相交线平行线中的证明讲义.docx

《相交线平行线中的证明讲义.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《相交线平行线中的证明讲义.docx（35页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、第1课时平行线的判定（1）【要点归纳】1 .平行线的基本性质：经过直线外的一点，有且只有一条直线与已知直线平行.2 .平行判定定理一：同位角相等，两直线平行.【疑难分析】3 1在同一平面内，直线！与两条平行线、。的位置是（）.A、1 一定与a、b都平行B、/可能与a平行，与力相交C、/ 一定与“、都相交【）、/与外力都平行，或都相交解D正确.a在同一平面内，直线a、b是互相平行的，所以如果直线/与 / .直线。平行，根据平行传递性，它一定与直线b平行；如果直线 / 卜/与直线。相交，则它必定与直线力相交. 7例2如图，已知ABC,请按照题意作图（用推平行线的方法）：（1）在边BC上任意取一点D

2、 （不与点B、点C重合）.（2）过点I）作AB的平行线，交AC于点E.（3）过点D作AC的平行线，交AB于点F.（4）说明四边形DEAF是一个怎样的四边形.解在BC上任意取一点D,利用直尺和三角尺推移平行线的方法作DE AB,作 DFAC,使点 E、F 分别在边 AC、AB 上.由于 DEAB、DFAC, 所以四边形DEAF是平行四边形.例3 （1）已知，如图/3=/4,说明ab的理由；（2）已知，如图N2+/4=180 ,说明ab的理由.证（1） I，N1和N3是对顶角，Z1 = Z3 （对顶角相等） N3=N4（已知），J /1 = /4 （等量代换） ab （同位角相等，两直线平行）证（

3、2） V Z1和N2是邻补角,Nl + N2=180 （邻补角定义） Z2+Z4=180 （已知），N1 = N4 （同角的补角相等）ab （同位角相等，两直线平行）说明这就是下节课要介绍的平行线判定定理2 （内错角相等，两直线平行）、定理3（同旁内前互补, 两直线平行）.第4课时平行线的性质（2）【要点归纳】1 .两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离都是一个定值，这个 定值叫做这两条平行线间的距离.2 .平行线间距离处处相等.【疑难分析】例1已知/1 = N2, Z3=ZB, ACDE,且B、C、D在一条直线上，试说明AE BD的理由.分析本例反复用到平行线的判定方法和平行

4、线的性质定理，较为复杂.在具体分析问题时，可采用 “由果索因”和“由因导果”相结合的方法，先看须证明的结论：要说明AEBD,则要说明N3=NECD； 再看看条件，山ACDE可知N2=N4结合条件N1 = N2,可得Nl = N4即ABCE，有时将这两种方法交替使用，能使得解题途径更简捷，少走弯路.证V ACDE （已知） Z2=Z4 （两直线平行，内错角相等）,: N2=N1 （已知），J Z1 = Z4 （等量代换）:.ABCE （内错角相等，两直线平行） ZB=ZECD （两直线平行，同位角相等）V ZB=Z3 （已知），:.Z3=ZECD （等量代换） AEBD （内错角相等，两直线平行

5、）.例2如图：直线ab，点A、E、F在a上，点B、C、D在b, BC=EF,三角形ABC与 三角形DEF的面积相等吗？为什么？.分析三角膨面积公式是底x高，所以分析两个三角形面积是否相等，须从底和高两方面入手. 2解作AHb,垂足为Hi，作DH2_La,垂足为H2 ,则AH】=DH?设三角形ABC和三角形DEF的面积为S, S2. Sf-BC-AH., S2=-EF-DH2 （三角形面积公式），22又,BC=EF （已知），AH_.如图，已知平行四边形ABCD,画图表示并说明AD与BC之间的距禽是, AB与DC之间的距离是第1题图第2题图第3题图.如图，已知ab, A、B、C、D在直线a上，E

