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1、例说求圆碓曲线青心率花圈的思考方法圆锥曲线的离心率是描述曲线形状的一个很重要的量，它在有关的圆锥曲线中以参变量 的形式出现，确定它的取值范围，就是根据问题给出的条件，建立起几个有关的字母的不等式, 同归解不等式到达解决问题的目的，下面介绍确定曲线离心率的几种思考方式.1利用圆锥曲线的定义22例1设。是椭圆二十=1（4人0）上一点,且/。鸟=90淇中耳,鸟是椭圆的 a b两个焦点，求椭圆的离心率的范围.解 由椭圆的定义得|P4| 十 |P段=2，闻2 +|帆=|耳闾2 =402,.,.|尸耳卜|尸国=2（ -2）,|尸娟是方程/ 2 + 2（ 一2）=。的两个根,因此有C1 = -44 +8,
2、o,A A = (-)2 2 ,即 e 二 a 2故所求离心率范围是e = J).222例2双曲线-与=1的左、右焦点为，工，左准线/,P是双曲线左支上一点, x b并且有|P用是尸到/的距离d与俨鸟并且有|P用是尸到/的距离d与俨鸟的比例中项，求双曲线离心率的取值范围.解由条件可得PF1PF、d, PF2 = ePF又|P局TP耳卜2a,由、解得|P耳2a2ea在八尸耳耳中,有归图+|尸闾.耳闾= 2c,又：故所求离心率范围是e e （1,1 + V2.例1,例2是利用椭圆、双曲线的定义建立起与e有关的一个等式,再利用条件或隐 含条件确定一个不等式，从而求出e的范围.2利用曲线的范围22例3
3、椭圆。： +=1（。/?0）的长轴两端点是A5,假设C上存在点P,且 a 6/APB = 120，求椭圆C的离心率的取值范围.解 根据椭圆的对称性,不妨设P（x0, y0）的坐标满足0 W / 。,0 % W人，又设点P 在长轴上的射影为“，那么tan /APH =* Jan ZBPH =伫E .X)a + xQ + a - 42仪 + Vn -6Z2Y）：.tan /APB = tan(ZAPH + AB PH) 二 %,1- -因点尸在C上,b2xl+a2yl=a2bx =力（尸一靖b2又 tan /APB = tan 120 = J50FddxBFBD个端点,线段BF的延长线交。于点。，
4、且乔=2FD,那么C的离心率为【解析】如图,8尸|=由工=。,作。，_1_轴于点口1,那么由而=2而，得=，所以I DDI=-OF |= j即/=,，由椭圆的第二定义得 3,广 “3c、3c之I FD= e(=c22a3c2又由|B尸|=2|在。|,得。=2。,a整理得二二，即 e2=-.:.e = a1 333将,代入,整理得先 =lab2为（匕，故2ab2b,g,又eel,g,又eel,从而可得瓜2 + 2ab - y/3a2 0,解得-一乂）216.椭圆的离心率为，椭圆的左准线 =玉-b2a216,16-/，164J16-,2由得椭圆的左准线X = 0, / c又设椭圆的左顶点为（, y
5、），那么 = x0 - 4 =.16左顶点在抛物线丁 = % 2上, x 2 2 0,即, 6,V16-/?2./-t 8 J16- . 八 2 a/16 b , c -,. 0 e .343例3,例4是利用椭圆双曲线的范围建立相应的不等式，通过解不等式求出e的取值范围.3利用两曲线的交点特征.22例5设椭圆二十=1（匕0）上有点P（%,y）,使NOP4 = 90,其中A为椭圆 a o的右顶点，。为坐标原点，求椭圆离心率的取值范围.解 ZOPA = 90, J O, P, A三点确定的圆的方程为九；+犬一师二。又点 P（斗，y）在椭圆上,，h2xf+a2yf =a2h2即椭圆与圆有交点尸（斗，
6、必）,联立,得（/ /）%2 +/%2 心。.2y/a2 -cV % W ，从上式可解得为 =V2 .故所求离心率取值范围是e （交,1）.VT7 2222例6过双曲线C:二-二=1的右焦点尸作双曲线斜率大于零的渐近线的垂线/，垂 a， b足为P,设/与C左右支的交点分别为A二求双曲线。的离心率的取值范围.b解 设F（c,0），双曲线。的斜率大于零的渐近线方程为y = - x.a那么/的方程为y = -（x-c）,将/的方程代入双曲线方程,整理为 b(Z?4 -6Z4)x2 + 2acx-cr (a2c2 +/?4) = 0,因l与双曲线有两个交点，所以wo设A,5两点的横坐标为乙,乙，那么有
