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1、(工一劣0)定积分应用练习题1求由曲线y2 =x及直线y = x 2所围成的平面图形的面积及该平面图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积；.9* y = x解：(如图1)联立方程组. 得交点坐标(1,-1)和=2(4, 2),以y为积分变量，积分区间为1,2,299面积：A = J (y + 2-y2)dy = -i2体积:V = 7r2 (y + 2)2 - y4dy = - 7T.52平面图形由x轴、曲线y = JT斤以及过原点与曲线y = GT相切的直线所围成，求该平面图形的面积及该平面图形绕了轴旋转一周所得的旋转体的体积；解：如图2,设切点坐标为(曲,/1),那么切线方程为又因切线过原点
2、，所以切点为坐标为(2,1),212所以面积：a = i 1 GLk= 一,体积: J,33求曲线y = x(x-l)(x-2)与x轴所围成的图形的面积，并分别求该图形绕x轴、y轴旋转一周所得旋转体的体积;解：如图3,以尤为积分变量，积分区间为0,2,那么面积：A = 2j；7 *29 r=x-l体积：x(x-l)(x-2) dx = 7T( (tJOJ-li a=2J (t3 -t)2dt = 271 (心_2+)力=(偶函数)2-t) dt (偶函数)105x2 (% -1)(% - 2)dx = 7i= 2J x x(x-l)(x-2)dx = 2-j x2(x-l)(x-2)dx- j
3、9 14在曲线y =20)上某点A处做一条切线，使该切线与曲线以及x轴所围图形的面积为求12(1) A点坐标；(2)过A的切线方程；(3)上述平面图形绕x轴旋转 一周所得旋转体的体积.解：如图4, (1)设A点坐标为(%,/2),那么过人点的切线方程为 y-x02 = 2x0(x-x0),由题可知1 Ao 2 I 1313=f x ax- x - x ,12 Jo 4 o T2 0所以4点坐标为(1)，(2)过4的切线方程为y = 2x 1,1 4171(3) V = 7T X dx 71=J。 630*x = 6z(?-sin0L求摆线 zi 、的一拱(0/2万)与x轴所围成的平面图形面积，
4、并分别求该平面图形绕xV y = ci 1cos/)轴、y轴旋转一周所得的旋转体的体积；W冗a2茁冗c2解：A = ydx= p(l- cos t)da(t - sin t) = a 1- cos t) dtJo JoJosin4 udu = 31片2 sin4- dt = 8/sin4 udu = 1= 4a2223y dx = nao2 tvaq 27r g t, qVv = 2J xydx - 2万3 JJ。 2223(r-sin0(1-cos?) dt - 2jia o2 万A t一(4% sin -8 sint、二 cos)dt2(1- cos ty dt= 8q sin dt =
5、5兀F1 , 4 i f2c 、1 t_ t 1,23 f 乃 4 i / 3 3low sin udu - I 8sin - cos- at) = 67ra I sin udu = 6兀 ao 22o2求由两条曲线夕= 3cos。和夕=l+cos。所围图形的公共局部的面积;n解：由对称性，A =3(1三5+ cos。)？d8+ J； 9cos2 0d0 = -7i34x = a(t-sinf)3求摆线摆线.的一拱(0f2)的弧长. y = q(1cos/)解:s =广 (1- cosf)2 + a1 sin2 tdt = 2J dsindt-Sa49设抛物线y =法+。过o(o,o)及a(1
6、,2)点，且。1,试确定。力，。的值，使该抛物线与抛物 线y = +2所围成的面积最小.解：因为抛物线y = d+法+。过0(o,0)及a(i,2)点，所以。+ = 2,。= 0,由i0可知抛物线丁 = / +(2 开口向下，由y = f+2x过点0(0,0)及(2,0)点，且顶点为(1,1),所以09*y = 6ir+(2 一加y = V+(2 在y = f；2+2x的上方，联立方程组.可得两抛物线的另一交点为.y = 一丁 +2x横坐标为，所以所围图形的面积为Aa+2人 dA a (61 + 3)a=2+i (a +l)x2- axdx =-Jo6(+1)2-0 ,得唯一驻点a_3,da
7、6(。+lf以 =-3为函数在(-8, -1)的唯一极小值点,5设。为曲线y = 2d及直线工=4、%=2、1当。_3时,竺_0,所dada也即最小值点，所以。=3, = 5,c =。即为所求.y = 0所围区域，。为曲线y = 2d及直线工二、 = 02所围区域，0。2,求(1)，绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积乂，2绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积匕；(2)。为何值时，乂+匕最大，并求最大值.八2445解：(1) V =( 4x 公=_7i(32-a ),1 Ja542a2 y4V2= 2jia 7i dy 7ia ,AJ(2)设 =V+V= 71(32 - a5) + na ,令 “=4。“一。)=0 ,得唯一驻点。=1 ,dt129)，所以 =(1)=129万.max1 2 5128又 (0) =71, (2) = 16万4, (1)=亍