6、、F、G、H在直线b上，且AC=BD=EG, 那么图中与AAEG面积相等的三角形有 个2 .如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上的任一点，SABCD = 20cm2,那么=第4题图第5题图.两条平行直线被第三条直线所截，则下列说法错误的是（）A、一组同位角的角平分线互相平行B、一组内错角的角平分线互相平行C、一组同旁内角的角平分线互相平行I）、一组同旁内角的角平分线互相垂直3 .如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角（）A、相等B、互补C、相等或互补【）、关系不确定4 .把解题过程补全.如图，已知ABCD, ZA=130, ZC=110,求NAPC的度数.解法一：过点P作P

7、QAB (如图)则 NA+N1=()又因为NA=130。(),所以Nl=.因为 PQAB, ABCD,所以()又因为NC=1IO0(),所以N2=所以N APO+= 解法二：延长AP与DC的延长线交于点M,请写出解答过程.第8题图【拓展训练】.请完成下题推理.如图，请说明4ABC中，三个内角之和为180,即NA+NB+NC=180. 推理如下：延长AC,过点C作CDAB.5 .如图，Z1=Z2, ZD=90, EF1CD,试说明N3=NB 的理由.第10题图6 .如图，已知点E为平行四边形ABCD的边BC上的任一点，DE的延长线交AB延长线于点F.求证:S= S&CEF .如图，已知 A8C)

8、, AB = 2V3 , CD = 2V2 , SBE = 3 , S.HCF = V6 ,求并说明理由.第12题图【要点归纳】平行线添加辅助线要诀第5课时综合运用【疑难分析】例1如图，已知ABEF, ZABC=ZDEF,判定BC和DE有怎样的位置关系？分析本例只有平行线，没有截线，所以本例添加辅助线的策略为“构造截线、运用平行证BC与DE的位置关系是：BC/7DE联结BE：ABEF （已知）:.ZABE=ZBEF （两直线平行，内错角相等）*/ ZABC=ZDEF （已知）:.ZCBE=ZBED （等式性质）BCDE （内错角相等,两直线平行）.例 2 已知：如图，CDHEF,且47S =

9、70。，N*BC = 80。求：的度数.分析本例中/EFB、NFBC、NBCD在相对分散的位置，所以可以考虑添加平行线，将这些分散的 角聚合.解法1：过点B作BAEFZEFB + ZFBA = 180Z.EFB = 70ZFBA = 180-70 =110Z.FBC = 80./。区4 = 110-80。= 30。-CD/EE：.ABIICD. NBCD = Z.CBA = 30BD-30解法2：延长CD交五“于点，：EFIICD, Z.EFB = 70 . ZF = ZGW = 70.ZFBC = 80:.在ACMB中，NBCD =180- ZFBC - ZCMB 即 NBCD = 180

10、- 70 - 80 = 30说明运用本例类似的添加辅助线的方法，我们发现类似于图组1的角有“奇数角和等于偶数角和” 的规律，类似于图组2的角有“所有角和为180。n”的规律，具体证明的过程请读者自行尝试.图组1I .如图，如果N 1 = / 5 ,那么/；如果N3=N7,那么 /；如果N3+N4+N5+N6=180,那么/； 如果/5+N6+N7+/8=l80,那么2.如图，在AABC中,NA=NB=40。.若将AABC绕点C逆时针旋转140。至ABC,3.如图,已知 ADBC, AC 平分NDAB, ZB=34,则NC=_4.和直线AB距离等于3cm的直线可以画出 条.则图中互相平行的线段是

11、.5 .如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D点、C点的位置，若NEFB=60 ,则NAED=()A、50 B、55 C、60 D、65.在同一平面内，乙、4、,3、乙、。五条直线，若匕工、/2/3U3/4U4Z5,则与z5的位置关系是D、既不平行，也不垂直D、既不平行，也不垂直A、平行 B、垂直 C、平行或垂直.把解题过程补全.如图，已知 AB/DE, CDA.BF, ZABC= 108,求 NCD/的度数解：过点。作CGAB,Zl + ZABC=18(r (-ABHDE ()CGI IDE (ZCDF = Z2 (;CDLBF ().NOCT? = 90。/. Z2 = 9

