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1、解析几何初步全章复习与巩固编稿：丁会敏 审稿：王静伟【学习目标】1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式，能根据两条直线的斜率判定 这两条直线平行或垂直；2掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截 式与一次函数的关系；3 .能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；4 .掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离；5 .掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程；6 .掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；7 .能根据给定直
2、线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.【知识网络】【要点梳理】要点一：直线方程的几种形式（1）直线方程的几种表示形式中，除一般式外都有其适用范围，任何一种表示形式都有其优越性, 需要根据条件灵活选用.（2）在求解与直线方程有关的问题中，忽视对斜率不存在时的直线方程的讨论是常见的错误，应特 别警惕.（3）确定直线方程需要且只需两个独立条件，利用待定系数法求直线方程是常用方法.常用的直线方程有：y = kx + b ； Ax+8y +0 = 0（4 + 52。0）；（4%+男丁 +。1） + 41+32丁+。2）= 0（入为参数）要点二：两条直线的位置关系1 .特殊情况下的两直线平行与垂直
3、.当两条直线的斜率都不存在时，两直线的倾斜角都为90,互相平行；（2）当一条直线的斜率不存在（倾斜角为90）,另一条直线的倾斜角为0时，两直线互相垂直.2 .斜率都存在时两直线的平行：（1）已知直线乙:y =左x +4和乙：/=k2x + b2,则I ）O匕=攵2且4。（2）已知直线小 Ax+gy + G =。和4：+ Gw，a2 82c2 0），则要点诠释：对于一般式方程表示的直线的位置的判定，可以先将方程转化为斜截式形式，再作判解：易求圆心坐标为(a, 2-a),半径为行1.设所求切线方程为y =履+ b ,即kx-y + b = O ,则圆心到直线的距离等于半径，即13+，2)的:加必_
4、|恒成立,即 收+12(1 + k2)a2 -4(1 + k2)a + 2(1 + k2)=(k+ 1)2/+ 2(8 2)(女+ 1) + 3 2恒成立.比较系数可得2(1+ /) = (%+ 1)2,9 % = 1, -4(1 + /)= 2( 2)(k +1),解得 rr/? = 0.2(1 +左 2)=(。_2)2,1故所求切线方程为y=x.x = a9(3)解：易求圆心坐标为(a, 2-a),又设圆心坐标为(x, y),则 y = 2-a,消去a,可得y = 2-x,即x+y-2 = 0.故圆心(a, 2 - a)总在直线x+y - 2=0上.举一反三：【变式1】求过两圆f + y2
5、xy 2 = 0与V + y2+4x 4一8 = 0的交点和点(3, 1)的圆的方程.【解析】设所求圆的方程为/ + y2 x y 2 + / + /+4x-4y-8) = 0 ,2点(3, 1)在圆上，把(3, 1)代入圆的方程求得2 =.5所求圆的方程为3/+3y2i3x + 3y + 6 = 0.【总结升华】注意圆系方程的特殊情形：过直线与圆的交点的圆系方程和过圆与圆的交点的圆的方 程.类型三：直线与圆的方程的综合问题例6.求半径为4,与圆(x 2)2+(y 1尸=9相切，且和直线y=0相切的圆的方程.【思路点拨】题目要分圆心在直线y=0上方或下方两种情况讨论，另外，还要考虑两圆外切或内
6、 切的情况.【答案】Q 2 2河)2+( 4尸=16或(x 2 + 2指)2+( + 4)2 =16【解析】设所求圆C的方程为(x )2+(y 勿2 =产.圆C与直线y=0相切且半径为4,则圆心C的坐标为C (a, 4)或C2(a, -4).已知圆(x 2尸+(y =9的圆心A的坐标为(2, 1),半径为3.由两圆相切，得|C4| = 4 + 3 = 7,或|C4| = 4 3 = 1,当圆心为Cl (a, 4)时，(a - 2)2 +(4-1)2 = 72 或(a 2)2 + (4 1尸=1 (无解),故可得。=22河，所求圆的方程为(x 2 29)2+( 4/=16或(x 2 + 2jT6