7、/=61.a -ha2(a2c2 +b4) A5两点分别在双曲线的左右支上,，乙40,即 二 4/,即a6,于是 e = 6,a故C的离心率取值范围是e e (叵+8).以上两例是利用两曲线的位置关系求出交点，再根据交点的特点建立不等式，通过解不等 式求出参数e的取值范围.4利用三角函数值的范围例7椭圆方程例7椭圆方程x2y244/=0),片，行为椭圆的两焦点，加为椭圆上任一点，且M不与长轴两端点重合，设/Mg = a, ZMF2F1=/，假设, tan &tan幺 ,求椭圆离3心率e的范围.解 当Ov/vl时,椭圆的焦点在x轴上，-t2由 1 = 21=2，得。=277,那么6 = = 71
8、a在AM工中,FF? =2c = 4jl =4e, /MFE = a, /MFzR = 0,由正弦定理得也词一sin 0由正弦定理得也词一sin 0sin a即I孙仁就詈w尸卜由椭圆定义得sin(a + %4esinasin(6Z + /?)A a /3、 4e(l + tan tan -) 1 = 4.iaP1 tan tan 2i a P1 tan tan q i22q1 a p 111e -.由 tan , tan 一，得一 e 1时，仿求得一 - 1时，仿求得一 - 一,由此得3 b 21 + tan tan Vio加 e sin6 +sin4 sin2 31 - sin4 3由。2
9、0知side + sin sin2e0,sin4e + sin2g _10,解得,2因工工，故，Vsin2ev3,因此 b2sin2 + /?2sin2 0sin2 01 - sin4 0令1?。=乙那么由=二在或二！上单调递增得i/v”，l-r 1-/247/.1 /? 0), P(X, x),(y 0).K _ k思路一：根据题设容易想到两条直线的夹角公式，即tan 60 乜=J5,设 1 + KpF? KpR_22P(X , y (j 0),月(j 0),化简得瓜;+ 岛；-2以-&2 = o,又之 + 冬=i, a b两方程联立消去X；得百C2H2 +2孙闻4 =0,由y (0,切，可
10、以确定离心率的取值 范围;解出以可以求出APRF2的面积，但这一过程较繁.思路二:利用焦半径公式|P胤=4 +叫，俨囚=4叫，在中运用余弦定理，求 王，再利用% e-6z, a,可以确定离心率e的取值范围，将为代入椭圆方程中求以，便可求出APEB的面积思路三:利用正弦定理、余弦定理，结合归耳| + |。周=2求解. 22解法1:设椭圆方程为二十=1(0),尸，必),耳(j0),鸟(c,0),c0 a b那么PR =a + exr PF2 =4一夕,在中，由余弦定理得Ano + ex)2 +(aex)2 4c2 冷刀汨 2 4c2 - a1cos60 = =!,解得 $ =；.22( +叫)(_
11、1)3e402 Z72c 1(1) V X2 g(02, ?.0c2, ：. tanZAPB 0,于是乙4Q3是QA到QB的角.yztan ZAQB =tan ZAQB =x-a x+ax -ax2 + y2 -a2rV3 1 -? ZAQB = 120, A , 2?_ = 一6,整理得6 + /-a2）+ 2ay = Q. x +y -cr2八lab1y + 2ay = 0, 丁 y w 0,，y =2V yZ?, ：.by lab oV6； e 2 或 e 2 （舍）， e b 0）,y = bsin。那么椭圆上的点 P（qcos。，Z?sin。）， A（a , 0）,OP LAP,.b
12、sinO bsinO 1 =1,acosd acos0-a即（。2 -Z?2）COS2 -6Z2 cos + Z?2 =0 , W cos = 1 sS； cos 0 =,CT -lr/72V-1 = l （舍去），-1-1, 5Lb2=a2-c2 er -ba14141/. 0 ,又 0 v e v 1, /.e。0）,耳，乃是椭圆左右两个焦点,P是椭圆上的一 点，假设|助|=|尸周,求椭圆离心率的取值范围.22椭圆的方程% =0）,可，鸟是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点假设77/FPF? =,求椭圆离心率的取值范围.22设 1,求双曲线二-一J = 1离心率的取值范围.CT （4 + 1）
13、22双曲线二二= 1（。040）左右两个焦点耳，E，P是双曲线的任一点假设 a bP国=2|774求双曲线离心率的取值范围.22F1,F0是椭圆=十二=1（。人0）的两个焦点，。是椭圆上的一点，假设满足 b=0的点总在椭圆的内部，求椭圆离心率的取值范围.22斜率为2的直线I经过双曲线二-三二1（。0/ 0）的右焦点F，并与双曲线的 a b左右支分别相交，求双曲线离心率e的范围. 22椭圆二+二= 1（。50）,，8是椭圆左右两个焦点，P是椭圆的任一点，假设 a bTF/耳夕6w万,求椭圆离心率的取值范围.8.9.10.12.13.22椭圆5 +=1（。匕 0）,耳，居是椭圆左右两个焦点，以耳，
