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1、第 5 章 定积分及其应用定积分的概念与性质【教学目的】：1. 理解曲边梯形的面积求法的思维方法；2. 理解定积分的概念及其性质；3. 掌握定积分的几何意义 ；【教学重点】：1. 定积分的概念及其性质；【教学难点】：1. 曲边梯形面积求法的思维方法；【教学时数】：2 学时【教学过程】：案例研究引例5.1。1 曲边梯形的面积问题所谓曲边梯形是指由连续曲线(设），直线，和（即轴）所围成的此类型的平面图形（如图 51 所示）下面来求该曲边梯形的面积分析 由于“矩形面积=底高”,而曲边梯形在底边上各点处的高在区间上是变动的，故它的面积不能按矩形面积公式计算.另一方面，由于曲线在上是连续变化的,所以当点
2、在区间上某处变化很小时， 相应的也就变化不大.于是，考虑用一组平行于轴的直线把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，当分割得较细，每个小曲边梯形很窄时,其高的变化就很小。这样,可以在每个小曲边梯形上作一个与它同底、以底上某点函数值为高的小矩形, 用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,进而用所有小曲边梯形的面积之和近似代替整个曲图边5梯-1形的面积（如图5-2 所示）。显然，分割越细，近似程度越高，当无限细分时，所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值。根据以上分析，可按以下四步计算曲边梯形的面积。图 5-2（1)分割 在闭区间上任意插入个分点，将闭区间分成个小区间，它们的长度依次为，过每一
3、个分点作平行于轴的直线，把曲边梯形分成个小曲边梯形;（2)取近似 在每个小区间上任取一点，以小区间为底，为高作小矩形，用小矩形的面积近似代替相应的小曲边梯形的面积，即，（3）求和 把这样得到的个小矩形的面积加起来，得和式，将其作为曲边梯形面积的近似值，即；（4） 取极限 当分点个数无限增加,且小区间长度的最大值(）趋于零时，上述和式的极限值就是曲边梯形面积的精确值，即.5。1.1 定积分的定义定义1 设函数在闭区间上有界，在闭区间中任意插入个分点， 将区间分成个小区间， 各小区间的长度依次为,在每个小区间上任取一点，作函数值与小区间长度的乘积，并作和，记, ，当无限增大且时，若上述和式的极限存
4、在，则称函数在区间上可积，并将此极限值称为函数在上的定积分,记为。即，其中称为积分变量,称为被积函数,称为被积表达式， 称为积分下限，称为积分上限,称为积分区间，符号读作函数从到的定积分.按定积分的定义，两个引例的结果可以分别表示为：，关于定积分的定义作以下几点说明：（1） 和式的极限存在(即函数在上可积)是指不论对区间怎样分法,也不论对点怎样取法,极限都存在.（2） 和式的极限仅与被积函数的表达式及积分区间有关，与积分变量使用什么字母无关，即.（3） 定义中要求积分限,我们补充如下规定： 当时，当时,（4） 函数可积的两个充分条件:若上连续,则上可积.若上有界，且只有有限个第一类间断点，则上
5、可积。定积分的几何意义 当时，由前述可知，定积分在几何上表示由曲线，两直线与轴所围成的曲边梯形的面积；如果，这时曲边梯形位于轴下方，定积分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值，如图 53；当在上有正有负时，定积分在几何上表示轴,曲线及两直线所围成的各个曲边梯形面积的代数和（见图 54),即。5.1.2 定积分的性质以下性质中函数均为可积函数。性质 1 函数和(差)的定积分等于它们定积分的和(差)， 即 .性质 1 可推广到有限多个函数代数和的情形。性质 2 被积函数图的5-常3 数因子可以提到定积分的符图号5外-4面， 即,（为常数）.性质 3 如果在区间上，则，特别地，时,。性质 3 的几何意
6、义如图 57 所示。性质 4（积分区间的可加性) 如果积分区间被点分成两个区间和，则在整个区间上的定积分等于这两个区间上定积分的和，即。注意:无论的相对位置如何,总有上述等式成立。性质 5 如果在区间上，则 。性质 6（定积分的单调性） 如果在区间上,有, 则.例2比较下列各对积分值的大小（1）与（2)与解 （1）由幂函数的性质，在上，有由定积分性质,得（2)在内有，得性质 7(估值定理） 如果函数在闭区间上的最大值为，最小值为,则. 性质 7 说明，由被积函数在积分区间上的最大值和最小值可以估计积分值的大致范围。例3 估计定积分的值.解 先求在区间上的最大值和最小值，为此求得， 令，得驻点，比较驻点处与区间端点处的函数值:， ，得最小值，最大值,再根据估值定理,得。性质 8（积分中值定理） 如果函数在闭区间上连续,则至少存在一点，使得这个公式称为积分中值公式。【教学小节】：通过本节的学习，理解曲边梯形面积求法的思维过程,理解定积分的概念及其几何意义,熟练掌握定积分的性质，并学会应用其解决定积分的简单问题。【课后作业】： 无