7、)2+(y 4尸=16 .当圆心为 C2(a, -4)时，( 2)2+(4 =7?或(，2)2+(4 1)2=1 (无解).故可得 =22指. 所求圆的方程为(工一2 2指尸+(y+ 4/=16或(x 2 +2指+( + 4)2 =16.综上，所求圆的方程为(X 2 216)2+(y 4/=16 或(x 2 + 2jT6)2+(y 4)2 =16 或 (x 2 2尸+(y+ 4)2 =16 或(x 2 +2指)2+( + 4)2 =16 .举一反三：【变式1】已知直线/过点P(2, 4),且与圆V + y2=4相切，求直线/的方程.错解：k0p=2,且QP，/, 勺=-工,/. /的方程为 y
8、 4 =,(x 2),即 x + 2y 10 = 0.错因分析：本题错误的原因是误把点P当作切点.求过定点的圆的切线方程，应首先验证定点是否 在圆上.正解：当直线斜率不存在时，直线/的方程为x = 2,适合题意.当直线斜率存在时，设直线/的方程为y4 =/2),即辰y + 40 2%=0,直线与圆相切，120=2,解得攵=3, VFTi4 直线/的方程为3x 4y + 10 = 0. 直线/的方程为x = 2或3x 4y + 10 = 0.例 7.已知 mR,直线/: fwc- (m2 +1) = 4根和圆 C :x2 + y2 - Sx + 4y + l6 = Q .(1)求直线/斜率的取值
9、范围；(2)直线/能否将圆C分割成弧长的比值为-的两段圆弧？为什么？2【答案】(1) (2)不能2 2m4-m【解析】（1）直线/的方程可化为y =二2m +1 m +1直线/的斜率m +1因为|相区!（疗+1）,I m I 1所以|左| = ?-上，当且仅当|川=1时等号成立.m2+l 2所以斜率k的取值范围是-.2 2不能.由知/的方程为y=k（x-4）,其中圆C的圆心为C （4, -2）,半径r=2.2圆心C到直线/的距离d = /Jl + %214r由|左区一，得d2 7l,即d .2V529 77从而，若/与圆C相交，则圆C截直线/所得的弦所对的圆心角小于上.3所以/不能将圆C分割成
10、弧长的比值为的两段圆弧.2类型四：空间直角坐标系例8.正方形ABCD, ABEF的边长都是1,并且平面ABCD J_平面ABEF,点M在AC上移动，点N在BF上移动.若|CM|=|BN|=a （0。血）.当a为何值时，|MN|最小？【思路点拨】建立空间直角坐标系，把|MN|写成a的函数，用函数的思想方法解题.【答案4应a, 2【解析】因为平面ABCD_L平面ABEF,且交线为AB, BE1AB,所以BEJ_ 平面ABCD,所以BA, BC, BE两两垂直.取B为坐标原点，过BA, BE, BC 的直线分别为x轴，y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为|BC|=1, |CM|=a,且点M
11、在坐标平面xBz内且在正方形ABCD的对角线因为点N在坐标平面xBy内且在正方形ABEF的对角线上，|BN|二a,所以点N由空间两点间的距离公式，得MN=V2 V2a22+ 0-orCI2J1-与-。、2=J4 -+T ，a2 J当 =X_ (满足04行)时, 2当 =X_ (满足0 二/o圆心为(，5)，半径为r,它显现了圆的几何特点.(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要 a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.2 .圆的一般方程(n 八当。2+2一4/时，方程X2+,2+瓜+/=0叫做圆的一般方程.,一为圆
12、心，、22 ；-y/D2 + E2-4F 为半径. 2要点诠释:要点诠释:99( D由方程/ + / +瓜+日+/=。得x + _ 22+2 -4尸4npnF(1)当。2+石24尸=0时，方程只有实数解 = ,y =.它表示一个点(). 2222(2)当。2+石 24/ 0时，可以看出方程表示以,一为圆心,I 22)的圆.要点六：点和圆的位置关系如果圆的标准方程为(x )2+(y 匕产二/，圆心为eg, ,半径为人 则有若点”(七, %)在圆上o| CM |= ro(x()。)？ +(y()-A)? = r2若点)在圆外| CM | r (x0 a)? +(% -Z?)2 r2若点 A/(%0
13、, %)在圆内 o| CM TO(%0+(% -b)2 0),圆心到直心 7 4心门l 士、-i 41 I + Bb + C |贝亚线l的距离记为d = -/，当dvr时，直线/与圆C相交； 当=时，直线/与圆C相切； 当d-时，直线/与圆C相离. 要点诠释：.(1)当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径；求切线长，一般要 用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.(2)当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通 过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.(3)当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离
