E上的一个动点，则CD+*3。 的最小值为.6 .如图，已知正方形A5CO的边长为4.点M和N分别从5、。同时出发，以相同的速度沿8C、CO方向向 终点C和。运动.连接AM和BM 交于点P,则PC长的最小值为.7 .如图，AC为边长为4的菱形A3CO的对角线，ZABC=60,点M和N分别从点3、。同时出发，以相 同的速度沿3C、CA运动.连接AM和3N,交于点P,则PC长的最小值为.8 .如图，E,尸是正方形A3CZ）的边上两个动点，满足AE=E连接。/交3。于点G,连接交AG 于点”.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是.