12、0-CG/DE ()/. /CDF = ()【拓展训练】8 .如右图，若ABCD,则NA、NE、ND之间的关系是(A、ZA+ZE+ZD=180B、ZA-ZE+ZD= 180C、NA+NE-ND=I8OD、NA+NE+ND=270第8题图9 .如图，已知N1=N2, CDAB, FG_LAB,问：DE与BC平行吗？请证明你的结论. A第9题图/ZABC= 108 ()10.如图，已知ABFE,求NB、NC、/D、/E的和，并说明理由.第10题图附录:如何学习“说理”初一下半学期的第13章相交线和平行线一章是初中数学由试验几何向论证几何过 渡的重要阶段，在本章节的学习中学生将第一次亲历“说理”。如

13、何用几何语言把“道理” 说清楚成为了几何学习的第一头“拦路虎二对此通过笔者自身教学实践和思考，总结出以 下建议供大家参考：第一、感悟“说理逻辑”就初中阶段而言，学生更多接触到的是演绎推理法，即由一般 c、 情况正确推出特殊情况正确。例如在论述“对顶角相等”的过程中，设直线AB、CD相交于点0 （如右图），因为互补的角之和为180 度（一般情况），而NAOC和NBOC是互补的两角（特殊情况）， 所以NAOC+NBOC=180 度。由此产生了这一类说理的基本形式之一：三段论法。“三段论法”是从两个判断得出第 三个判断的一种说理方法。第一个判断提供了一个一般原理（叫“大前提”），第二个判断指 出了

14、“大前提”下的一个特例（叫“小前提”）第三个判断是联合第一与第二这两个判断得 到的一般原理和特殊情况之间的一个联系（叫“结论”）例：如上图，直线AB和直线CD相交于点O,求证：ZCOA=ZBOD大前提：邻补角互补；小前提：NCOA和NDOA、NDOA和NBOD是两组邻补角：结 论：/COA+NDOA=I8（）度、NDOA+NBOD= 180 度 J大前提：同角的补角相等；小前提：ZDOA分别与NCOA和NBOD两组角互补：结论：ZCOA=ZBODJ第二、明了 “演绎因果”说理可分为三种不同类型，他们是L 一因一果型例：: N1和N2是对顶角（已知），Z1 = Z2 （对顶角相等）2. 一因多果

15、型/例：如右图：: AD/7BC （已知）必50Z1 = ZB （两直线平行，同位角相等）Z2=ZC （两直线平行，内错角相等）（注：这种类型的推理，在具体说理时应根据需要选择多个“果”中的一个或几个）3.多因一果型例：,: ac, b/c （已知）ab （平行于同一直线的两直线平行）（注：这种类型的推理，必须说明多“因”都具备，才能得出“果”）其实几何说理中的每一个逻辑段都离不开“因”“果”“理由”，即说明“由什么”，“得什么”、“理由是什么”。要将这其中的“因果”关系用几何语言说清楚，就要明了自己所运 用的每一个命题中的“因”与“果”，并必须使这样的“因果”关系呈现在几何论证的书写 中。我

16、想可以通过阅读一些几何说理的“正例和反例”，通过学生在这些“范例”中找出每 一组“因果”关系的训练，培养学生对于“因果”叙述的感觉。第三、记忆“经典范例”我们知道要写好诗，应先背“唐诗三百首”；要写好文章，肚中也应有更多经典文案, 而要写好几何说明，也记忆一些短篇的“经典范例二通过记忆“经典范例”可以帮助学生更准确好运用几何语言进行说理叙述; 通过记忆“经典范例”可以帮助学生更深刻地体会几何说理中的逻辑关系;通过记忆“经典范例”可以帮助学生更清晰地把握几何命题中的因果层次。例：证明“内错角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”两例（1）已知N3=N4,求证ab7 NI和N3是对顶角二