14、问题，通常画图，利用数形结合来解决.要点八：圆与圆的位置关系1 .圆与圆的位置关系：(1)圆与圆相交，有两个公共点；(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点；(3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点.2 .圆与圆的位置关系的判定： (1)代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解.有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离.(2)几何法:圆 G：。一。了+一4)2=1 与 圆 C2:(x-a2)2+(y-b2)2 = r , 两圆 圆心距 d J (a? - q + (仇-b、了 , 则：当I。一弓| 。 A +4时，两圆相交；当4+弓二40寸，
15、两圆外切；当乙+马d时，两圆外离；当一马=d时，两圆内切；当作一弓|2时，两圆内含.要点诠释：.判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这 种方法运算量小.也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无 解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定.因此，在处理圆与圆 的位置关系时，一般不用代数法.要点九：求圆的切线方程的常用方法：(1)直接法：应用常见结论，直接写出切线方程；(2)待定系数法：设出切点坐标或切线斜率，由题意列出方程(组)解得切点坐标或切线斜率，写出 点斜式，最后将点斜式化为一般式
16、；(3)定义法：根据直线方程的定义求出切线方程.常见圆的切线方程：过圆V +2 = /上一点2(毛,为)的切线方程是4x+= r2；过圆(x a)? + (y Z?)2 = r2上一点P(x0, % )的切线方程是：(x0-)(x-6r) + (y0-Z?)(y-Z?) = r2.要点十：空间直角坐标系空间直角坐标系中坐标的求法：过该点作两条轴所确定平面的平行平面交另一轴于一点，交点在这 条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标.确定简单几何体的顶点坐标是今后正确运用坐标法解题的关 键，必须要熟练且正确地掌握空间直角坐标系的建立与中点坐标的确定方法.【典型例题】类型一：直线方程的综合问题例 1.已
17、知 A(-m-3, 2), B(-2m-4, 4), C(-m, m), D(3, 3m+2),若直线 ABJ_CD,求 m 的值.【思路点拨】两直线垂直。上他二T的前提条件是L、42均存在且不为零，所以这类问题应分斜率存在和不存在两种情况讨论.【答案】1或T【解析】丁 A、B两点纵坐标不相等， AB与x轴不平行.; ABCD,/. CD与x轴不垂直，-mW3, m力-3.当AB与x轴垂直时，一m3 = 一2m-4,解得 m=-1 .而m=T时，C、D纵坐标均为T,CDx轴，此时ABLCD,满足题意.当AB与x轴不垂直时，由斜率公式4-2_2- -2m-4-(-m-3) - -( + 1) ?
18、3m + 2-m 2(m + l)c 3 - (-m) m + 3* AB _LCD? / kB 左c。= 1，Ifrt 22(771+ 1)-，“口即二 -1,解得m=l-(m +1)m + 3综上，m的值为1或-1. 举一反三：【变式 1】已知 4： 3x + 2ay-5 = 0,l2 :(3a-l)x-ay-2 = Q ,求使 44 的。的值.【答案】。或一， 6【解析】解法一：当直线斜率不存在，即 =0时, 有4：3x 5 = 012：- 2 =。，符合/J/2;直线斜率存在时，/ / 0二! = = _L. 2a a6故使/J2的。的值为。或一26解法二：由4/)o3()(3 1)2
19、。= 0,解得=。或故使的。的值为。或66例2.已知三条直线4 :2xy + . = 0(a0), /2 : 4x-2)；-l = 0 , & ： %+ 一1 =。且4与4的距离为(1)求a的值.(2)能否找到一点P,使得点P同时满足下列三个条件：点P是第一象限点，点P到4、&的距离比是血：、后，点P到4、A的距离比是1：2.若能，求点P的坐标；若不能，说明理由.【思路点拨】用平行线间的距离、点到直线的距离公式求解.(1 37 1【答案】(1) 3 (2) P【9 18J【解析】（1）直线。的方程变为2%-丁一； = 0,17Cl H= - 92217Cl H= - 922（2）设P（xo,