14、工为边做正三角形, a ”假设椭圆恰好平分正三角形的两边，求椭圆离心率.22椭圆宗+%= 1（。Z?0）, A是左顶点尸是椭圆右焦点，8是短轴的一个顶JT点,ZABF =-，求椭圆离心率.222椭圆A +2=1（。 b 0）过左焦点K且倾斜角为60。的直线I交椭圆于A, B两点，假设 a b|耳4|= 2忸制，求椭圆离心率.22椭圆宗+%=1（。/70）的两焦点为耳（。,0）,月（。,0）,。是以内图为直径的圆与椭圆的一个交点，旦|/电用=5|/桃制，求椭圆离心率.22椭圆3 + 1 = 1（匕0）的两焦点为耳（一c,0）,巴（c,0）,尸是椭圆上的一点，且 a b/耳尸与=60,求椭圆离心率
15、的取值范围.22椭圆A +2= l（qb0），斜率为1,且过椭圆右焦点F直线交椭圆于A3两 a b14.点,西+砺与椭圆r +aay1= （3,1）共线，求椭圆离心率.2=1伍方0）的两焦点为耳（一。,0）,工（。,0）,尸是直线/:% = 一上15.16.17.18.19.20.21.22.23.的一点，片P的垂直平分线恰过点尸2,求椭圆离心率的取值范围.2在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2,焦点到直线/ ： % = （的距离为2,求椭圆离心率.设椭圆的两个焦点分别为耳,工,过工作椭圆长轴的垂线交椭圆于点尸，假设耳尸鸟为等 腰直角三角形，求椭圆离心率.以双曲线的两个焦点连线段为边作等
16、边三角形,假设双曲线恰好平分三角形的另两边，求双 曲线离心率.22双曲线= 1（ 0力 0）的右焦点为尸,假设过点F且倾斜角为60的直线 a与双曲线的右支有且只有一个交点，求双曲线离心率的取值范围.双曲线一a-5=1（。 0/ 0）的两条渐近线的夹角为60,求双曲线离心率.过标准双曲线的右焦点作其在第一三象限的渐近线的垂线，垂足为尸，假设此垂线与双曲 线的左右两支个交于一点，求双曲线离心率的取值范围.过标准型双曲线的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M,N两点，以MN为直 径的圆恰好过双曲线的右顶点，求双曲线离心率.2设标准型双曲线的右焦点为/，直线/：工=幺 与两条渐近线交于P,Q两点，
17、如果 cPQF是直角三角形，求双曲线离心率.双曲线的离心率为2,那么双曲线渐近线的夹角为 求双曲线离心率.，假设双曲线渐近线的夹角为60,24.25.26.27.28. AB是椭圆x2=1（。匕0）长轴的两个端点,如果椭圆上存在一点。，使= 120，求椭圆离心率的取值范围.椭圆中心在原点,焦点在x轴上,假设存在过椭圆左焦点的直线/交椭圆于P,Q两点，使得 QP_LO。,那么椭圆离心率的取值范围为.22椭圆二+ 二 = l（4b0）和圆V+y2 =32+。）2（。为椭圆的焦半径）有四个不 a b同的交点，求椭圆的离心率的取值范围.22椭圆二十与=1（。 0）的右端点为A,在椭圆上有点P,使得ZO
18、PA = 90，求CT b椭圆的离心率的取值范围.22斜率为k的直线I经过椭圆 +2=1（。 0）的右焦点F并与椭圆交于A, B 两点，与y轴交于点C,B为CF的中点，假设陶0）与直线x+y + l = 0相交于P,Q两点，满足QPJ_O。, 且椭圆的离心率满足立 e ，求椭圆长轴的取值范围.3 222椭圆01（。0涉0）的左焦点为歹，假设过点方且倾斜角为45的直线与椭圆a b.2交于A 3两点且尸分区4的比为一,求椭圆的离心率e.3（2010年高考辽宁卷理科9文科9）设双曲线的一个焦点为方，虚轴的一个端点为5, 如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（。）A V2B. a
19、/3DE22（2010年高考四川卷理科9文科10）椭圆A + = = 1（。b0）的右焦点F ,其右准a b线与x轴的交点为A,在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F ,那么椭圆离 心率的取值范围是（。）A （0, B. （0, C. y/2-1,1）D. 91）222【解析】由题意,椭圆上存在点P,使得线段AP的垂直平分线过点F,7 h2即尸点到。点与A点的距离相等，而|E4| = c = , 4但。一G + c,于是一ea-c,a + c,即 ac-c2 b2 ac + c2, c222ac -c a -c227矿一c W etc + c1a又 (0, 1),故c ,1).2a 233.（2010年高考全卷I理科16文科16）产是椭圆C的一个焦点，3是短轴的一