17、Z1 = Z3 （对顶角相等）7 Z3=Z4 （已知） Z1 = Z4 （等量代换）：ab （同位角相等，两直线平行）（1）已知N3=N4,求证ab7 NI和N3是对顶角二Z1 = Z3 （对顶角相等）7 Z3=Z4 （已知） Z1 = Z4 （等量代换）：ab （同位角相等，两直线平行）（2）已知/2+/4=180 ,求证 ab N1和N2是邻补角 Zl + Z2=180 （邻补角意义）N2+N4=180 （已知） Z1 = Z4 （同角的补角相等）J ab （同位角相等，两直线平行）同学在学习几何说理的起始阶段最容易混淆的就是“等量代换”和“同角的补角相等”，而通过我自己的实践发现，经过

18、K a理解、记忆以上的两条证明可以比较明显地改善学生对于这两 於弋条概念的理解，并能更好地梳理自己书写时的脉络。八 b第四、设置“合理梯度”一口吞不下一个胖子，我们对于自己学生应有准确的预估，切忌以自己为衡量标准， 提前“下水”时间。对此我设计了以下几个可操作层次第一层阅读范例，填空说理婴儿开始只会爬行，这时直接要求他立即下地，难免摔跤，所以在起步阶段有人搀扶 一下是有必要的。比如习题册中的填空题，在阅读全篇的前提下，填写“由什么”“得 什么”或“理由”，就是一种起步阶段的说理学习，又是一种的有效训练手段。第二层前后通读，补写证明一直手扶着，婴儿还是学不会走路的，所以在手扶一阶段后，要有意识地

19、让他在某些 平坦的路途上自己行走一段。所以到了这个阶段，我们可以在训练中设计完整证明中的其中 一个或几个逻辑段，让学生独立完成，让学生在前后通读的情况下，补写证明。第三层正式下水，勤于反思最终婴儿还是要脱手直接行走在不同“情景”的路匕 摔跤是避免不了的，但关键是 要告诉他以后如何避免在同一个地方跌倒两次。可见这是一个攻坚阶段,在提出明确要求后， 要允许学生犯错误，要带领同学积极反思。对此我采取措施有：教师详批结合面谈、学生互 批结合互评的形式，均取得了不错的效果。几何的书写不但是一种做题的格式规范，更是种数学语言的学习、一种对于数学逻 辑的训练，我们必须对于这论证几何学习的起步阶段有充分的重视

20、，科学安排教学和训练, 为学生今后的几何学习打下扎实的基础。阶段训练（4）1.如图，AB#CD,若N2 是N1 的 2 倍，则N1=0, N2=*2.如图，AB/7CD, BCDE,则NB+ND=0第1题图第2题图第3题图.如图，AD/7BC, BD 平分NABC, ZA=4ZABD,贝1JNA=3 .如果一个锐角的两边分别平行于另一个锐角的两边，则这两个角的度数.如果两个角的两边分别平行，并且其中一个角比另一个角的4倍少30。，则这两个角的度数分别为.4 .如图，ADEGBC,且ACEF,则图中与/I是相等的角（不包含/I）有 个.如图，已知 N1 = N2,44 = 135, NC = 1

21、OO ,则 N3= 08.如图，已知 ABCI）, Zl=100, Z2=I20,则N3;010.小明从家出来骑自行车上学，是先沿着一笔直的街道向正北方向骑第9题图2000米后，第一次向右拐45 ,大约骑50（）米后，又再向右拐45 ,此时小明是沿着（）方向骑车。A、正北 B、北偏东45 C、正东D、北偏西45 II.如图，长方形ABCD, E为AB上一点，把三角形CEB沿CE对折，设GE交DC于点【基础训练】.叫做平行线.1 .平行线的基本性质是.2 .下列语句正确的是（）A、在同一平面内，两条直线不相交必平行B、与已知直线垂直的直线有且只有一条C、两直线被第三条直线所截，同位角相等D、在平