20、yo）,若点P满足条件，则点P在与直线4平行的直线/：2xy + c = 0上,13 11 即。=或丫, 2613 11 即。=或丫, 26二 /为 2% 为 H= 0 或 2%j0 H = 0 .26若点P满足条件，由点到直线的距离公式得I 22 - % + 31 _ 叵 I / + % -1145 卮 叵 解得%2%+4 =。或3玉）+2 =。（,点P是第一象限点，不合题意，舍去）.联立方程c13八2%-% + 彳=。， / 一 2贝)+ 4 = 0,xo 二 -3解得 1舍去.联立方程为7。+9二。Jo2%+4 = 0解得1x（）二-，937、, 7 - 8 3 - 1 1 - 9 /I
21、VP为同时满足三个条件的点.【总结升华】本题综合性较强，用距离公式时要注意转化为方程的一般形式.例3.求直线:2x+y 4 = 0关于直线/:3x + 4y 1 = 0对称的直线b的方程.【思路点拨】L曲线的对称通常转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点 实施转化）.2 .由平面几何知识可知，若。与关于/对称，则应具有下列几何性质：(1)若点A在直线。上，则A点关于/的对称点B一定在直线b上，即/为线段的垂直平分线 (ABJU, AB的中点在/上)；(2)设P(x)是所求直线b上一点，则P关于/的对称点P(x,y)的坐标适合直线。的方程；(3)若与力相交，则/过。与b交点，
22、只需求出交点和一个对称点，利用两点式就可以求出答案; 若。/,则/，三条直线的斜率相等，只需再求出一个对称点，利用点斜式可以求出答案.【解析】方法一：在直线:2x+y 4 = 0上取一点A(2,0),设A点于/的对称点5(%,%),.厘2 + 4星土9 1 = 0224 8八 A,角牛付-5(一,),%0 二 45 5X。 2 32x+y-4 = 07 、),解得交点。(3,2).3x + 4y 1 = 0由两点式可求得直线b的方程：2x + lly + 16 = 0.x= 解得,y=7x-24y+ 62524x 7 y + 825方法二：设P(x,y)是所求直线人上任一点；设尸关于/的对称点
23、P(,y),则有：22y-y =4x-x* 3 P(x,y)在直线 :2x+y 4 = 0 上,.2 7%； + 6 + 24%；), + 8_4 = 0,整理得2x + lly + 16 = 0,故所求直线Z?的方程：2x + l ly + 16 = 0.【总结升华】1.对称问题是高考的热点之一，一般包括点关于点对称，直线关于点对称，点关于直 线对称，直线关于直线对称，要掌握通解通法和记忆一些常用结论.2.求一条直线关于已知直线的对称直线，基本方法之一在直线上任取两点求其对称点，方法之二是 利用相关点一一伴随曲线方法解决，其中方法2还可以推广，如改变直线为二次曲线3仍可用此方 法解决.举一反
24、三：【变式1】由点P (2, 3)发出的光线射到直线x+y = -1上，反射后过点Q (1, 1),则反射光线 所在直线的一般方程为.【答案】：4x 5y + l = 0【解析】设点P关于直线x+y = l的对称点PCx。,%),则P(%,%)满足条件解得P(-4,-3)，, 由直线方程的两点式可求得反射光线所在直线方程为y-l =二主1(x-1),-4-1即4x 5y + l =0.类型二：圆的方程的综合问题例4.求过P(-2, 4), Q(3, T)两点，且在x轴上截得弦长为6的圆的方程.【思路点拨】设圆的一般方程，用待定系数法求解.答案x2 + y2 -2x-4y-S = Qx2 + y
25、2 -6x-Sy = 0【解析】设圆的方程为V+V+Ox+Ey+bM。，将p、Q点的坐标分别代入圆的方程,2D-4E-F = 20,3Z)-E+F = -10.又令y=0,得%2 + /)%+/=0.设的两个根为Xi，X2，则 | 玉一九2匚6, J D2-4F = 36.由求得 D=-2, E=-4, F=-8 或 D = -6, E=-8, F=0.故所求圆的方程为Y + 丁2x 4y 8 = 0或Y + 26x 8y = 0.【总结升华】本题运用了待定系数法、方程(组)的思想方法.举一反三：991 3【变式1】直线/被圆C：/ + y22 =。所截得的弦的中点是(上:)，求直线/的方程.
26、【答案】：x-y-2 = 0【变式2】已知直线/： 2比y 8m 3 = 0和圆C： x2 + y2-6x + ny + 20 = 0.(1)相/?时，证明/与C总相交.(2)加取何值时，/被C截得弦长最短，求此弦长.【答案】：(1)将直线/整理成点斜式方程y + 3 = 2m(x4),则直线/过定点A(4,3),斜率为左=2机. 将圆整理为标准方程(x 3)2 + (y + 6)2=25,则圆心C(3,6),半径1=5. . |C|=J(4 3y+(-3 + 6)2 =痴 + 2 (2x 2y) = 0,解得x =, y = ix2 + y2 -4y + 2 = 0, 2x-2y = Q9定点为(i, i).故圆恒过定点(i, i).