22、面内，经过一点与已知直线平行的直线有且只有一条.在同一平面内，两条直线都垂直于第三条直线，这两条直线的位置关系是（）A、垂直B、平行C、相交D、可能垂直，也有可能平行5.下列各图中，不能判定直线乙与4平行的是（）6.如图，过点P分别作OA、0B的平行线CD、EF.如图，已知 NB = NC, N3 + NC + NB4C= 180 , D 在 BA 的延长线上，AE 是 ZDAC的平分线，那么A石3C,为什么？ 解：D在BA的延长线上( ABAC + ADAC =(V ZB+ZC+Z4C = 180(A ZZMC = ZB+ZC(VZB = ZC(:A ZB = -ZDAC (2 AE是的平分

23、线(A ZDAE = -(2 /B = ZDAE (A AE/BC(.如图所示.ABCD, ZBAE=30 , ZDCE=60 , EF, EG 三等分NAEC.问：EF 与 EG 中 有没有与AB平行的直线，为什么？第12题图.如图，CD=2BD,试说明S.mc/） =2S,mw的理血第13题图11312 .如图，己知 ABCD, NEAF=-NEAB, ZECF=-ZECD,求证：ZAFC=- ZAECo 444第14题图13 .如图1,若APB是夹在两平行线1和m之间的一条折线（折一次），那么Na=NB+/y （1）请说明上述结论成立的理由；（2）把题中的条件“折线（折一次）”改为“折线

24、（折两次），如图2,折线APRB是夹在两 平行线1和m之间的一条折线，那么Nl, N2, Z3, N4之间存在着怎样的关系？请 说明理由.（3）把题中的条件“折线（折一次）”改为“折线（折n次），能得到什么结论？解：1(2)16.如图，直线ab,试利用上题中的结论，求Nx的度数.章节自测卷（A）1 .在同一平面内，如果直线/1，2，/八，则4与4的位置关系是.如图，直线AB、CD相交于点0,若0E_LAB,点0为垂足，如果NE0D = 38 ,则ZA0C= ， ZC0B=3.如图，若八/2，Zl=45 ,则/2=第4题图4 .如图，AD/BC, AC与8。相交于。，则图中相等的角有 对；.如图

25、，已知直线力反CD、环相交于点0, Zl=95 , N2=32 ,则N而后5 .如图，Nl=82 , Z2=98 , N3=80 ,则N4 的度数为.6 .如图，如果/4，那么ABC与48C的面积 相等（填“一定”、“不一定”、“一定不”）8.如图，直线ab,则NACB=8.如图，直线ab,则NACB=第5题图第6题图第7题图第8题图9.如图，a/b,则 Nl + N3-N2 =10.如图，下列说法错误的是（A、Z1和N3是同位角C、N1和N2是同旁内角10.如图，下列说法错误的是（A、Z1和N3是同位角C、N1和N2是同旁内角B、N1和N5是同位角D、N5和N6是内错角第9题图第9题图11.

26、下列几个关于对顶角的说法：有公共顶点的两个角是对顶角；有公共顶点且相等的 两个角是对顶角；对顶角的余角一定相等；相等的角是对顶角。其中说法正确的个数是（）A、1A、1B、2C、3D、412 .将解题过程补充完整.如图，直线48、CD相交于点0, 因为办OE+/OE=180 ( 乂因为N14OE=160 (所以 因为0E平分/80。所以 NB。= 2/B0E(即 ZB0D=因为/4OC=/8O。(所以/40C=。0E平分NB0D,若4。160,求 40C的度数.第12题图13 .如图是平行四边形的一组邻边，请把它补画完整.14 .如图，已知。C_LA。,448,/1与/3互余，A。与3c平行吗？

27、试说明理由。第14题图15 .如图所示.已知 ABCD, ZB=100 , EF 平分NBEC, EGEF.求NBEG 和 NDEG 的度数.16 .如图所示.已知CD平分/ACB,且DEAC, CDEF.求证：EF平分NDEB.17 .如图：已知N1 = N2, Z3 = Z4, Z5 = Z6o 求证：ED/FB.18 .如图：已知在四边形A8C。中，AB/CD, N1 = N2.求证：EF/GH第18题图19 .光线从空气射入水中会发生折射现象，光线从水中射入空气中，同样会发生折射现象. 如图，光线从空气中射入水中，再从水中射入空气中的示意图.由于折射率相同，因此有 Z1 = Z4, N

28、2 = N3.请你用所学知识来判断光线MN与E尸是否平行，并说明理由.4第19题图章节自测卷（B）1 .平面内有两两相交的4条直线，如果最多有，个交点，最少有个交点，那么in - n =.如图，NE的同位角是, N力的内错角是2 .如图，AB/CD, ZABC= 1209, ZDCE = 25,则直线和CE1的夹角是4.如图，在aABC 中，ZBAC=90, AD1BC 于 D, DEBA 交 AC 于 E,且 BD=5, AD=4,4.如图，在aABC 中，ZBAC=90, AD1BC 于 D, DEBA 交 AC 于 E,且 BD=5, AD=4,AE=3,那么直线DE, BA间的距离为5

29、.如图，AB/CD, EF交AB于点M , MN人EF于点M , MN交CD千点、N .若/BME = 140,则ZMND的度数为.如图，已知 ACEO, ZC = 26, ZCBE = 3T,则 NBED的度数是6 .如图，直线/2，A8J.4，垂足为O, 4c与4相交于点E,若Nl = 43,则7 .如图，ab, AC 分别交直线 a, b 于 B、C, AB1DC.若Na =25 ,则NB=.8 .如图，已知NABC, NACB的平分线相交于D,过D作BC的平行线交AB于E,交AC 于 F.若/AEF=52。,AC 于 F.若/AEF=52。,ZAFE=58,则NBDC二.四条直线构成如

30、图所示的图形，则在下列条件中，能够直接判断ab的是（）A. Z1=Z4B. Z3=Z4 C. Z2+Z3=180 攵 D. Z1=Z2第11题图第11题图9 .如图，要得到DEBC,则需要条件（）A. CDAB, GFAB B. Z4+Z5=180C. Z1=Z3D. Z 2=Z3.如图，点E在BC的延长线上，下列条件中不能判定ABQ）的是（）第12题图A. ZB=ZDCEB. ZD+ZDAB=180C.Z3=Z4D.Z1 = Z2.下列说法中，正确的有（）在同一平面内的两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等两直线平行，同 旁内角相等 如果两条平行线被第三条直线所截，则一对同旁内角的角平分线

31、互相垂 直两条直线被第三条直线所截，那么这两条直线平行A. 1个B. 1个C. 2个D. 3个E. 4个12 .如图，BE, DF分别平分 NCB。，NADB, BE/OF.求证 NC+NADC = 180 .13 .若ABH CD,直线/与AB, CO分别相交于点、点厂，EPLEF, NEFO的平求NEP歹的度数.求NEP歹的度数.14 .如图，已知 ABCD, ZAFE=30, ZFGH=90, ZHMN=30, ZCNP=50,求/GHM15 .如图：己知 Nl + N2 = 180, N3 = NB,求证：ZAED= /C 第17题图.已知：如图，AF/DE, BC交FD于C ,交AC

32、于B, FGLBC于点、G ,ZABC=12(r, NE0C=11O.求：NCrG的度数.第18题图19. (1)如图，现有ABCD,点E均在射线AB、CD的下方，求证：ZAEC=ZA-ZC (2)如图，现仍有ABCD,但点E在射线AB、CD之间，请猜测NAEC与NA、ZC又有什么关系？并证明你的结论8 .如图，直线。、b被直线/所截，如果N1=N2,那么ab吗？为什么？第8题图.如图，Z1 + Z2=I8O0,请说明87/O尸的理由.第9题图【拓展训练】9 .如图，已知/I与它的余角相等，/2是它的补角的3倍，那么直线人与。平行吗？为第10题图第2课时平行线的判定（2）【要点归纳】数一角的数

33、量关系数一角的数量关系形-直线的位置关系【疑难分析】例1已知直线a、b被直线I所截，且N1 = N2,用三种不同方法证明ab.证法一 N1和N3是对顶角，J Z1 = Z3 （对顶角相等） NI = N2 （已知），:.Z2=Z3 （等量代换） ab （同位角相等，两直线平行）.证法二 ZK N3, N2、N4是对顶角ZI = Z3, N2=N4 （对顶角相等） ： Z1 = Z2 （已知），.Z3=Z4 （等量代换）ab （内错角相等，两直线平行）.证法三 N2和N4是对顶角，N2=N4 （对顶角相等）N1 = N2 （已知），,N1 = N4 （等量代换）V N1和N5是邻补角，Zl +

34、Z5=180 （邻补角意义）Z4+Z5=180 （等量代换），ab （同旁内角互补，两直线平行）.说明这是几何中的一邈多解.解题时，要在审题的息底上，善于发散思维，从已知条件出发，采取 多种途径去解决问懑.如果经常这样分析思考，解决问题的能力就会有所提高.例 2 已知：ADBC, EF_LBC, Z1 = Z2,说明 DGAB 的理由.分析我们在思考问题时可采用“由果索因”的策略，但在书写过程中, 要做到由因导果，言必有据.证法一 ,: AD1BC, EF1BC （已知） NEFB二NADB=90 （垂直的意义），:.Z2+ZB=90 , ZB+ZBAD=90 （三角形内角和 180 ） N2

35、=NBAD （同角的余角相等）, Z1 = Z2 （已知）J ZBAD=Z1 （等量代换）, DGAB （内错角相等，两直线平行）.证法二 AD1BC, EF1BC （已知） ZEFB=ZADB=90 （垂直的意义）， N2+NB+NEFB =180 即NB=90 -Z2 （三角形内角和 180 ） / ZI = Z2 （已知）:.NB+NBDG=NB+N1 + NADB=9O -/2+90 +N 1=180：DGAB （同旁内角互补，两直线平行）【基础训练】1 .如图，已知N1 = N2,可以判断/,理由是.如上图，ZB+ZBAD=I8O,可以推断,理由是2 .如图，（1）已知NB=ND=N

36、E,那么可以判定直线；（2）已知NB=NC=NE,那么可以判定直线；第1、2题图第3题图3 .在同一平面内，两条直线都垂直于第三条直线，这两条直线的位置关系是（）A、垂直C、相交5.如图，下列推理正确的是（）A、因为 Z3=Z4,所以 ABCDA、垂直C、相交5.如图，下列推理正确的是（）A、因为 Z3=Z4,所以 ABCDB、平行D、可能垂直，也有可能平行B、因为 Z5=Z6,所以 AFCGC、因为 Z3+Z5=Z4+Z6,所以 ABCDC、因为 Z3+Z5=Z4+Z6,所以 ABCD第5题图D、因为 Z1=Z2, Z3=Z4,所以 AECH第6题图6 .如图，下列条件中，不能推断ADBC的

37、是（）B、Z2=Z4A、Z1 = Z3C、ZEA1）=ZB7.下列说法正确的是（C、ZEA1）=ZB7.下列说法正确的是（D、ZD+Z3+Z4=180A、在同一平面内, B、在同一平面内, C、在同一平面内, D、在同一平面内,两条直线的位置关系有相交、垂直、平行三种不垂直的两直线必定平行不平行的两直线必定垂直 不相交的两直线一定不垂贪8 .如图，NA+NB=180, NB=ND,请说明 ABCD 的理由.9 .如图,Zl + Z2=180, Z2+Z3=180,请说明 ABGD 的理由.第9题图.如图，已知AB_LBC, BCCD, Z1 = Z2,请说明BECF的理由.第10题图【拓展训练

38、工10 .如图，已知Nl=/2,需添加什么条件可以得到ABCD成立？至少写出四种不同的解答 并分别说明理由.第11题图.如图，已知Nl=/2, DE、BF分别平分/ADC和NABC,且NADC二NABC,试说明ABCD第3课时平行线的性质（1）【要点归纳】同位一相等 内错角相等|卜一|两直线平行同旁内角互补| J数一角的数量关系形一直线的位置关系【疑难分析】例1已知ABCD, MG平分NEMB, NH平分NDNM,说明MGNH的理由.证: ABCD （已知）NEMB=/DNM （两直线平行，同位角相等）、7,/ MG 平分 ZEMB （已知）N1 = -NEMB （角平分线的意义）/ /H2N

39、匕同理：N2=g/DNM, J N1 = N2 （等量代换）一7力MG/7NH （同位角相等,两直线平行）.说明本例的证明说明了：两直线平行同位角的角平分线平行.其实我们同样可以证明两直线平行 内错角的角平分线平行”、“两直线平行同旁内角的角平分线互相垂直”，请读者自己尝试证明.例2如图：有三条直线ahc,已知ab、bc,说明bc的理由.分析 添加辅助线的目的在于创设解题条件，把已知条件与结论串联起来，本章节中辅助线添加技巧会在第五节有所介绍.，1证,/ ab （已知）/I Z1=Z2 （两直线平行，同位角相等）广 bc （已知）户工一一b Z2=Z3 （两直线平行，同位角相等） ZI = Z

40、3 （等量代换）c ac （同位角相等，两直线平行）.说明 本例的证明说明了平行线具有传递性即“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线 也互相平行例3已知，如图NBAP+NAPD=I8O , Z1 = Z2,说明NE=NF的理由.证：ZBAP+ZAPD=180 （已知） ABCD （同旁内角互补，两直线平行）B ZBAP=ZCPA （两直线平行，内错角相等）zi=z2 （已知）/. NEAP=NFPA （等式性质） AE/7FP （内错角相等，两直线平行）玲D NE=NF （两直线平行，内错角相等）.说明本例遵循：“角一平行一角”的证明过程，实际上“直线的位置关系”与“角的数量关系”的

41、不 （判定）（性质）断转化正是本章几何证明题的大特点.【基础训练】.如图，已知 ABCD, Zl=40, Z2=130,则/O, ZD=1 .如图，已知 ab, Zl=4x-20, Z2 = 2x + 18,则N1 =, Z2=.如图，已知，N3=70, Z4=70 ,如果N 1=60,那么N2度数是第1题图第3题图4 .如图，已知ADBC, AC与BD相交于点0,则图中相等的角有 对.如图，己知AD是/EAC的平分线，AD/7BC, ZB = 40 ,那么NEAD=ZCAD= , ZC 0第4题图第5题图6.如图，请填空.已知BE平分NABD, DE平分NCDB, N1与N2互余，判断直线A

42、B、 CD是否平行，并说明理由。解：BE平分NABD, DE平分NCDB （已知）ABAZABD=2Z1, ZCDB=2Z2,( AZABD+ZCDB=2 (Z1 + Z2)( VZ1 + Z2=9O (已知) /. ZABD+ZCDB=( A ABCD(第6题图7.如图，已知CD平分NACB, DEBC, NAED=82.求NEDC的度数。 证明：.DEBC （已知）AZACB=ZAED (ZEDC=ZDCB (又CD平分NACB (已知)AZDCB=- (又.NAED=820 (已知)AZACB = 82 (AZDCB=-x820=41o (第7题图8 .如图，己知ABCD, AE平分/ADC, DE平分NDAB,请说明DE_LAE的理由.第8题图【拓展训练】9 .如图，己知DEAC, ZFDC=ZB,试说明NA=NEDF的理由.第9题图.如图，已知AFCD, ABDE,那么NA=ND吗？请说明理由.第10题图